Door een driehoek te tekenen die over de rand van het papier loopt, bewijzen twee studenten onverwacht een 2500 jaar oude wiskundige stelling

Het bijzondere is dat nog nooit iemand de stelling op deze manier heeft bewezen, zelfs Albert Einstein niet.

Op de middelbare school hebben we allemaal wel eens een rekensom moeten oplossen. En als we eenmaal een rekensom hebben gemaakt, zijn we allemaal wel eens deze situatie tegengekomen: tijdens het tekenen van een figuur raakten we papier kwijt.

In al deze gevallen is er sprake van een "mutante" driehoek, met twee ongewoon lange zijden, zodat ze helemaal tot aan de rand van het papier getekend kunnen worden zonder elkaar te kruisen. Hoe zou jij deze situatie aanpakken?

Illustratiefoto.

Sommige leerlingen tekenen – heel creatief – de vorm verder naar de andere kant van het papier, de achterkant van het papier. Anderen pakken een ander vel papier en leggen dat onder het eerste om de vorm af te maken. Of, als je haast hebt, kun je de driehoek tekenen die op tafel zweeft.

Sommige mensen zullen echter denken: Waarom blijf je die "mutante" driehoek tekenen? Teken gewoon tot het papier op is en stop dan. Zelfs als je niet de hele vorm op het papier tekent, klopt je oplossing absoluut niet.

Maar een nieuwe studie in het tijdschrift American Mathematical Monthly zet hen nu aan het denken. Soms kunnen de driehoeken aan de buitenkant van het papier onverwachte wiskundige geheimen verbergen.

In dit specifieke geval vonden twee middelbare scholieren in de VS met behulp van een 'mutante' driehoek een manier om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Deze stelling werd meer dan 2500 jaar geleden, nadat deze werd gesteld, als 'onmogelijk' beschouwd.

Illustratiefoto.

Niemand heeft ooit de stelling van Pythagoras op deze manier bewezen, zelfs Albert Einstein niet.

De stelling van Pythagoras is vernoemd naar de oude Griekse wiskundige Pythagoras (570-495 v.Chr.), die deze als eerste bewees. Er zijn echter aanwijzingen dat wiskundigen in andere oude beschavingen, zoals Babylonië, India, Mesopotamië en China, deze stelling ook onafhankelijk van elkaar hebben ontdekt :

Dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hypotenusa altijd gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de andere twee zijden. Als een rechthoekige driehoek zijden heeft met lengte a en b en de hypotenusa c is, dan wordt de stelling van Pythagoras uitgedrukt door de formule:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Zonder de stelling van Pythagoras hadden de oude Egyptenaren de piramides niet kunnen bouwen.

Het lijkt een simpele formule, maar zonder de stelling van Pythagoras hadden de oude Egyptenaren de piramides niet kunnen bouwen, hadden de Babyloniërs de positie van de sterren niet kunnen berekenen en hadden de Chinezen het land niet kunnen verdelen.

Deze stelling vormde ook de basis voor veel scholen binnen de wiskunde, zoals de ruimtemeetkunde, de niet-euclidische meetkunde en de differentiaalmeetkunde. Zonder deze stelling, of als deze stelling onjuist zou blijken te zijn, zou vrijwel de gehele tak van de wiskunde die de mensheid vandaag de dag kent, instorten.

Het bewijzen van de stelling van Pythagoras was daarom een ​​zeer belangrijke taak. Al in 500 v.Chr. ondernam de oude Griekse wiskundige Pythagoras deze taak en maakte daarmee voor het eerst naam in de geschiedenis.

Hij bewees de stelling van Pythagoras met behulp van een zeer eenvoudige methode:

Illustratiefoto.

Teken een vierkant met zijden a+b. Teken vervolgens in elke hoek vier gelijke driehoeken, met zijden a en b. Deze driehoeken zijn allemaal gelijkvormig, rechthoekige driehoeken met hypotenusa c, en vormen samen een ruimte binnen het vierkant met oppervlakte ^c² .

Vervolgens creëerde Pythagoras, door simpelweg de posities van die vier driehoeken te herschikken, twee nieuwe ruimtes: twee vierkanten met zijden a en b. De totale oppervlakte van die twee ruimtes was a ² + b ² , wat natuurlijk gelijk moest zijn aan de oorspronkelijke ruimte c ² .

Dit is het bewijs dat je in je wiskundeboek van groep 7 op de middelbare school zult vinden. Maar er is nog een ander bewijs voor de stelling van Pythagoras dat je misschien nog niet kent. Het is de oplossing die Albert Einstein bedacht toen hij 11 jaar oud was.

Einstein realiseerde zich toen dat als hij een hoogte AD loodrecht op de hypotenusa BC van de rechthoekige driehoek ABC zou laten zakken, hij twee rechthoekige driehoeken zou krijgen, vergelijkbaar met de rechthoekige driehoek ABC. Door nu vierkanten buiten de rechthoekige driehoek ABC te tekenen met zijden gelijk aan elk van de zijden, zou Einstein drie vierkanten krijgen met oppervlaktes gelijk aan a ² , b ² en c ² .

Omdat de verhouding van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek tot de oppervlakte van een vierkant op zijn hypotenusa hetzelfde is voor gelijkvormige driehoeken, geldt ook 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Illustratiefoto.

Dit zijn echter slechts twee van de 370 bewijzen van de stelling van Pythagoras die wiskundigen de afgelopen 2500 jaar hebben gevonden. Van algebra en calculus tot diverse geometrische snedes, deze wiskundige stelling kan worden bewezen met methoden variërend van eenvoudig tot complex.

In al deze oplossingen is er echter geen bewijs met behulp van trigonometrische formules. Aangezien Pythagoras zelf een fundamentele stelling is in de trigonometrie, zou het bewijzen ervan met trigonometrie ons in een valkuil van drogredenen leiden, circulair denken genoemd, wanneer we de stelling van Pythagoras zelf gebruiken om de stelling van Pythagoras te bewijzen.

Wiskundigen zijn hier herhaaldelijk niet in geslaagd. Zozeer zelfs dat de Amerikaanse wiskundige Elisha Loomis in 1927 uitriep: " De stelling van Pythagoras kan niet bewezen worden met behulp van trigonometrie, omdat alle elementaire trigonometrische formules afhankelijk zijn van de juistheid van de stelling van Pythagoras."

Maar het bleek dat Elisha Loomis het mis had.

Bijna 100 jaar later hebben deze twee middelbare scholieren een manier gevonden om de stelling van Pythagoras te bewijzen met behulp van goniometrie.

In een nieuw onderzoek, gepubliceerd in het tijdschrift American Mathematical Monthly, presenteerden twee studenten, Ne'Kiya Jackson en Calcea Johnson van de St. Mary's Academy High School in Colorado, niet één maar tien manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen met behulp van trigonometrie.

Ne'Kiya Jackson (links) en Calcea Johnson (rechts).

Om dit te kunnen doen, Jackson en Johnson gebruikten zoals gebruikelijk een rechthoekige driehoek ABC. " Ons eerste bewijs begint met het omdraaien van driehoek ABC over zijn zijde AC om een ​​gelijkbenige driehoek ABB te vormen ", schreven het duo in de krant.

In de volgende stap construeren ze een rechthoekige driehoek AB'D door zijde AB te verlengen naar punt D, zodat ze vanuit D een loodlijn op B'A kunnen laten vallen.

Zorg ervoor dat je op dit punt voldoende papier hebt, want AB'D is een driehoek met een ongewoon lange zijde en punt D zal waarschijnlijk buiten de rand van je papier uitsteken.

Vervolgens laat je vanuit punt B een loodlijn vallen op BB', waardoor B'D in E wordt gesneden. Vervolgens laat je vanuit E een loodlijn vallen om AD in F te snijden... En zo verder tot in het oneindige, tot je een oneindig aantal gelijkvormige driehoeken krijgt waarvan de gecombineerde oppervlakten gelijk zijn aan de oppervlakte van driehoek AB'D:

En nu het belangrijke punt:

Jackson en Johnson ontdekten dat, aangezien BB' lengte 2a heeft en driehoek B'EB gelijkvormig is aan driehoek ABC, ze de lengte van zijde BE kunnen berekenen als 2a ² /b. BF = 2A ² c/b ² . De zijden FG en GH kunnen dus worden berekend als 2a ⁴ c/b ⁴ en 2a ⁶ c/b ⁶ …

De lengte van de hypotenusa AD zal dan gelijk zijn aan de som van de lijnsegmenten:

In driehoek AB'D hebben we:

Uit de twee bovenstaande formules verkrijgen we de vergelijking:

Waarbij, met behulp van de som van een elementaire convergente reeks, geldt:

Direct na de publicatie trok Jackson en Johnsons bewijs van de stelling van Pythagoras de aandacht van wiskundigen, waaronder Álvaro Lozano-Robledo van de Universiteit van Connecticut.

" Het leek op niets wat ik ooit eerder had gezien", zei Lozano-Robledo. Het idee om een ​​grote driehoek te vullen met oneindig veel kleinere driehoeken en vervolgens de lengte van de zijden te berekenen met behulp van een convergente reeks, was een onverwachte innovatie voor een middelbare scholier.

Wiskundige Álvaro Lozano-Robledo van de Universiteit van Connecticut prees Ne'Kiya Jackson en Calcea Johnson.

" Sommige mensen denken dat iemand jaren op school of in onderzoeksinstituten moet doorbrengen om een ​​nieuw probleem op te lossen ", aldus Lozano-Robledo. " Maar dit bewijst dat het kan terwijl je nog op de middelbare school zit."

Jackson en Johnson bewezen niet alleen de stelling van Pythagoras op een geheel nieuwe manier, maar hun oplossing benadrukte ook een kwetsbare grens van het concept trigonometrie, zeiden ze.

" Middelbare scholieren realiseren zich misschien niet dat er twee versies van goniometrie aan dezelfde term verbonden zijn. In dat geval is het proberen om goniometrie te begrijpen als het proberen te begrijpen van een afbeelding met twee verschillende afbeeldingen over elkaar heen ", zeggen ze.

De verrassende oplossing voor de stelling van Pythagoras kwam doordat Jackson en Johnson deze twee trigonometrische variaties van elkaar scheidden en een andere fundamentele wet van de trigonometrie gebruikten: de sinusregel. Zo vermeed het duo de vicieuze cirkels die eerdere wiskundigen, waaronder Elisha Loomis, tegenkwamen toen ze de stelling van Pythagoras probeerden te bewijzen met behulp van de stelling van Pythagoras.

Niemand heeft ooit de stelling van Pythagoras op deze manier bewezen, zelfs Albert Einstein niet.

"Hun resultaten hebben de aandacht van andere studenten gevestigd op een nieuw en veelbelovend perspectief ", aldus Della Dumbaugh, hoofdredacteur van American Mathematical Monthly. opmerking.

" Het zal ook veel nieuwe wiskundige discussies openen ", zegt Lozano-Robledo. " Dan kunnen andere wiskundigen dit artikel gebruiken om dat bewijs te generaliseren, hun ideeën te generaliseren, of dat idee gewoon op andere manieren te gebruiken."

Het is duidelijk dat er een nieuw tijdperk in de wiskunde aanbrak nadat Jackson en Johnson de gemuteerde " driehoek " tekenden. Een driehoek die buiten de rand van het papier reikt, bevat binnenin een lus van eindeloze driehoeken.

Dus de volgende keer dat je een meetkundig probleem oplost en je een rand tegenkomt, probeer die dan helemaal tot aan de rand te tekenen. Wie weet, misschien doe je wel een ontdekking.

Bron: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Bron: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm