ما هي المشتقة؟ صيغ المشتقة التفصيلية

ما هو المشتق؟

وفقًا لسلسلة ربط المعرفة بالحياة، المجلد الثاني من كتاب الرياضيات ١١، تُعدّ مشتقة الدالة أحد المفاهيم المهمة في الرياضيات. تُمثّل المشتقة معدل تغير الدالة عند نقطة أو فترة.

صيغة المشتقة للدالة عند نقطة

إن المشتق لدالة عند نقطة معينة يخبرنا بمدى تغير الدالة عند تلك النقطة.

مشتقات الدوال المشتركة

هذه هي أبسط أشكال وظائف القوى - الأساس لحساب المشتقات للوظائف الأكثر تعقيدًا لاحقًا.

مشتقات المجموع والفرق والحاصل والحاصل

مشتقات المجاميع والفروق والحواصل والحواصل قواعد مهمة تساعدنا على حساب مشتقات التعبيرات المعقدة من الدوال البسيطة. بدلًا من الحاجة إلى إثبات تعريف النهايات مجددًا، يمكننا ببساطة تطبيق صيغ هذه القواعد لتبسيط العملية.

تحديدًا، مشتقة المجموع أو الفرق تساوي مجموع المشتقات أو فرقها؛ ومشتقة حاصل الضرب تتبع قاعدة "المشتقة أولًا، ثم الضرب، ثم الجمع أولًا، ثم ضرب المشتقة"؛ ومشتقة خارج القسمة تتبع قاعدة "بسط المشتقة مضروبًا في المقام، ثم طرح بسط المشتقة مضروبًا في مقامها، ثم القسمة على مربع المقام". سيتم عرض هذه الصيغ بوضوح أدناه، مع أمثلة توضيحية، ليسهل على الطلاب تذكرها وتطبيقها في التمارين.

مشتق الدالة المركبة

تُستخدم مشتقة الدالة المركبة عندما تتكون من عدة طبقات متداخلة من الدوال. بتطبيق قاعدة السلسلة، تكون مشتقة الدالة المركبة مساوية لمشتقة الدالة الخارجية، مضروبة في مشتقة الدالة الداخلية.

مشتقات الدوال المثلثية

تساعدنا مشتقات الدوال المثلثية في معرفة معدل تغير الدوال مثل sin(x)، cos(x)، أو tan(x) عندما تتغير قيمة x.

بمجرد إتقان مشتقات sin(x) وcos(x)، يمكننا استنتاج مشتقات الدوال المثلثية الأخرى، لأنه يمكن التعبير عنها جميعًا على أساس sin وcos (باستخدام قاعدة القسمة).

في القسم التالي، سنثبت صيغة المشتقة لـ sin(x) وcos(x). ومن هنا، يمكننا حساب المشتقات لدوال مثلثية أخرى، بالإضافة إلى الدوال المثلثية العكسية وبعض الصيغ الخاصة الأخرى.

مشتق الدالة الأسية

يُعطي مشتق الدالة الأسية معدل تغير الدوال من الشكل a ^x (حيث a>0، a≠1) أو، على وجه الخصوص، e ^x . من بينها، تُعتبر e ^x أهم دالة أسية لأن مشتقتها تساوي نفسها.

مشتق الدالة اللوغاريتمية

يخبرنا المشتق للدالة اللوغاريتمية بمعدل تغير الدوال من النموذج log _⁡a (x) (حيث a>0، a ≠1)، وأهمها ln⁡(x) - اللوغاريتم الطبيعي ذو القاعدة e.

بمعرفة صيغة المشتقة لـ ln⁡(x)، يمكننا بسهولة استنتاج المشتقة لـ log _⁡a (x) باستخدام صيغة تغيير القاعدة.

المشتقة الثانية

المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى، أي أننا نأخذ مشتقة الدالة مرتين متتاليتين. إذا كانت المشتقة الأولى تُشير إلى معدل تغير الدالة، فإن المشتقة الثانية تُشير إلى معدل التغير نفسه.

في الهندسة، تُساعد المشتقة الثانية في تحديد انحناء/تقعّر الرسم البياني. في الفيزياء، إذا كانت الدالة تُمثل المسافة على الزمن، فإن المشتقة الأولى تُمثل السرعة، والمشتقة الثانية تُمثل التسارع.