Co je derivace? Podrobné vzorce pro derivaci

Kromě všech derivačních vzorců pro běžné funkce, trigonometrických derivací, derivací exponenciálních a logaritmických funkcí a druhých derivací si čtenáři mohou zapamatovat vzorec pro výpočet derivací prostřednictvím básně.

Rychlý přehled:

• Co je to derivát?
• Vzorec pro derivaci funkce v bodě
• Derivace společných funkcí
• Derivace součtů, rozdílů, součinů a podílů.
• Derivace složené funkce
• Derivace trigonometrických funkcí
• Derivace exponenciální funkce
• Derivace logaritmické funkce
• Druhá derivace
• Tipy pro zapamatování derivačních vzorců

Co je to derivát?

Podle učebnice Math 11, svazek 2, která je součástí série „Propojování znalostí a života“, je derivace funkce jedním z důležitých pojmů v matematice. Derivace představuje rychlost změny funkce v bodě nebo intervalu.

Vzorec pro derivaci funkce v bodě

Derivace funkce v daném bodě udává stupeň změny funkce v tomto bodě.

Derivace společných funkcí

Toto jsou nejjednodušší formy mocninných funkcí – základ pro výpočet derivací mnoha složitějších funkcí později.

Derivace součtů, rozdílů, součinů a podílů.

Derivace součtů, rozdílů, součinů a podílů jsou důležitá pravidla, která nám pomáhají vypočítat derivace složitých výrazů z jednoduchých funkcí. Místo toho, abychom je museli znovu dokazovat z definice limity, můžeme jednoduše použít tyto vzorce a pravidla pro zjednodušení procesu.

Konkrétně se derivace součtu nebo rozdílu rovná součtu nebo rozdílu jeho derivací; derivace součinu se řídí pravidlem „nejprve derivace, pak násobení; nejprve sčítání, pak derivace“; a derivace podílu se řídí pravidlem „čitatel derivace vynásobená jmenovatelem, odčítání čitatel násobený jmenovatelem derivace, dělení jmenovatelem na druhou“. Tyto vzorce budou níže jasně prezentovány s ilustrativními příklady, aby si je studenti snadno zapamatovali a aplikovali v cvičeních.

Derivace složené funkce

Derivace složené funkce se používá, když je funkce tvořena z více vnořených funkcí. Použitím řetězového pravidla se derivace složené funkce rovná derivaci vnější funkce vynásobené derivací vnitřní funkce.

Derivace trigonometrických funkcí

Derivace trigonometrických funkcí nám pomáhají pochopit rychlost změny funkcí, jako je sin(x), cos(x) nebo tan(x), při změně hodnoty x.

Zvládnutím derivací sin(x) a cos(x) můžeme odvodit derivace dalších trigonometrických funkcí, protože všechny lze vyjádřit pomocí sin a cos (pomocí pravidla pro podíl).

V následující části dokážeme derivační vzorce pro sin(x) a cos(x). Z nich můžeme vypočítat derivace pro další trigonometrické funkce a také rozšířit tento postup na inverzní trigonometrické funkce a některé další speciální vzorce.

Derivace exponenciální funkce

Derivace exponenciální funkce nám udává rychlost změny funkcí tvaru a ^x (kde a > 0, a ≠ 1) nebo zejména e ^x . Mezi nimi je e ^x považována za nejdůležitější exponenciální funkci, protože její derivace je rovna sama sobě.

Derivace logaritmické funkce

Derivace logaritmické funkce udává rychlost změny funkcí tvaru _log⁡a (x) (kde a>0, a≠1), z nichž nejdůležitější je ln⁡(x) - přirozený logaritmus o základu e.

Známe-li vzorec pro derivaci ln(x), můžeme snadno odvodit derivaci _log⁡a (x) pomocí vzorce pro změnu báze.

Druhá derivace

Druhá derivace je derivací první derivace, to znamená, že derivaci funkce provádíme dvakrát po sobě. Pokud nám první derivace udává rychlost změny funkce, pak nám druhá derivace udává rychlost změny téže rychlosti.

V geometrii pomáhá druhá derivace určovat zakřivení/konkávnost grafu. Ve fyzice, pokud funkce představuje vzdálenost jako funkci času, je první derivací rychlost, zatímco druhou derivací je zrychlení.

Tipy pro zapamatování derivačních vzorců

- Učte se vzorce ve skupinách, nikoli individuálně.

- Uschovejte si recept, abyste ho mohli ihned použít, pokud zapomenete.

- Dozvíte se o derivátech prostřednictvím poezie:

Sto let v lidském světě

Derivace je něco, v čem líní studenti, kteří ji studují, nemusí být moc dobří.

X s exponentem (en) n

Nejprve uvedeme derivaci na n-tou.

Pak je tu exponent výše.

Od toho prostě odečteme 1.

Derivace kořene x, příteli.

Pamatuj si tu lásku, příteli, nezapomínej na ni.

Smrt je číslo 1, které zůstává neměnné.

Například pro výpočet rychlosti zapište dvě odmocniny z x dohromady.

Derivát součinu dvou bratrů

Nejdřív tě to naučím a pak si to nechám na později.

Pak přidejte znaménko plus, abyste to urychlili.

Prvního bratra ponechte tak, jak je, a druhého bratra ponechte za derivací.

Pokud někoho opravdu milujete, zvládnete jakékoli těžkosti.

Ctnost matky zůstává nezměněna.

Nezapomeňte na znaménko mínus!

Zdroj smrti, cesta mateřství, následuje těsně za ním.

Kam se podívá druhá mocnina jmenovatele?

Vezměme si to dolů, ať si to rychleji zapamatujeme.

Sinusová derivace je opravdu úžasná.

Ukazuje se, že kosinus se nikdy nemýlí.

Kosinus derivace je krásný jako sen.

Kromě sinu, který vás nechává úplně samotného zmateného.

Tvrdá práce kompenzuje nedostatek inteligence.

Jedna dělená kosinem na druhou je derivace tangensy.

Pouze pilným studiem lze dosáhnout slávy.

I když je pohřeb těžký, stále s sebou nese pocit povinnosti.

Odečtěte od čísla jednu a nezapomeňte na to.

Buď dobrý člověk, nebuď příliš lehkovážný.

Ten klobouk X je opravdu zvláštní.

Jeho derivát, prozatím ho ponecháváme beze změny.

Exponenciální funkci necháme tak, jak je.

Základní Nepeho číslo následuje bezprostředně.

Rychlá derivace Nepeho x

Je to jen 1 děleno x, není to vůbec těžké.

Jaký je rozdíl mezi logaritmem x a logaritmem?

Nezapomínejme na základní číslo naší země.

(Sbírat)

Zdroj: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html