Τι είναι μια παράγωγος; Λεπτομερείς τύποι παραγώγων

Εκτός από όλους τους τύπους παραγώγων κοινών συναρτήσεων, τριγωνομετρικών παραγώγων, παραγώγων εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων και παραγώγων δεύτερης τάξης, οι αναγνώστες μπορούν να απομνημονεύσουν τον τύπο για τον υπολογισμό παραγώγων μέσα από ένα ποίημα.

Γρήγορη επισκόπηση:

• Τι είναι το παράγωγο;
• Τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο
• Παράγωγοι κοινών συναρτήσεων
• Παράγωγοι αθροισμάτων, διαφορών, γινομένων και πηλίκων.
• Παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης
• Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης
• Παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης
• Δεύτερη παράγωγος
• Συμβουλές για την απομνημόνευση τύπων παραγώγων

Τι είναι το παράγωγο;

Σύμφωνα με το εγχειρίδιο Μαθηματικών 11, τόμος 2, μέρος της σειράς "Συνδέοντας τη Γνώση και τη Ζωή", η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μια από τις σημαντικές έννοιες στα μαθηματικά. Η παράγωγος αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο ή ένα διάστημα.

Τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο υποδεικνύει τον βαθμό μεταβολής της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Παράγωγοι κοινών συναρτήσεων

Αυτές είναι οι απλούστερες μορφές συναρτήσεων δύναμης – η βάση για τον υπολογισμό παραγώγων για πολλές πιο σύνθετες συναρτήσεις αργότερα.

Παράγωγοι αθροισμάτων, διαφορών, γινομένων και πηλίκων.

Οι παράγωγοι των αθροισμάτων, των διαφορών, των γινομένων και των πηλίκων είναι σημαντικοί κανόνες που μας βοηθούν να υπολογίζουμε τις παραγώγους σύνθετων παραστάσεων από απλές συναρτήσεις. Αντί να χρειάζεται να τις αποδείξουμε ξανά από τον ορισμό ενός ορίου, μπορούμε απλώς να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους και τους κανόνες για να απλοποιήσουμε τη διαδικασία.

Συγκεκριμένα, η παράγωγος ενός αθροίσματος ή διαφοράς είναι ίση με το άθροισμα ή τη διαφορά των παραγώγων της. Η παράγωγος ενός γινομένου ακολουθεί τον κανόνα «πρώτα η παράγωγος, μετά ο πολλαπλασιασμός. πρώτα η πρόσθεση, μετά η παράγωγος» και η παράγωγος ενός πηλίκου ακολουθεί τον κανόνα «παράγωγος αριθμητή πολλαπλασιασμένος επί τον παρονομαστή, αφαίρεση αριθμητή πολλαπλασιασμένος επί τον παρονομαστή παράγωγο, διαίρεση επί το τετράγωνο του παρονομαστή». Αυτοί οι τύποι θα παρουσιαστούν με σαφήνεια παρακάτω, με επεξηγηματικά παραδείγματα, για να βοηθήσουν τους μαθητές να τους θυμούνται και να τους εφαρμόζουν εύκολα σε ασκήσεις.

Παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης

Η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης χρησιμοποιείται όταν η συνάρτηση σχηματίζεται από πολλαπλές ένθετες συναρτήσεις. Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας, η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης ισούται με την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι παράγωγοι των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μας βοηθούν να κατανοήσουμε τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων όπως η sin(x), η cos(x) ή η tan(x) καθώς αλλάζει η τιμή του x.

Κατακτώντας τις παραγώγους των sin(x) και cos(x), μπορούμε να συναγάγουμε τις παραγώγους άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, καθώς όλες μπορούν να εκφραστούν με βάση το sin και το cos (χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκου).

Στην επόμενη ενότητα, θα αποδείξουμε τους τύπους παραγώγων για sin(x) και cos(x). Από εκεί, μπορούμε να υπολογίσουμε παραγώγους για άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και να επεκτείνουμε αυτό σε αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και σε ορισμένους άλλους ειδικούς τύπους.

Παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης

Η παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης μας λέει τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων της μορφής a ^x (με a>0, a≠1) ή ιδιαίτερα e ^x . Μεταξύ αυτών, η e ^x θεωρείται η πιο σημαντική εκθετική συνάρτηση επειδή η παράγωγός της είναι ίση με τον εαυτό της.

Παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης

Η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης υποδεικνύει τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων της μορφής _log⁡a (x) (με a>0, a≠1), η πιο σημαντική από τις οποίες είναι η ln⁡(x) - η φυσική λογαριθμική βάση e.

Γνωρίζοντας τον τύπο παραγώγου για το ln(x), μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε την παράγωγο του _log⁡a (x) χρησιμοποιώντας τον τύπο αλλαγής βάσης.

Δεύτερη παράγωγος

Η δεύτερη παράγωγος είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου· δηλαδή, παίρνουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης δύο φορές στη σειρά. Αν η πρώτη παράγωγος μας λέει τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, τότε η δεύτερη παράγωγος μας λέει τον ρυθμό μεταβολής του ίδιου ρυθμού.

Στη γεωμετρία, η δεύτερη παράγωγος βοηθά στον προσδιορισμό της καμπυλότητας/κοιλότητας ενός γραφήματος. Στη φυσική, αν μια συνάρτηση αναπαριστά την απόσταση ως συνάρτηση του χρόνου, η πρώτη παράγωγος είναι η ταχύτητα, ενώ η δεύτερη παράγωγος είναι η επιτάχυνση.

Συμβουλές για την απομνημόνευση τύπων παραγώγων

- Μάθετε τύπους σε ομάδες και όχι ατομικά.

- Φυλάξτε το φύλλο συνταγών για να μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε αμέσως σε περίπτωση που το ξεχάσετε.

- Μάθετε για τα παράγωγα μέσα από την ποίηση:

Εκατό χρόνια στον ανθρώπινο κόσμο

Η παράγωγος είναι κάτι στο οποίο οι τεμπέληδες μαθητές που τη μελετούν μπορεί να μην είναι πολύ καλοί.

X με εκθέτη (en) n

Παίρνουμε την παράγωγο στη δύναμη του n πρώτα.

Τότε ο εκθέτης παραπάνω

Απλώς αφαιρούμε 1 από αυτό.

Παράγωγος της ρίζας x, φίλε μου.

Να θυμάσαι αυτή την αγάπη, φίλε μου, μην την ξεχνάς.

Ο θάνατος είναι ο αριθμός 1, ο οποίος παραμένει αμετάβλητος.

Για παράδειγμα, γράψτε τις δύο τετραγωνικές ρίζες x μαζί για ταχύτητα.

Παράγωγος του γινομένου δύο αδελφών

Θα σε μάθω πρώτα εγώ και θα σε αφήσω για αργότερα.

Στη συνέχεια, προσθέστε ένα σύμβολο συν για να επιταχύνετε τα πράγματα.

Διατηρήστε τον πρώτο αδελφό ως έχει και τον δεύτερο αδελφό μετά την παράγωγο.

Αν αγαπάς πραγματικά κάποιον, θα αντέξεις οποιαδήποτε δυσκολία.

Η αρετή της μητέρας παραμένει αμετάβλητη.

Μην ξεχνάτε το σύμβολο μείον!

Η πηγή του θανάτου, το μονοπάτι της μητρότητας ακολουθεί από κοντά.

Πού πηγαίνει το τετράγωνο του παρονομαστή;

Ας το κατεβάσουμε κάτω για να το απομνημονεύσουμε πιο γρήγορα.

Η παράγωγος του ημιτόνου είναι πραγματικά εκπληκτική.

Αποδεικνύεται ότι το συνημίτονο δεν είναι ποτέ λάθος.

Το συνημίτονο της παραγώγου είναι τόσο όμορφο όσο ένα όνειρο.

Εκτός από το ημίτονο, το οποίο σε αφήνει εντελώς μπερδεμένο.

Η σκληρή δουλειά αντισταθμίζει την έλλειψη νοημοσύνης.

Το ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο του συνημίτονου είναι η παράγωγος της εφαπτομένης.

Μόνο μέσω επιμελούς μελέτης μπορεί κανείς να επιτύχει δόξα.

Ακόμα κι αν η κηδεία είναι δύσκολη, εξακολουθεί να φέρει ένα αίσθημα καθήκοντος.

Αφαιρέστε ένα από τον αριθμό και θυμηθείτε να το κάνετε.

Να είσαι καλός άνθρωπος, μην είσαι πολύ επιπόλαιος.

Το καπέλο Χ είναι πραγματικά παράξενο.

Παράγωγό του, το κρατάμε αμετάβλητο προς το παρόν.

Αφήνουμε την εκθετική συνάρτηση ως έχει.

Ο βασικός αριθμός Nepe ακολουθεί αμέσως.

Παράγωγο Nepe x γρήγορα

Είναι απλώς 1 διαιρούμενο με x, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Λογάριθμου x και Λογάριθμου;

Ας μην ξεχνάμε τον βασικό αριθμό της χώρας μας.

(Συλλέγω)

Πηγή: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html