Mikä on derivaatta? Yksityiskohtaiset derivaattakaavat.

Yleisten funktioiden derivaattakaavojen, trigonometristen derivaattojen, eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden derivaattojen sekä toisten derivaattojen lisäksi lukijat voivat opetella ulkoa derivaattalaskukaavan runon avulla.

VietNamNet•17/10/2025

Mikä on derivaatta?

Math 11 -oppikirjan "Connecting Knowledge and Life" -sarjaan kuuluvan toisen osan mukaan funktion derivaatta on yksi matematiikan tärkeimmistä käsitteistä. Derivaatta kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä tai aikavälillä.

Kaava funktion derivaatalle pisteessä

Funktion derivaatta tietyssä pisteessä osoittaa funktion muutosasteen kyseisessä pisteessä.

1 numeroiden määrä yhdessä pisteessä.PNG

Yhteisten funktioiden johdannaiset

Nämä ovat potenssifunktioiden yksinkertaisimpia muotoja – perusta monien monimutkaisempien funktioiden derivaattojen laskemiselle myöhemmin.

Summojen, erotusten, tulojen ja osamäärien derivaatat.

Summojen, erotusten, tulojen ja osamäärien derivaatat ovat tärkeitä sääntöjä, jotka auttavat meitä laskemaan monimutkaisten lausekkeiden derivaatat yksinkertaisista funktioista. Sen sijaan, että meidän pitäisi todistaa ne uudelleen raja-arvon määritelmästä, voimme yksinkertaisesti soveltaa näitä kaavoja ja sääntöjä prosessin yksinkertaistamiseksi.

Tarkemmin sanottuna summan tai erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin sen derivaattaisten summa tai erotus; tulon derivaatta noudattaa sääntöä "ensin derivaatta, sitten kertolasku; ensin yhteenlasku, sitten derivaatta"; ja osamäärän derivaatta noudattaa sääntöä "osoittaja derivaatta kerrottuna nimittäjällä, vähennyslasku osoittaja kerrottuna nimittäjällä derivaatta, jako nimittäjän neliöllä". Nämä kaavat esitetään selkeästi alla havainnollistavien esimerkkien avulla, jotta oppilaat voivat helposti muistaa ne ja soveltaa niitä harjoituksiin.

Summa-, erotus-, tulo- ja osamääräfunktion 3 derivaattoja.PNG

Yhdistelmäfunktion derivaatta

Yhdistetyn funktion derivaattaa käytetään, kun funktio muodostetaan useista sisäkkäisistä funktioista. Ketjusäännön mukaisesti yhdistelmäfunktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulomman funktion derivaatta kerrottuna sisemmän funktion derivaatta.

Laatikon muotoisen funktion 4 leukaa.PNG

Trigonometristen funktioiden derivaatta

Trigonometristen funktioiden derivaattojen avulla ymmärrämme funktioiden, kuten sin(x), cos(x) tai tan(x), muutosnopeutta x:n arvon muuttuessa.

Hallitsemalla sin(x):n ja cos(x):n derivaattojen laskemisen voimme johtaa muiden trigonometristen funktioiden derivaattoja, koska ne kaikki voidaan ilmaista sinin ja cos:n avulla (käyttäen osamääräsääntöä).

Seuraavassa osiossa todistamme derivaattakaavat sin(x):lle ja cos(x):lle. Siitä lähtien voimme laskea derivaattoja muille trigonometrisille funktioille sekä laajentaa tätä käänteisiin trigonometrisiin funktioihin ja joihinkin muihin erikoiskaavoihin.

5 trigonometristen funktioiden derivaattoja.PNG

Eksponentiaalisen funktion derivaatta

Eksponenttifunktion derivaatta kertoo meille muotoa a ^x (jossa a > 0, a ≠ 1) tai erityisesti muotoa e ^x olevien funktioiden muutosnopeuden. Näistä e ^x pidetään tärkeimpänä eksponenttifunktiona, koska sen derivaatta on yhtäsuuri itsensä kanssa.

Logaritmisen funktion derivaatta

Logaritmisen funktion derivaatta osoittaa muotoa _log⁡a (x) olevien funktioiden (jossa a>0, a≠1) muutosnopeuden, joista tärkein on ln⁡(x) - luonnollinen logaritmi e:llä.

Tunnettuamme ln(x):n derivaatan kaavan, voimme helposti johtaa _log⁡a (x):n derivaatan käyttämällä peruskaavan muutosta.

7 logaritmisten funktioiden derivaattaa.PNG

Toinen derivaatta

Toinen derivaatta on ensimmäisen derivaatan derivaatta; eli otamme funktion derivaatan kahdesti peräkkäin. Jos ensimmäinen derivaatta kertoo funktion muutosnopeuden, niin toinen derivaatta kertoo saman muutosnopeuden muutosnopeuden.

Saatat myös pitää tästä

Thanh Hoa: Englanninopettaja erotettiin lukukauden koekysymyksiä vuotaneena.Tho Lamin yläasteen (Sao Vangin kunta, Thanh Hoan maakunta) englanninopettaja herra Nguyen Huu Thanh suoritti toisen lukukauden englannin kokeen (ennen itse tenttiä) ja jakoi sen oppilaidensa kanssa oheistunneilla.

Geometriassa toinen derivaatta auttaa määrittämään kuvaajan kaarevuuden/konkaaviteetin. Fysiikassa, jos funktio esittää etäisyyttä ajan funktiona, ensimmäinen derivaatta on nopeus ja toinen derivaatta on kiihtyvyys.

Vinkkejä derivaattakaavojen muistamiseen

- Opi kaavat ryhmissä yksilöllisesti.

- Säilytä reseptivihko, jotta voit käyttää sitä heti, jos unohdat sen.

- Opi johdannaisista runouden kautta:

Sata vuotta ihmisten maailmassa

Derivaatta on asia, jossa laiskat opiskelijat, jotka sitä tutkivat, eivät välttämättä ole kovin hyviä.

X eksponentin (en) kanssa n

Otamme ensin derivaatan n:n potenssiin.

Sitten on tuo eksponentti yllä.

Vähennämme siitä vain 1.

Juuren x derivaatta, ystäväni.

Muista se rakkaus, ystäväni, älä unohda sitä.

Kuolema on numero 1, joka pysyy muuttumattomana.

Kirjoita esimerkiksi kaksi neliöjuurta x yhteen nopeuden laskemiseksi.

Kahden veljeksen tuloksen johdannainen

Opetan sinua ensin ja säästän sinut myöhempää käyttöä varten.

Lisää sitten plusmerkki nopeuttaaksesi prosessia.

Pidä ensimmäinen veli sellaisenaan ja toinen veli derivaatan jälkeen.

Jos todella rakastat jotakuta, kestät kaikki vastoinkäymiset.

Äidin hyve pysyy muuttumattomana.

Älä unohda miinusmerkkiä!

Kuoleman lähde, äitiyden polku seuraa tiiviisti perässä.

Minne nimittäjän neliö menee?

Viedään se alakertaan, jotta opimme sen nopeammin ulkoa.

Sinidivertaappa on todella hämmästyttävä.

Käy ilmi, että kosini ei ole koskaan väärin.

Derivaatan kosini on kaunis kuin unelma.

Paitsi sine, joka jättää sinut hämmentyneeksi yksin.

Kova työ korvaa älykkyyden puutetta.

Saatat myös pitää tästä

15. kesäkuuta alkaen tilaajien tilit, jotka eivät ole vahvistaneet henkilöllisyyttään VNeID:ssä, estetään.Lähes kaksi kuukautta kiertokirjeen nro 08/2026/TT-BKHCN mukaisten tilaajien vahvistusmääräysten voimaantulon jälkeen noin 25 miljoonan tilaajan tilaa ei ole vieläkään vahvistettu käyttäjien toimesta, vaikka heidät on lisätty VNEID:hen. Jos vahvistusta ei suoriteta loppuun ennen 15. kesäkuuta 2026, näiden tilaajien lähtevä palvelu keskeytetään väliaikaisesti määräysten mukaisesti.

Yksi jaettuna kosinin neliöllä on tangentin derivaatta.

Vain ahkeran opiskelun kautta voi saavuttaa kunnian.

Vaikka hautajaiset ovat raskaat, niihin liittyy silti velvollisuudentunto.

Vähennä luvusta yksi ja muista tehdä se.

Ole hyvä ihminen, äläkä ole liian tyhmä.

Hattu X on todella outo.

Sen johdannainen, pidämme sen toistaiseksi muuttumattomana.

Jätämme eksponentiaalifunktion sellaisenaan.

Nepen perusluku seuraa välittömästi perässä.

Nepe x -johdannainen nopeasti

Se on vain 1 jaettuna x:llä, eikä se ole ollenkaan vaikeaa.

Mitä eroa on logaritmilla x ja logaritmilla?