Що таке похідна? Детальні формули похідних

Окрім усіх формул похідних поширених функцій, тригонометричних похідних, похідних експоненціальних та логарифмічних функцій, а також похідних другого порядку, читачі можуть запам'ятати формулу для обчислення похідних за допомогою вірша.

VietNamNet•17/10/2025

Швидкий перегляд:

Що таке похідна?
Формула для похідної функції в точці
Похідні спільних функцій
Похідні суми, різниці, добутку, частки
Похідна складеної функції
Похідні тригонометричних функцій
Похідна експоненціальної функції
Похідна логарифмічної функції
Друга похідна
Поради щодо запам'ятовування формули похідної

Що таке похідна?

Згідно з Математикою 11, том 2, «Зв'язок знань та життєвих рядів», похідна функції є одним із важливих понять математики. Похідна представляє швидкість зміни функції в точці або інтервалі.

Формула для похідної функції в точці

Похідна функції в точці показує, наскільки змінюється функція в цій точці.

Похідні спільних функцій

Це найпростіші форми степеневих функцій – основа для обчислення похідних для складніших функцій пізніше.

Похідні суми, різниці, добутку, частки

Похідні сум, різниць, добутків та часток – це важливі правила, які допомагають нам обчислювати похідні складних виразів від простих функцій. Замість того, щоб знову доводити визначення границі, ми можемо просто застосувати ці формули правил для спрощення операції.

Зокрема, похідна суми або різниці дорівнює сумі або різниці похідних; похідна добутку підпорядковується правилу «спочатку похідна, потім множення, спочатку додавання, потім множення похідної»; а похідна частки підпорядковується правилу «чисельник похідної помножити на знаменник, відняти чисельник похідної помножити на знаменник, поділити на квадрат знаменника». Ці формули будуть чітко представлені нижче з ілюстративними прикладами, щоб студенти могли легко запам'ятати їх та застосувати до вправ.

3 функції функції сума-добуток-частка.PNG

Похідна складеної функції

Похідна складеної функції використовується, коли функція складається з кількох вкладених шарів функцій. Застосовуючи правило ланцюга, похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції, помноженій на похідну внутрішньої функції.

Похідні тригонометричних функцій

Похідні тригонометричних функцій допомагають нам знати швидкість зміни таких функцій, як sin(x), cos(x) або tan(x), коли змінюється значення x.

Просто опанувавши похідні sin(x) та cos(x), ми можемо вивести похідні інших тригонометричних функцій, оскільки всі вони можуть бути виражені на основі sin та cos (використовуючи правило частки).

У наступному розділі ми доведемо формулу для похідних sin(x) та cos(x). Звідти ми можемо обчислювати похідні для інших тригонометричних функцій, а також поширювати їх на обернені тригонометричні функції та деякі інші спеціальні формули.

Похідна експоненціальної функції

Похідна експоненціальної функції показує нам швидкість зміни функцій виду a × ^x (де a > 0, a ≠ 1) або, особливо, e × ^x . Серед них e × ^x вважається найважливішою експоненціальною функцією, оскільки її похідна дорівнює самій собі.

Похідна логарифмічної функції

Похідна логарифмічної функції показує швидкість зміни функцій виду _log⁡a (x) (де a>0, a≠1), найважливішою з яких є ln⁡(x) — натуральний логарифм з основою e.

Знаючи формулу похідної ln⁡(x), ми можемо легко вивести похідну _log⁡a (x), використовуючи формулу заміни основи.

Друга похідна

Друга похідна — це похідна першої похідної, тобто ми беремо похідну функції двічі поспіль. Якщо перша похідна показує швидкість зміни функції, то друга похідна показує швидкість зміни тієї ж швидкості.

У геометрії друга похідна допомагає визначити кривизну/увігнутість графіка. У фізиці, якщо функція представляє відстань з часом, перша похідна — це швидкість, а друга похідна — прискорення.