Türev nedir? Ayrıntılı türev formülleri

Türev nedir?

Matematik 11, 2. cilt, Bilgi ve Yaşam Serileri Bağlantısı'na göre, bir fonksiyonun türevi matematiğin önemli kavramlarından biridir. Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki veya aralıktaki değişim oranını temsil eder.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi için formül

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktada ne kadar değiştiğini gösterir.

Ortak fonksiyonların türevleri

Bunlar kuvvet fonksiyonlarının en basit biçimleridir - daha sonra daha karmaşık fonksiyonların türevlerini hesaplamanın temelidir.

Toplam, fark, çarpım ve bölümün türevleri

Toplamların, farkların, çarpımların ve bölümlerin türevleri, basit fonksiyonlardan karmaşık ifadelerin türevlerini hesaplamamıza yardımcı olan önemli kurallardır. Limit tanımını tekrar kanıtlamak yerine, işlemi basitleştirmek için bu kural formüllerini uygulayabiliriz.

Daha spesifik olarak, toplamın veya farkın türevi, türevlerin toplamına veya farkına eşittir; çarpımın türevi "önce türev, sonra çarpma, önce toplama, sonra türevin çarpımı" kuralını izler; bölümün türevi ise "türevin payı paydayla çarpılır, pay türevin paydasıyla çarpılır, paydadan türevin karesine bölünür" kuralını izler. Bu formüller aşağıda, öğrencilerin kolayca hatırlayıp alıştırmalarda uygulayabilmeleri için açıklayıcı örneklerle birlikte açık bir şekilde sunulacaktır.

Toplam-çarpım-bölüm fonksiyonunun 3 fonksiyonu.PNG

Bileşik fonksiyonun türevi

Bileşik bir fonksiyonun türevi, fonksiyon birden fazla iç içe geçmiş fonksiyon katmanından oluştuğunda kullanılır. Zincir kuralı uygulandığında, bileşik bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevinin iç fonksiyonun türeviyle çarpımına eşittir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, x değeri değiştiğinde sin(x), cos(x) veya tan(x) gibi fonksiyonların değişim hızını bilmemize yardımcı olur.

Sadece sin(x) ve cos(x)'in türevlerine hakim olarak, diğer trigonometrik fonksiyonların türevlerini çıkarabiliriz, çünkü bunların hepsi sin ve cos'a dayalı olarak (bölüm kuralını kullanarak) ifade edilebilir.

Aşağıdaki bölümde, sin(x) ve cos(x)'in türev formülünü kanıtlayacağız. Buradan, diğer trigonometrik fonksiyonların türevlerini hesaplayabilir, ayrıca ters trigonometrik fonksiyonlara ve bazı diğer özel formüllere de ulaşabiliriz.

Trigonometrik fonksiyonların 5 ekseni.PNG

Üstel fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevi, a ^x (a>0,a≠1) veya özellikle e ^x biçimindeki fonksiyonların değişim oranını verir. Bunlar arasında e ^x, türevi kendisine eşit olduğu için en önemli üstel fonksiyon olarak kabul edilir.

Logaritmik fonksiyonun türevi

Logaritmik bir fonksiyonun türevi, log _⁡a (x) (a>0, a≠1) biçimindeki fonksiyonların değişim oranını verir; bunların en önemlisi, tabanı e olan doğal logaritma olan ln⁡(x)'tir.

ln⁡(x)'in türev formülünü bildiğimizde, taban değiştirme formülünü kullanarak log _⁡a (x)'in türevini kolayca çıkarabiliriz.

Logaritmik fonksiyonların 7 fonksiyonu.PNG

İkinci türev

İkinci türev, birinci türevin türevidir; yani bir fonksiyonun türevini üst üste iki kez alırız. Birinci türev bize fonksiyonun değişim oranını veriyorsa, ikinci türev de bize aynı oranın değişim oranını verir.

Geometride ikinci türev, bir grafiğin eğriliğini/içbükeyliğini belirlemeye yardımcı olur. Fizikte ise, bir fonksiyon zamana göre mesafeyi temsil ediyorsa, birinci türev hızı, ikinci türev ise ivmeyi temsil eder.