Що таке похідна? Детальні формули похідних

Окрім усіх формул похідних поширених функцій, тригонометричних похідних, похідних експоненціальних та логарифмічних функцій, а також похідних другого порядку, читачі можуть запам'ятати формулу для обчислення похідних за допомогою вірша.

Короткий огляд:

• Що таке похідна?
• Формула для похідної функції в точці
• Похідні спільних функцій
• Похідні сум, різниць, добутків та часток.
• Похідна складеної функції
• Похідні тригонометричних функцій
• Похідна експоненціальної функції
• Похідна логарифмічної функції
• Друга похідна
• Поради щодо запам'ятовування формул похідних

Що таке похідна?

Згідно з підручником з математики 11, том 2, що входить до серії «З’єднуючи знання та життя», похідна функції є одним із важливих понять у математиці. Похідна представляє швидкість зміни функції в точці або на проміжку.

Формула для похідної функції в точці

Похідна функції в точці показує ступінь зміни функції в цій точці.

Похідні спільних функцій

Це найпростіші форми степеневих функцій – основа для обчислення похідних багатьох складніших функцій пізніше.

Похідні сум, різниць, добутків та часток.

Похідні сум, різниць, добутків та часток – це важливі правила, які допомагають нам обчислювати похідні складних виразів від простих функцій. Замість того, щоб доводити їх знову з визначення границі, ми можемо просто застосувати ці формули та правила для спрощення процесу.

Зокрема, похідна суми або різниці дорівнює сумі або різниці її похідних; похідна добутку підпорядковується правилу «спочатку похідна, потім множення; спочатку додавання, потім похідна»; а похідна частки підпорядковується правилу «чисельник похідна помножена на знаменник, віднімання чисельник помножений на знаменник похідна, ділення на знаменник у квадраті». Ці формули будуть чітко представлені нижче з ілюстративними прикладами, щоб допомогти учням легко запам'ятати та застосувати їх у вправах.

Похідна складеної функції

Похідна складеної функції використовується, коли функція утворена з кількох вкладених функцій. Застосовуючи правило ланцюга, похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції, помноженій на похідну внутрішньої функції.

Похідні тригонометричних функцій

Похідні тригонометричних функцій допомагають нам зрозуміти швидкість зміни таких функцій, як sin(x), cos(x) або tan(x), при зміні значення x.

Оволодівши похідними sin(x) та cos(x), ми можемо вивести похідні інших тригонометричних функцій, оскільки всі вони можуть бути виражені через sin та cos (використовуючи правило частки).

У наступному розділі ми доведемо формули похідних для sin(x) та cos(x). Звідти ми можемо обчислювати похідні для інших тригонометричних функцій, а також поширити це на обернені тригонометричні функції та деякі інші спеціальні формули.

Похідна експоненціальної функції

Похідна експоненціальної функції показує нам швидкість зміни функцій виду a ^{× x} (де a > 0, a ≠ 1) або, особливо, e × ^x . Серед них e × ^x вважається найважливішою експоненціальною функцією, оскільки її похідна дорівнює самій собі.

Похідна логарифмічної функції

Похідна логарифмічної функції показує швидкість зміни функцій виду _log⁡a (x) (де a>0, a≠1), найважливішою з яких є ln⁡(x) — натуральний логарифм з основою e.

Знаючи формулу похідної для ln(x), ми можемо легко вивести похідну _log⁡a (x), використовуючи формулу заміни базису.

Друга похідна

Друга похідна — це похідна першої похідної, тобто ми беремо похідну функції двічі поспіль. Якщо перша похідна показує швидкість зміни функції, то друга похідна показує швидкість зміни тієї ж швидкості.

У геометрії друга похідна допомагає визначити кривизну/увігнутість графіка. У фізиці, якщо функція представляє відстань як функцію часу, перша похідна — це швидкість, а друга похідна — прискорення.

Поради щодо запам'ятовування формул похідних

- Вивчайте формули в групах, а не індивідуально.

- Збережіть аркуш з рецептами, щоб ви могли негайно його використати, якщо забудете.

- Дізнайтеся про похідні форми через поезію:

Сто років у світі людей

Похідна – це те, в чому ліниві студенти, які її вивчають, можуть бути не дуже вправними.

X з показником степеня (en) n

Спочатку зведемо похідну до степеня n.

Потім є показник степеня вище.

Ми просто віднімаємо від цього 1.

Похідна кореня x, друже.

Пам'ятай про це кохання, друже мій, не забувай про нього.

Смерть – це число 1, яке залишається незмінним.

Наприклад, для обчислення швидкості запишіть два квадратні корені з x разом.

Похідна від добутку двох братів

Я спочатку тебе навчу, а потім залишу на потім.

Потім додайте знак плюс, щоб пришвидшити процес.

Першого брата залишити як є, а другого брата — після похідної.

Якщо ти справді когось любиш, то переживеш будь-які труднощі.

Чеснота матері залишається незмінною.

Не забудьте про знак мінус!

Джерело смерті, шлях материнства йде слідом.

Куди поділяється квадрат знаменника?

Давайте спустимося вниз, щоб швидше запам'ятати.

Похідна синуса справді дивовижна.

Виявляється, що косинус ніколи не буває помилковим.

Косинус похідної такий же прекрасний, як мрія.

За винятком синуса, який залишає вас у повному розгубленості.

Важка праця компенсує брак інтелекту.

Одиниця, поділена на косинус у квадраті, є похідною тангенса.

Тільки завдяки старанному навчанню можна досягти слави.

Навіть якщо похорон важкий, він все одно несе в собі почуття обов'язку.

Відніміть одиницю від числа і не забудьте це зробити.

Будь хорошою людиною, не будь надто легковажним.

Капелюх X справді дивний.

Його похідну, ми поки що залишаємо незмінною.

Експоненційну функцію залишаємо як є.

Базове число Непе йде одразу після цього.

Швидка похідна Непе x

Це просто 1 поділено на x, це зовсім нескладно.

Яка різниця між логарифмом x та логарифмом?

Не забуваймо про базове число нашої країни.

(Зібрати)

Джерело: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html