مشتق چیست؟ فرمول‌های دقیق مشتق

خوانندگان علاوه بر تمام فرمول‌های مشتق توابع متداول، مشتقات مثلثاتی، مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی و مشتقات مرتبه دوم، می‌توانند فرمول محاسبه مشتقات را از طریق یک شعر به خاطر بسپارند.

مرور سریع:

• مشتق چیست؟
• فرمول مشتق تابع در یک نقطه
• مشتق توابع مشترک
• مشتق‌های مجموع‌ها، تفاضل‌ها، حاصل‌ضرب‌ها و خارج قسمت‌ها.
• مشتق یک تابع مرکب
• مشتقات توابع مثلثاتی
• مشتق یک تابع نمایی
• مشتق تابع لگاریتمی
• مشتق دوم
• نکاتی برای به خاطر سپردن فرمول‌های مشتق

مشتق چیست؟

طبق کتاب ریاضی یازدهم، جلد دوم، از مجموعه «پیوند دانش و زندگی»، مشتق یک تابع یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات است. مشتق نشان دهنده نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه یا یک بازه است.

فرمول مشتق تابع در یک نقطه

مشتق یک تابع در یک نقطه، میزان تغییر تابع در آن نقطه را نشان می‌دهد.

مشتق توابع مشترک

اینها ساده‌ترین شکل‌های توابع توانی هستند - پایه و اساس محاسبه مشتقات برای بسیاری از توابع پیچیده‌تر در ادامه.

مشتق‌های مجموع‌ها، تفاضل‌ها، حاصل‌ضرب‌ها و خارج قسمت‌ها.

مشتق‌های مجموع‌ها، تفاضل‌ها، حاصلضرب‌ها و خارج قسمت‌ها، قوانین مهمی هستند که به ما کمک می‌کنند مشتق عبارات پیچیده را از توابع ساده محاسبه کنیم. به جای اینکه مجبور باشیم دوباره آنها را از تعریف حد ثابت کنیم، می‌توانیم به سادگی این فرمول‌ها و قوانین را برای ساده‌سازی فرآیند به کار ببریم.

به طور خاص، مشتق یک مجموع یا تفاضل برابر با مجموع یا تفاضل مشتقات آن است؛ مشتق یک حاصلضرب از قانون «اول مشتق، سپس ضرب؛ اول جمع، سپس مشتق» پیروی می‌کند؛ و مشتق یک خارج قسمت از قانون «صورت مشتق ضربدر مخرج، تفریق صورت ضربدر مخرج مشتق، تقسیم بر مخرج به توان دو» پیروی می‌کند. این فرمول‌ها در زیر به وضوح، همراه با مثال‌های گویا، ارائه خواهند شد تا دانش‌آموزان به راحتی آنها را به خاطر بسپارند و در تمرین‌ها به کار گیرند.

مشتق یک تابع مرکب

مشتق یک تابع مرکب زمانی استفاده می‌شود که تابع از چندین تابع تو در تو تشکیل شده باشد. با اعمال قانون زنجیره‌ای، مشتق تابع مرکب برابر است با حاصل ضرب مشتق تابع بیرونی در مشتق تابع درونی.

مشتق توابع مثلثاتی

مشتقات توابع مثلثاتی به ما کمک می‌کنند تا نرخ تغییر توابعی مانند sin(x)، cos(x) یا tan(x) را با تغییر مقدار x درک کنیم.

با تسلط بر مشتق‌های sin(x) و cos(x)، می‌توانیم مشتق‌های سایر توابع مثلثاتی را استنباط کنیم، زیرا همه آنها را می‌توان بر حسب sin و cos (با استفاده از قاعده خارج قسمت) بیان کرد.

در بخش بعدی، فرمول‌های مشتق برای sin(x) و cos(x) را اثبات خواهیم کرد. از آنجا، می‌توانیم مشتق‌ها را برای سایر توابع مثلثاتی محاسبه کنیم و همچنین این را به توابع مثلثاتی معکوس و برخی فرمول‌های خاص دیگر تعمیم دهیم.

مشتق یک تابع نمایی

مشتق یک تابع نمایی، نرخ تغییر توابعی به فرم a ^x (با a>0، a≠1) یا به خصوص e ^x را به ما می‌گوید. در میان این توابع، e ^x مهمترین تابع نمایی در نظر گرفته می‌شود زیرا مشتق آن برابر با خودش است.

مشتق تابع لگاریتمی

مشتق یک تابع لگاریتمی، نرخ تغییر توابعی به فرم _log⁡a (x) (با a>0، a≠1) را نشان می‌دهد که مهم‌ترین آنها ln⁡(x) است - مبنای لگاریتم طبیعی e.

با دانستن فرمول مشتق ln(x)، می‌توانیم به راحتی مشتق _log⁡a (x) را با استفاده از تغییر فرمول پایه بدست آوریم.

مشتق دوم

مشتق دوم، مشتق مشتق اول است؛ یعنی ما دو بار پشت سر هم از یک تابع مشتق می‌گیریم. اگر مشتق اول نرخ تغییر تابع را به ما بگوید، مشتق دوم نرخ تغییر همان نرخ را به ما می‌گوید.

در هندسه، مشتق دوم به تعیین انحنا/تقعر یک نمودار کمک می‌کند. در فیزیک، اگر یک تابع، مسافت را به عنوان تابعی از زمان نشان دهد، مشتق اول سرعت و مشتق دوم شتاب است.

نکاتی برای به خاطر سپردن فرمول‌های مشتق

- فرمول‌ها را به صورت گروهی یاد بگیرید نه انفرادی.

- برگه دستور غذا را ذخیره کنید تا در صورت فراموش کردن، بتوانید فوراً از آن استفاده کنید.

- از طریق شعر در مورد مشتقات بیاموزید:

صد سال در دنیای بشر

مشتق چیزی است که دانش‌آموزان تنبلی که آن را مطالعه می‌کنند، ممکن است در آن خیلی خوب نباشند.

X با توان (en) n

ابتدا مشتق را به توان n می‌رسانیم.

سپس توان بالا

ما فقط ۱ را از آن کم می‌کنیم.

مشتق ریشه x، دوست من.

آن عشق را به یاد داشته باش، دوست من، فراموشش نکن.

مرگ عدد ۱ است که بدون تغییر باقی می‌ماند.

برای مثال، برای سرعت، دو جذر x را با هم بنویسید.

مشتق حاصل ضرب دو برادر

اول بهت یاد میدم، و میذارم برای بعد.

سپس برای سرعت بخشیدن به کار، یک علامت مثبت اضافه کنید.

برادر اول را همانطور که هست نگه دارید، و برادر دوم را بعد از مشتق قرار دهید.

اگر واقعاً کسی را دوست داشته باشید، هر سختی را تحمل خواهید کرد.

فضیلت مادر بدون تغییر باقی می‌ماند.

علامت منفی را فراموش نکنید!

سرچشمه‌ی مرگ، مسیر مادرانگی از نزدیک در پی آن می‌آید.

مربع مخرج کجا می‌رود؟

بیا ببریمش طبقه پایین تا سریع‌تر حفظش کنیم.

مشتق سینوس واقعاً شگفت‌انگیز است.

معلوم می‌شود که کسینوس هرگز اشتباه نمی‌کند.

کسینوس مشتق به زیبایی یک رویا است.

به جز سینوس، که شما را کاملاً گیج و مبهوت باقی می‌گذارد.

سخت‌کوشی، کمبود هوش را جبران می‌کند.

حاصل تقسیم عدد یک بر کسینوس به توان دو، مشتق تانژانت است.

تنها با مطالعه‌ی دقیق می‌توان به افتخار دست یافت.

اگرچه مراسم تشییع جنازه دشوار است، اما همچنان حس وظیفه شناسی را به همراه دارد.

یکی را از عدد کم کنید و فراموش نکنید که این کار را انجام دهید.

آدم خوبی باش، زیادی بی‌خیال نباش.

کلاه X واقعاً عجیب است.

مشتق آن، فعلاً آن را بدون تغییر نگه می‌داریم.

تابع نمایی را به همین صورت باقی می‌گذاریم.

عدد پایه نپه بلافاصله پس از آن قرار می‌گیرد.

مشتق Nepe x به سرعت

فقط ۱ تقسیم بر x است، اصلاً سخت نیست.

تفاوت بین لگاریتم x و لگاریتم چیست؟

بیایید تعداد پایه کشورمان را فراموش نکنیم.

(جمع آوری)

منبع: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html