ما هي المشتقة؟ صيغ المشتقة التفصيلية

ما هو المشتق؟

بحسب كتاب الرياضيات للصف الحادي عشر، المجلد الثاني، وهو جزء من سلسلة "ربط المعرفة بالحياة"، فإن مشتقة الدالة تُعدّ من المفاهيم المهمة في الرياضيات. وتمثل المشتقة معدل تغير الدالة عند نقطة أو فترة زمنية محددة.

صيغة مشتقة دالة عند نقطة

يشير مشتق الدالة عند نقطة ما إلى درجة تغير الدالة عند تلك النقطة.

مشتقات الدوال المشتركة

هذه هي أبسط أشكال الدوال الأسية - الأساس لحساب المشتقات للعديد من الدوال الأكثر تعقيدًا لاحقًا.

مشتقات المجاميع والفروق والمنتجات والقسمة.

تُعدّ مشتقات المجاميع والفروق والضرب والقسمة قواعد مهمة تُساعدنا على حساب مشتقات التعبيرات المعقدة من الدوال البسيطة. وبدلاً من الاضطرار إلى إثباتها مجدداً من تعريف النهاية، يُمكننا ببساطة تطبيق هذه الصيغ والقواعد لتبسيط العملية.

على وجه التحديد، مشتقة المجموع أو الفرق تساوي مجموع أو فرق مشتقاته؛ ومشتقة حاصل الضرب تتبع قاعدة "المشتقة أولاً، ثم الضرب؛ الجمع أولاً، ثم المشتقة"؛ ومشتقة ناتج القسمة تتبع قاعدة "مشتقة البسط مضروبة في المقام، طرح البسط مضروبًا في المقام مشتقة، القسمة على مربع المقام". سيتم عرض هذه الصيغ بوضوح أدناه، مع أمثلة توضيحية، لمساعدة الطلاب على تذكرها بسهولة وتطبيقها في التمارين.

ثلاثة مشتقات لدوال المجموع والفرق والضرب والقسمة.PNG

مشتق الدالة المركبة

يُستخدم مشتق الدالة المركبة عندما تتكون الدالة من عدة دوال متداخلة. وبتطبيق قاعدة السلسلة، يكون مشتق الدالة المركبة مساوياً لمشتق الدالة الخارجية مضروباً في مشتق الدالة الداخلية.

مشتقات الدوال المثلثية

تساعدنا مشتقات الدوال المثلثية على فهم معدل تغير الدوال مثل sin(x) و cos(x) أو tan(x) مع تغير قيمة x.

من خلال إتقان مشتقات sin(x) و cos(x)، يمكننا استنتاج مشتقات الدوال المثلثية الأخرى، حيث يمكن التعبير عنها جميعًا بدلالة sin و cos (باستخدام قاعدة القسمة).

في القسم التالي، سنبرهن على صيغ مشتقات الدالتين sin(x) و cos(x). ومن ثم، يمكننا حساب مشتقات الدوال المثلثية الأخرى، بالإضافة إلى توسيع ذلك ليشمل الدوال المثلثية العكسية وبعض الصيغ الخاصة الأخرى.

مشتقة دالة أسية

تُخبرنا مشتقة الدالة الأسية بمعدل تغير الدوال من الشكل a ^x (حيث a>0، a≠1) أو على وجه الخصوص e ^x . ومن بين هذه الدوال، تُعتبر e ^x أهم دالة أسية لأن مشتقتها تساوي نفسها.

مشتقة دالة لوغاريتمية

يشير مشتق الدالة اللوغاريتمية إلى معدل تغير الدوال من الشكل _log⁡a (x) (حيث a>0، a≠1)، وأهمها ln⁡(x) - اللوغاريتم الطبيعي ذو الأساس e.

بمعرفة صيغة المشتقة لـ ln(x)، يمكننا بسهولة استنتاج مشتقة _log⁡a (x) باستخدام صيغة تغيير الأساس.

المشتقة الثانية

المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى؛ أي أننا نشتق الدالة مرتين متتاليتين. إذا كانت المشتقة الأولى تخبرنا بمعدل تغير الدالة، فإن المشتقة الثانية تخبرنا بمعدل تغير ذلك المعدل نفسه.

في الهندسة، تساعد المشتقة الثانية في تحديد انحناء/تقعر الرسم البياني. أما في الفيزياء، إذا كانت دالة ما تمثل المسافة كدالة للزمن، فإن المشتقة الأولى تمثل السرعة، بينما تمثل المشتقة الثانية التسارع.