อนุพันธ์คืออะไร? สูตรอนุพันธ์โดยละเอียด

นอกเหนือจากสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป อนุพันธ์ตรีโกณมิติ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม และอนุพันธ์อันดับสองแล้ว ผู้อ่านยังสามารถท่องจำสูตรการคำนวณอนุพันธ์ได้ผ่านบทกวีอีกด้วย

ดูอย่างรวดเร็ว:

• อนุพันธ์คืออะไร?
• สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป
• อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ ผลหาร
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
• อนุพันธ์ลำดับที่สอง
• เคล็ดลับในการจำสูตรอนุพันธ์

อนุพันธ์คืออะไร?

ตามหนังสือชุดเชื่อมโยงความรู้และชีวิต เล่ม 2 ของคณิตศาสตร์ 11 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดสำคัญของคณิตศาสตร์ อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหรือช่วงหนึ่ง

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะบอกว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปมากเพียงใด ณ จุดนั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป

เหล่านี้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันกำลัง - พื้นฐานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้นในภายหลัง

อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ ผลหาร

อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร เป็นกฎสำคัญที่ช่วยให้เราคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์เชิงซ้อนจากฟังก์ชันเชิงง่ายได้ แทนที่จะต้องพิสูจน์นิยามของลิมิตอีกครั้ง เราสามารถใช้สูตรกฎเหล่านี้เพื่อลดความซับซ้อนของการดำเนินการได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่างมีค่าเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณเป็นไปตามกฎ "อนุพันธ์ก่อน คูณ บวกก่อน แล้วคูณอนุพันธ์" และอนุพันธ์ของผลหารเป็นไปตามกฎ "ตัวเศษของอนุพันธ์คูณตัวส่วน ลบตัวเศษคูณตัวส่วนของอนุพันธ์ หารด้วยกำลังสองของตัวส่วน" สูตรเหล่านี้จะนำเสนออย่างชัดเจนพร้อมตัวอย่างประกอบด้านล่าง เพื่อให้นักเรียนสามารถจดจำและนำไปประยุกต์ใช้ในแบบฝึกหัดได้ง่าย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบจะใช้เมื่อฟังก์ชันประกอบด้วยฟังก์ชันหลายชั้นซ้อนกัน เมื่อใช้กฎลูกโซ่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติช่วยให้เราทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เช่น sin(x), cos(x) หรือ tan(x) เมื่อค่าของ x เปลี่ยนแปลง

เพียงแค่เชี่ยวชาญอนุพันธ์ของ sin(x) และ cos(x) เราก็สามารถอนุมานอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ได้ เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดสามารถแสดงได้โดยอิงตาม sin และ cos (โดยใช้กฎผลหาร)

ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของ sin(x) และ cos(x) จากนั้น เราสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ รวมถึงขยายไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและสูตรพิเศษอื่นๆ ได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบอกเราถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในรูปแบบ a ^x (โดยที่ a>0, a≠1) หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง e ^x ในบรรดาฟังก์ชันเหล่านั้น e ^x ถือเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่สำคัญที่สุด เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้มีค่าเท่ากับตัวมันเอง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมจะบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในรูปแบบ log _⁡a (x) (โดยที่ a>0, a≠1) ซึ่งฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดคือ ln⁡(x) - ลอการิทึมธรรมชาติที่มีฐาน e

เมื่อทราบสูตรอนุพันธ์ของ ln⁡(x) แล้ว เราสามารถอนุมานอนุพันธ์ของ log _⁡a (x) ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงฐาน

อนุพันธ์ลำดับที่สอง

อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง นั่นคือ เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสองครั้งติดต่อกัน หากอนุพันธ์อันดับหนึ่งบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองก็บอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเดียวกันนั้น

ในเรขาคณิต อนุพันธ์อันดับสองช่วยหาความโค้ง/ความเว้าของกราฟ ในฟิสิกส์ หากฟังก์ชันแทนระยะทางเทียบกับเวลา อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือความเร็ว และอนุพันธ์อันดับสองคือความเร่ง

เคล็ดลับในการจำสูตรอนุพันธ์

- เรียนรู้สูตรเป็นกลุ่มแทนที่จะเรียนรู้แยกกัน

- บันทึกตารางสูตรไว้ เพื่อที่คุณจะสามารถนำไปใช้ได้ทันทีเมื่อคุณลืม

- เรียนรู้อนุพันธ์ผ่านบทกวี:

หนึ่งร้อยปีในโลกนี้

การขี้เกียจเรียนรู้อนุพันธ์คือความขาดสมาธิ

X มีกำลัง n

เราใช้อนุพันธ์กำลัง n ตัวแรก

แล้วเลขยกกำลังข้างบน

เราลบ 1 ทันที

อนุพันธ์ของรากที่สอง x เพื่อนของฉัน

ด้วยรักเพื่อนอย่าลืมนะ

ตัวเศษคือจำนวนเต็ม 1

ตัวอย่างที่ 2 รากที่สองของ x เขียนร่วมกันเพื่อความรวดเร็ว

อนุพันธ์ของผลคูณของพี่น้องสองคน

ฉันจะสอนคุณก่อนแล้วค่อยเก็บคุณไว้สอนทีหลัง

แล้วเพิ่มเครื่องหมายบวกเพื่อความรวดเร็ว

เก็บพี่หน้าไว้ พี่หลังไว้เป็นอนุพันธ์

ถ้ารักถึงแม้จะยากลำบากแค่ไหนก็ยอมรับมัน

อนุพันธ์และตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

อย่าลืมเครื่องหมายลบ

ต้นกำเนิดของจักรวาลและเส้นทางของแม่ตามมาอย่างใกล้ชิด

ตัวอย่างสี่เหลี่ยมไปอยู่ที่ไหน?

ฉันนำมันลงมาเพื่อเรียนรู้บทเรียนอย่างรวดเร็ว

อนุพันธ์ของไซน์มีความสามารถจริงๆ

ปรากฎว่า cos ไม่เคยผิดเลย

อนุพันธ์ของความฝัน

ลบล้างบาปเพื่อปล่อยให้คุณอยู่คนเดียว

ความขยันหมั่นเพียรทดแทนความฉลาด

การหารด้วยโคไซน์เป็นอนุพันธ์แทนเจนต์

เราจะภูมิใจได้ก็ด้วยการศึกษาหนักเท่านั้น

แม้ว่างานศพจะเป็นเรื่องยาก แต่ก็ยังมีอุปสรรคอยู่บ้าง

ลบ 1 แล้วอย่าลืมทำนะ

เป็นคนปกติธรรมดา ไม่ต้องขี้เล่นมากเกินไป

อีหมวกเอ็กซ์มันแปลกมาก

อนุพันธ์ของมัน เราก็คงไว้เหมือนเดิม

เราปล่อยให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอยู่เฉยๆ

เลขฐานวิ่งตามไปทันที

เนเปิ้ล x อนุพันธ์อย่างรวดเร็ว

มันคือ 1 หารด้วย x ไม่ยากเลย

ลอการิทึม x ต่างกันไหม?

อย่าลืมเลขฐานของเรา

(เก็บรวบรวม)

ที่มา: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html