Τι είναι μια παράγωγος; Λεπτομερείς τύποι παραγώγων

Εκτός από όλους τους τύπους παραγώγων κοινών συναρτήσεων, τριγωνομετρικών παραγώγων, παραγώγων εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων και παραγώγων δεύτερης τάξης, οι αναγνώστες μπορούν να απομνημονεύσουν τον τύπο για τον υπολογισμό παραγώγων μέσα από ένα ποίημα.

Γρήγορη προβολή:

• Τι είναι το παράγωγο;
• Τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο
• Παράγωγοι κοινών συναρτήσεων
• Παράγωγοι αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου, πηλίκου
• Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης
• Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
• Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
• Δεύτερη παράγωγος
• Συμβουλές για να θυμάστε τον τύπο παραγώγων

Τι είναι το παράγωγο;

Σύμφωνα με τα Μαθηματικά 11, τόμος 2, Σύνδεση γνώσης και σειρών ζωής, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μια από τις σημαντικές έννοιες των μαθηματικών. Η παράγωγος αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο ή ένα διάστημα.

Τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο δείχνει πόσο αλλάζει η συνάρτηση σε αυτό το σημείο.

Παράγωγοι κοινών συναρτήσεων

Αυτές είναι οι απλούστερες μορφές συναρτήσεων δύναμης - η βάση για τον υπολογισμό παραγώγων για πιο σύνθετες συναρτήσεις αργότερα.

Παράγωγοι αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου, πηλίκου

Οι παράγωγοι αθροισμάτων, διαφορών, γινομένων και πηλίκων είναι σημαντικοί κανόνες που μας βοηθούν να υπολογίζουμε παράγωγους σύνθετων παραστάσεων από απλές συναρτήσεις. Αντί να χρειάζεται να αποδείξουμε ξανά τον ορισμό των ορίων, μπορούμε απλώς να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους κανόνων για να απλοποιήσουμε τη λειτουργία.

Συγκεκριμένα, η παράγωγος του αθροίσματος ή της διαφοράς είναι ίση με το άθροισμα ή τη διαφορά των παραγώγων. Η παράγωγος του γινομένου ακολουθεί τον κανόνα «πρώτα η παράγωγος, μετά ο πολλαπλασιασμός, πρώτα η πρόσθεση, μετά ο πολλαπλασιασμός της παραγώγου» και η παράγωγος του πηλίκου ακολουθεί τον κανόνα «αριθμητής της παραγώγου πολλαπλασιασμένος με τον παρονομαστή, αφαίρεση αριθμητής πολλαπλασιασμένος με τον παρονομαστή της παραγώγου, διαίρεση με το τετράγωνο του παρονομαστή». Αυτοί οι τύποι θα παρουσιαστούν με σαφήνεια παρακάτω, με επεξηγηματικά παραδείγματα, ώστε οι μαθητές να μπορούν εύκολα να τους θυμούνται και να τους εφαρμόζουν σε ασκήσεις.

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης χρησιμοποιείται όταν η συνάρτηση αποτελείται από πολλά ένθετα επίπεδα συναρτήσεων. Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας, η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης είναι ίση με την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι παράγωγοι των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μας βοηθούν να γνωρίζουμε τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων όπως η sin(x), η cos(x) ή η tan(x) όταν αλλάζει η τιμή του x.

Απλώς κατανοώντας τις παραγώγους των sin(x) και cos(x), μπορούμε να συναγάγουμε τις παραγώγους άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, επειδή όλες μπορούν να εκφραστούν με βάση το sin και το cos (χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκου).

Στην επόμενη ενότητα, θα αποδείξουμε τον τύπο παραγώγου των sin(x) και cos(x). Από εκεί, μπορούμε να υπολογίσουμε παραγώγους για άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και να επεκταθούμε σε αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και σε ορισμένους άλλους ειδικούς τύπους.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Η παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης μας λέει τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων της μορφής a ^x (με a>0, a≠1) ή ιδιαίτερα e ^x . Μεταξύ αυτών, η e ^x θεωρείται η πιο σημαντική εκθετική συνάρτηση επειδή η παράγωγός της είναι ίση με τον εαυτό της.

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης δείχνει τον ρυθμό μεταβολής συναρτήσεων της μορφής log _⁡a (x) (με a>0, a≠1), η πιο σημαντική από τις οποίες είναι η ln⁡(x) - ο φυσικός λογάριθμος με βάση το e.

Γνωρίζοντας τον τύπο παραγώγου του ln⁡(x), μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε την παράγωγο του _log⁡a (x) χρησιμοποιώντας τον τύπο αλλαγής βάσης.

Δεύτερη παράγωγος

Η δεύτερη παράγωγος είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου, δηλαδή, παίρνουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης δύο φορές στη σειρά. Αν η πρώτη παράγωγος μας λέει τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, τότε η δεύτερη παράγωγος μας λέει τον ρυθμό μεταβολής του ίδιου ρυθμού.

Στη γεωμετρία, η δεύτερη παράγωγος βοηθά στον προσδιορισμό της καμπυλότητας/κοιλότητας ενός γραφήματος. Στη φυσική, εάν μια συνάρτηση αντιπροσωπεύει την απόσταση σε συνάρτηση με τον χρόνο, η πρώτη παράγωγος είναι η ταχύτητα και η δεύτερη παράγωγος είναι η επιτάχυνση.

Συμβουλές για να θυμάστε τον τύπο παραγώγων

- Μάθετε τους τύπους σε ομάδες αντί για ξεχωριστά.

- Αποθηκεύστε τον πίνακα τύπων, ώστε να μπορείτε να τον εφαρμόσετε αμέσως σε περίπτωση που τον ξεχάσετε.

- Μάθετε παράγωγα μέσα από ποιήματα:

Εκατό χρόνια σε αυτόν τον κόσμο

Το να είσαι τεμπέλης στο να μαθαίνεις παράγωγα σημαίνει να είσαι αφηρημένος.

X με ισχύ n

Παίρνουμε την πρώτη παράγωγο n-δυνάμεων.

Τότε ο εκθέτης παραπάνω

Αφαιρούμε 1 αμέσως.

Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας x φίλε μου

Με αγάπη, φίλε μου, μην το ξεχνάς.

Ο αριθμητής είναι ο ακέραιος αριθμός 1.

Δείγμα 2 τετραγωνικής ρίζας x γραμμένης μαζί για γρήγορη απάντηση.

Παράγωγος του γινομένου δύο αδελφών

Θα σε διδάξω πρώτα, θα σε φυλάξω για αργότερα.

Στη συνέχεια, προσθέστε ένα σύμβολο συν για ταχύτητα

Κράτα τον μπροστινό αδερφό, το παράγωγο του πίσω αδερφού.

Αν αγαπάς, όσο δύσκολο κι αν είναι, θα το δεχτείς.

Η παράγωγος και ο παρονομαστής παραμένουν οι ίδιοι.

Μην ξεχνάτε το σύμβολο μείον.

Η προέλευση του σύμπαντος και η πορεία της μητέρας ακολουθούν από κοντά.

Πού πηγαίνει το τετράγωνο του δείγματος;

Το κατέβασα για να μάθω γρήγορα το μάθημα.

Η παράγωγος του ημιτόνου είναι πραγματικά ταλαντούχα.

Αποδεικνύεται ότι ποτέ δεν κάνει λάθος.

Το παράγωγο ενός ονείρου

Αφαίρεσε την αμαρτία για να σε αφήσω μόνο.

Η επιμέλεια αντισταθμίζει την ευφυΐα

Η διαίρεση με το συνημίτονο είναι η εφαπτομένη παράγωγος.

Μόνο μελετώντας σκληρά μπορεί κανείς να είναι περήφανος.

Αν και η κηδεία είναι δύσκολη, έχει και τα παράγωγά της.

Αφαιρέστε 1 και θυμηθείτε να το κάνετε.

Να είσαι ένας φυσιολογικός άνθρωπος, μην είσαι πολύ παιχνιδιάρης.

Το "E" που x είναι τόσο περίεργο

Παράγωγό του, κρατάμε το ίδιο.

Αφήνουμε την εκθετική συνάρτηση ήσυχη.

Ο βασικός αριθμός έτρεξε αμέσως μετά.

Παράγωγο Nepe x γρήγορα

Είναι 1 διαιρούμενο με x, δεν είναι τόσο δύσκολο.

Είναι ο λογάριθμος x διαφορετικός;

Μην ξεχνάτε τον βασικό μας αριθμό.

(Συλλέγω)

Πηγή: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html