Co je derivace? Podrobné vzorce pro derivaci

Co je derivát?

Podle Math 11, svazek 2, Propojení znalostí a životních řad, je derivace funkce jedním z důležitých pojmů matematiky. Derivace představuje rychlost změny funkce v bodě nebo intervalu.

Vzorec pro derivaci funkce v bodě

Derivace funkce v daném bodě udává, o kolik se funkce v tomto bodě změní.

Derivace společných funkcí

Toto jsou nejjednodušší formy mocninných funkcí – základ pro pozdější výpočet derivací složitějších funkcí.

Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu

Derivace součtů, rozdílů, součinů a podílů jsou důležitá pravidla, která nám pomáhají vypočítat derivace složitých výrazů z jednoduchých funkcí. Místo toho, abychom museli znovu dokazovat definici limit, můžeme jednoduše použít tato pravidla pro zjednodušení operace.

Konkrétně, derivace součtu nebo rozdílu se rovná součtu nebo rozdílu derivací; derivace součinu se řídí pravidlem „nejprve derivace, poté násobení, nejprve sčítání, poté násobení derivace“; a derivace podílu se řídí pravidlem „čitatel derivace vynásobený jmenovatelem, odečíst čitatele vynásobeného jmenovatelem derivace, dělit druhou mocninou jmenovatele“. Tyto vzorce budou níže jasně prezentovány s ilustrativními příklady, aby si je studenti mohli snadno zapamatovat a aplikovat ve cvičeních.

Derivace složené funkce

Derivace složené funkce se používá, když je funkce složena z několika vnořených vrstev funkcí. Použitím řetězového pravidla se derivace složené funkce rovná derivaci vnější funkce vynásobené derivací vnitřní funkce.

Derivace trigonometrických funkcí

Derivace trigonometrických funkcí nám pomáhají zjistit rychlost změny funkcí, jako je sin(x), cos(x) nebo tan(x), když se změní hodnota x.

Pouhým zvládnutím derivací sin(x) a cos(x) můžeme odvodit derivace dalších trigonometrických funkcí, protože všechny lze vyjádřit na základě sin a cos (pomocí pravidla pro podíl).

V následující části dokážeme vzorec pro derivaci funkcí sin(x) a cos(x). Z něj můžeme vypočítat derivace pro další trigonometrické funkce a také rozšířit tento vzorec na inverzní trigonometrické funkce a některé další speciální vzorce.

Derivace exponenciální funkce

Derivace exponenciální funkce nám udává rychlost změny funkcí tvaru a ^x (kde a>0,a≠1) nebo zejména e ^x . Mezi nimi je e ^x považována za nejdůležitější exponenciální funkci, protože její derivace je rovna sama sobě.

Derivace logaritmické funkce

Derivace logaritmické funkce udává rychlost změny funkcí tvaru _log⁡a (x) (kde a>0, a≠1), z nichž nejdůležitější je ln⁡(x) - přirozený logaritmus o základu e.

Známe-li vzorec pro derivaci ln⁡(x), můžeme snadno odvodit derivaci _log⁡a (x) pomocí vzorce pro změnu báze.

Druhá derivace

Druhá derivace je derivací první derivace, to znamená, že derivaci funkce provádíme dvakrát po sobě. Pokud nám první derivace udává rychlost změny funkce, pak nám druhá derivace udává rychlost změny téže rychlosti.

V geometrii pomáhá druhá derivace určovat zakřivení/konkávnost grafu. Ve fyzice, pokud funkce představuje vzdálenost v čase, je první derivací rychlost a druhou derivací zrychlení.