อนุพันธ์คืออะไร? สูตรอนุพันธ์โดยละเอียด

นอกจากสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป อนุพันธ์ตรีโกณมิติ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม และอนุพันธ์อันดับสองแล้ว ผู้อ่านยังสามารถจดจำสูตรการคำนวณอนุพันธ์ผ่านบทกวีได้อีกด้วย

ภาพรวมโดยย่อ:

• อนุพันธ์คืออะไร?
• สูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป
• อนุพันธ์ของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
• อนุพันธ์ลำดับที่สอง
• เคล็ดลับในการจำสูตรอนุพันธ์

อนุพันธ์คืออะไร?

ตามหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ม.11 เล่ม 2 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของชุด "เชื่อมโยงความรู้และชีวิต" อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งหรือช่วงใดช่วงหนึ่ง

สูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง บ่งบอกถึงระดับการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไป

นี่คือรูปแบบที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันกำลัง ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่าอีกมากมายในภายหลัง

อนุพันธ์ของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร

อนุพันธ์ของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร เป็นกฎสำคัญที่ช่วยให้เราคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ที่ซับซ้อนจากฟังก์ชันง่ายๆ แทนที่จะต้องพิสูจน์อีกครั้งจากนิยามของลิมิต เราสามารถใช้สูตรและกฎเหล่านี้เพื่อทำให้กระบวนการง่ายขึ้นได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ของผลบวกหรือผลต่างจะเท่ากับผลบวกหรือผลต่างของอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์ของผลคูณเป็นไปตามกฎ "หาอนุพันธ์ก่อน แล้วจึงคูณ; หาผลบวกก่อน แล้วจึงหาอนุพันธ์" และอนุพันธ์ของผลหารเป็นไปตามกฎ "อนุพันธ์ของตัวเศษคูณด้วยตัวส่วน ลบตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน หารด้วยตัวส่วนยกกำลังสอง" สูตรเหล่านี้จะถูกนำเสนออย่างชัดเจนด้านล่าง พร้อมตัวอย่างประกอบ เพื่อช่วยให้นักเรียนจดจำและนำไปใช้ในแบบฝึกหัดได้ง่ายขึ้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบใช้เมื่อฟังก์ชันนั้นเกิดจากฟังก์ชันย่อยหลายฟังก์ชันที่ซ้อนกัน โดยใช้กฎลูกโซ่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกช่วยให้เราเข้าใจอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เช่น sin(x), cos(x) หรือ tan(x) เมื่อค่าของ x เปลี่ยนแปลงไป

ด้วยการทำความเข้าใจอนุพันธ์ของ sin(x) และ cos(x) เราสามารถอนุมานอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกอื่นๆ ได้ เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านั้นทั้งหมดสามารถแสดงได้ในรูปของ sin และ cos (โดยใช้กฎการหาร)

ในส่วนต่อไปนี้ เราจะพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของ sin(x) และ cos(x) จากนั้นเราสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกอื่นๆ ได้ รวมถึงขยายไปสู่ฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันและสูตรพิเศษอื่นๆ ได้อีกด้วย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบอกเราถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในรูปแบบ a ^x (โดยที่ a>0, a≠1) หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง e ^x ในบรรดาฟังก์ชันเหล่านี้ e ^x ถือเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่สำคัญที่สุด เพราะอนุพันธ์ของมันเท่ากับตัวมันเอง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในรูปแบบ _log⁡a (x) (โดยที่ a>0, a≠1) ซึ่งที่สำคัญที่สุดคือ ln⁡(x) - ลอการิทึมธรรมชาติฐาน e

เมื่อทราบสูตรอนุพันธ์ของ ln(x) แล้ว เราสามารถหาอนุพันธ์ของ _log⁡a (x) ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรการเปลี่ยนฐาน

อนุพันธ์ลำดับที่สอง

อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับแรก กล่าวคือ เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสองครั้งติดต่อกัน ถ้าอนุพันธ์อันดับแรกบอกเราถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองก็จะบอกเราถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตรานั้น

ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์อันดับสองช่วยในการกำหนดความโค้ง/ความเว้าของกราฟ ในทางฟิสิกส์ ถ้าฟังก์ชันแสดงระยะทางเป็นฟังก์ชันของเวลา อนุพันธ์อันดับแรกคือความเร็ว ในขณะที่อนุพันธ์อันดับสองคือความเร่ง

เคล็ดลับในการจำสูตรอนุพันธ์

- เรียนรู้สูตรต่างๆ เป็นกลุ่ม แทนที่จะเรียนรู้ทีละสูตร

- บันทึกแผ่นสูตรอาหารไว้ เพื่อที่คุณจะได้ใช้ได้ทันทีหากลืมใช้

- เรียนรู้เกี่ยวกับคำที่มาจากรากศัพท์เดียวกันผ่านบทกวี:

หนึ่งร้อยปีในโลกมนุษย์

การหาอนุพันธ์เป็นเรื่องที่นักเรียนขี้เกียจที่เรียนวิชานี้อาจจะไม่เก่งนัก

X ที่มีเลขชี้กำลัง (en) n

เราทำการหาอนุพันธ์ยกกำลัง n ก่อน

แล้วก็มีเลขยกกำลังด้านบนด้วย

เราแค่ลบ 1 ออกจากนั้น

อนุพันธ์ของรากที่ x นั่นเอง เพื่อนเอ๋ย

จงจำความรักนั้นไว้ เพื่อนเอ๋ย อย่าลืมมันเด็ดขาด

ความตายคือเลข 1 ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่น เขียนรากที่สองของ x สองตัวติดกันเพื่อให้เขียนได้เร็วขึ้น

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของพี่น้องสองคน

ฉันจะสอนคุณก่อน แล้วค่อยเก็บคุณไว้ทีหลัง

จากนั้นเพิ่มเครื่องหมายบวกเพื่อเร่งความเร็ว

คงพี่น้องคนแรกไว้เหมือนเดิม และคงพี่น้องคนที่สองไว้หลังจากทำการหาอนุพันธ์แล้ว

หากคุณรักใครสักคนอย่างแท้จริง คุณจะยอมอดทนกับความยากลำบากทุกอย่าง

คุณธรรมของมารดาไม่เปลี่ยนแปลง

อย่าลืมใส่เครื่องหมายลบ!

ต้นเหตุแห่งความตาย และเส้นทางแห่งความเป็นแม่ก็ติดตามมาอย่างใกล้ชิด

กำลังสองของตัวส่วนจะไปอยู่ที่ไหน?

เราลงไปข้างล่างกันดีกว่า จะได้จำได้เร็วขึ้น

อนุพันธ์ของไซน์นั้นน่าทึ่งจริงๆ

ปรากฏว่าค่าโคไซน์ไม่เคยผิดพลาด

ค่าโคไซน์ของอนุพันธ์นั้นงดงามราวกับความฝัน

ยกเว้นฟังก์ชันไซน์ ซึ่งจะทำให้คุณงงงวยอยู่คนเดียว

ความขยันหมั่นเพียรสามารถชดเชยความขาดสติปัญญาได้

หนึ่งหารด้วยโคไซน์กำลังสอง คืออนุพันธ์ของแทนเจนต์

มีเพียงการศึกษาอย่างขยันขันแข็งเท่านั้นที่จะนำไปสู่ความสำเร็จได้

แม้ว่างานศพจะเป็นเรื่องยากลำบาก แต่ก็ยังมีความรู้สึกว่าต้องทำ

ลบหนึ่งออกจากตัวเลขนั้น และอย่าลืมทำเช่นนั้น

จงเป็นคนดี อย่าเหลวไหลเกินไป

หมวก X นั้นแปลกมากจริงๆ

อนุพันธ์ของมันนั้น เราจะคงไว้เหมือนเดิมในตอนนี้

เราคงฟังก์ชันเลขชี้กำลังไว้เช่นเดิม

หมายเลข Nepe พื้นฐานจะตามมาทันที

อนุพันธ์ Nepe x อย่างรวดเร็ว

มันก็แค่ 1 หารด้วย x เท่านั้นเอง ไม่ยากเลย

ลอการิทึม x กับลอการิทึมปกติต่างกันอย่างไร?

อย่าลืมเลขฐานพื้นฐานของประเทศเรา

(เก็บรวบรวม)

ที่มา: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html