مشتق چیست؟ فرمول‌های دقیق مشتق

مشتق چیست؟

طبق کتاب ریاضی یازدهم، جلد دوم، «ارتباط دانش و سری‌های زندگی»، مشتق یک تابع یکی از مفاهیم مهم ریاضیات است. مشتق نشان دهنده نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه یا یک بازه است.

فرمول مشتق تابع در یک نقطه

مشتق یک تابع در یک نقطه، میزان تغییرات تابع در آن نقطه را نشان می‌دهد.

مشتق توابع مشترک

اینها ساده‌ترین شکل‌های توابع توانی هستند - مبنایی برای محاسبه مشتقات برای توابع پیچیده‌تر در ادامه.

مشتقات مجموع، تفاضل، حاصلضرب، خارج قسمت

مشتق‌های مجموع‌ها، تفاضل‌ها، حاصلضرب‌ها و خارج قسمت‌ها، قوانین مهمی هستند که به ما کمک می‌کنند تا مشتق‌های عبارات مختلط را از توابع ساده محاسبه کنیم. به جای اینکه مجبور باشیم دوباره تعریف حدها را اثبات کنیم، می‌توانیم به سادگی این فرمول‌های قاعده‌ای را برای ساده‌سازی عملیات به کار ببریم.

به طور خاص، مشتق مجموع یا تفاضل برابر با مجموع یا تفاضل مشتقات است؛ مشتق حاصلضرب از قانون «ابتدا مشتق، سپس ضرب، ابتدا جمع، سپس ضرب مشتق» پیروی می‌کند؛ و مشتق خارج قسمت از قانون «صورت مشتق ضرب در مخرج، تفریق صورت ضرب در مخرج مشتق، تقسیم بر مجذور مخرج» پیروی می‌کند. این فرمول‌ها در زیر به وضوح، همراه با مثال‌های توضیحی ارائه خواهند شد تا دانش‌آموزان بتوانند به راحتی آنها را به خاطر بسپارند و در تمرین‌ها به کار گیرند.

مشتق تابع مرکب

مشتق یک تابع مرکب زمانی استفاده می‌شود که تابع از چندین لایه تو در تو از توابع تشکیل شده باشد. با اعمال قانون زنجیره‌ای، مشتق یک تابع مرکب برابر است با مشتق تابع بیرونی ضربدر مشتق تابع درونی.

مشتق توابع مثلثاتی

مشتقات توابع مثلثاتی به ما کمک می‌کنند تا نرخ تغییر توابعی مانند sin(x)، cos(x) یا tan(x) را هنگام تغییر مقدار x بدانیم.

تنها با تسلط بر مشتق‌های sin(x) و cos(x)، می‌توانیم مشتق‌های سایر توابع مثلثاتی را استنباط کنیم، زیرا همه آنها را می‌توان بر اساس sin و cos (با استفاده از قاعده خارج قسمت) بیان کرد.

در بخش بعدی، فرمول مشتق sin(x) و cos(x) را اثبات خواهیم کرد. از آنجا، می‌توانیم مشتق‌ها را برای سایر توابع مثلثاتی محاسبه کنیم و همچنین به توابع مثلثاتی معکوس و برخی فرمول‌های خاص دیگر تعمیم دهیم.

مشتق تابع نمایی

مشتق یک تابع نمایی، نرخ تغییر توابعی به فرم a ^x (با a>0، a≠1) یا به ویژه e ^x را به ما می‌گوید. در میان آنها، e ^x مهمترین تابع نمایی در نظر گرفته می‌شود زیرا مشتق آن برابر با خودش است.

مشتق تابع لگاریتمی

مشتق یک تابع لگاریتمی، نرخ تغییر توابعی به شکل _log⁡a (x) (با a>0، a≠1) را بیان می‌کند که مهم‌ترین آنها ln⁡(x) است - لگاریتم طبیعی با پایه e.

با دانستن فرمول مشتق ln⁡(x)، می‌توانیم به راحتی مشتق _log⁡a (x) را با استفاده از فرمول تغییر پایه بدست آوریم.

مشتق دوم

مشتق دوم، مشتق مشتق اول است، یعنی ما دو بار پشت سر هم از یک تابع مشتق می‌گیریم. اگر مشتق اول نرخ تغییر تابع را به ما بگوید، مشتق دوم نرخ تغییر همان نرخ را به ما می‌گوید.

در هندسه، مشتق دوم به تعیین انحنا/تقعر یک نمودار کمک می‌کند. در فیزیک، اگر یک تابع نشان دهنده مسافت در طول زمان باشد، مشتق اول سرعت و مشتق دوم شتاب است.