To studenter tegner en trekant som går over kanten av arket, og beviser uventet et 2500 år gammelt matematisk teorem.

Det spesielle er at ingen noen gang har bevist teoremet på denne måten, ikke engang Albert Einstein.

På videregående skole har vi alle måttet løse geometriske problemer. Og når vi først har løst geometriske problemer, har vi alle opplevd denne situasjonen minst én gang: Mens vi tegnet en figur, gikk vi tom for papir.

Alle slike tilfeller involverer en «mutant» trekant, med to uvanlig lange sider, slik at de kan tegnes helt ut til kanten av papiret uten å krysse hverandre. Hvordan ville du håndtert denne situasjonen?

Illustrasjonsfoto.

Noen elever – veldig kreativt – fortsetter å tegne formen til den andre siden av arket, som er baksiden av arket. Andre tar et nytt ark og legger det under det første for å fullføre formen. Eller, hvis du er i en knipe, kan du tegne trekanten som flyter på bordet.

Noen vil imidlertid tenke: Hvorfor insisterer du på å tegne den «mutante» trekanten? Bare tegn til papiret går tomt, og så slutt. Selv om du ikke tegner hele formen på papiret, er løsningen din definitivt ikke riktig.

Men en ny studie i tidsskriftet American Mathematical Monthly vil nå få dem til å tenke seg om igjen. Noen ganger kan trekantene på utsiden av papiret skjule uventede matematiske hemmeligheter.

Spesielt i dette tilfellet, med en "mutant" trekant, fant to elever på videregående skole i USA en måte å bevise Pythagoras' læresetning på, som en gang ble ansett som "umulig" i mer enn 2500 år, siden den ble formulert.

Illustrasjonsfoto.

Ingen har noen gang bevist Pythagoras' læresetning på denne måten, ikke engang Albert Einstein.

Pythagoras' læresetning er oppkalt etter den antikke greske matematikeren Pythagoras (570–495 f.Kr.) som først beviste den, selv om det finnes bevis for at matematikere i andre gamle sivilisasjoner som Babylon, India, Mesopotamia og Kina også uavhengig av hverandre oppdaget den:

At i en rettvinklet trekant er kvadratet av hypotenusen alltid lik summen av kvadratene av lengdene på de to andre sidene. Hvis en rettvinklet trekant har sider med lengde a og b, og hypotenusen er c, uttrykkes Pythagoras' læresetning med formelen:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Hvis det ikke hadde vært for Pythagoras' læresetning, ville ikke de gamle egypterne ha vært i stand til å bygge pyramidene.

Det virker som en enkel formel, men uten å kjenne Pythagoras' læresetning ville ikke de gamle egypterne ha vært i stand til å bygge pyramidene, babylonerne ville ikke ha vært i stand til å beregne stjernenes posisjon, og kineserne ville ikke ha vært i stand til å dele opp landet.

Denne teoremet la også grunnlaget for mange matematiske skoler som solid geometri, ikke-euklidisk geometri og differensialgeometri – uten disse, eller hvis den ble motbevist, ville nesten hele den geometriske grenen som er kjent for menneskeheten i dag, kollapse.

Å bevise Pythagoras' læresetning var derfor en svært viktig oppgave. Allerede i år 500 f.Kr. tok den antikke greske matematikeren Pythagoras på seg denne oppgaven og gjorde seg bemerket i historien for første gang.

Han beviste Pythagoras' læresetning ved hjelp av en veldig enkel metode:

Illustrasjonsfoto.

Tegn et kvadrat med sidelengdene a+b. Fortsett deretter å tegne fire like trekanter i hvert hjørne, med sidene a og b. Disse trekantene er alle like rettvinklede trekanter, med hypotenusen c, og sammen danner de et rom inne i kvadratet med arealet ^c² .

Så, bare ved å omorganisere posisjonene til disse fire trekantene, skapte Pythagoras to nye rom som var to kvadrater med sidene a og b. Det totale arealet av disse to rommene var ^a2 + ^b2 , som selvfølgelig måtte være lik det opprinnelige rommet ^c2 .

Dette er beviset du finner i matematikkboken din for 7. klasse på ungdomsskolen. Men det finnes et annet bevis på Pythagoras' læresetning som du kanskje ikke har lært. Det er løsningen Albert Einstein kom opp med da han var 11 år gammel.

Einstein innså da at hvis han la en høyde AD vinkelrett på hypotenusen BC i den rettvinklede trekanten ABC, ville han få to rettvinklede trekanter som er lik den rettvinklede trekanten ABC. Ved å tegne kvadrater utenfor den rettvinklede trekanten ABC med sider like som hver av sidene, ville Einstein få tre kvadrater med arealer lik ^a₂ , ^b₂ og ^c₂ .

Siden forholdet mellom arealet av en rettvinklet trekant og arealet av et kvadrat på hypotenusen er det samme for like trekanter, vil vi også ha ^𝑐2 = ^𝑎2 + ^𝑏2 .

Illustrasjonsfoto.

Dette er imidlertid bare to av de 370 bevisene for Pythagoras' læresetning som matematikere har funnet de siste 2500 årene. Fra bruk av algebra og kalkulus til ulike geometriske snitt, kan denne matematiske læresetningen bevises sann ved hjelp av metoder som spenner fra enkle til komplekse.

Imidlertid finnes det ingen bevis ved bruk av trigonometriske formler i alle disse løsningene. Siden Pythagoras i seg selv er et fundamentalt teorem i trigonometri, ville det å bevise det ved hjelp av trigonometri føre oss inn i en felle av logisk feilslutning, kalt sirkulær tenkning, når vi bruker selve Pythagoras' læresetning for å bevise Pythagoras' læresetning.

Matematikere har gjentatte ganger mislyktes i denne oppgaven, så mye at den amerikanske matematikeren Elisha Loomis i 1927 utbrøt: « Det finnes ingen måte å bevise Pythagoras' læresetning ved hjelp av trigonometri, fordi alle grunnleggende trigonometriske formler må stole på riktigheten av Pythagoras' læresetning.»

Men det viser seg at Elisha Loomis tok feil.

Nesten 100 år senere har disse to videregåendeelevene funnet en måte å bevise Pythagoras' læresetning ved hjelp av trigonometri.

I en ny studie publisert i tidsskriftet American Mathematical Monthly presenterte to studenter, Ne'Kiya Jackson og Calcea Johnson fra St. Mary's Academy High School i Colorado, ikke én, men ti måter å bevise Pythagoras' læresetning ved hjelp av trigonometri.

Ne'Kiya Jackson (venstre) og Calcea Johnson (høyre).

For å kunne gjøre dette, Jackson og Johnson brukte en rettvinklet trekant ABC som vanlig. « Vårt første bevis begynner med å snu trekant ABC over siden AC for å danne en likebenet trekant ABB », skrev duoen i artikkelen.

I neste trinn skal de konstruere en rettvinklet trekant AB'D, ved å forlenge siden AB til punkt D slik at de fra D kan slippe en vinkelrett på B'A.

På dette tidspunktet må du sørge for at du har nok papir, fordi AB'D er en trekant med en uvanlig lang side, og punkt D vil mest sannsynlig hoppe ut utenfor kanten av papiret.

Så, fra punkt B, setter du en vinkelrett på BB', som skjærer B'D ved E. Så, fra E, setter du en vinkelrett på AD ved F... Og så videre i det uendelige, vil du få et uendelig antall like trekanter hvis samlede areal er lik arealet av trekanten AB'D:

Nå det viktige punktet:

Jackson og Johnson fant at siden BB' har lengde 2a og trekant B'EB er lik trekant ABC, kan de beregne lengden på siden BE som ^2a² /b. BF= ^2A²/ c/ ^b² . Dermed kan sidene FG og GH beregnes som ^2a⁻⁴c / ^b⁻⁴ og ^2a⁻⁴c / ^b⁻⁶ …

Da vil lengden på hypotenusen AD være lik summen av linjesegmentene:

I trekant AB'D har vi:

Fra de to formlene ovenfor får vi ligningen:

Der, ved å bruke summen av en grunnleggende konvergent rekke, er:

Umiddelbart etter publiseringen tiltrakk Jackson og Johnsons bevis på Pythagoras' læresetning seg matematikere, inkludert Álvaro Lozano-Robledo fra University of Connecticut.

« Det så ut som ingenting jeg hadde sett før», sa Lozano-Robledo. Ideen om å fylle en stor trekant med uendelig mange mindre trekanter og deretter beregne sidelengdene ved hjelp av en konvergent rekke var en uventet innovasjon for en elev på videregående skole.

Matematiker Álvaro Lozano-Robledo fra University of Connecticut berømmet Ne'Kiya Jackson og Calcea Johnson.

« Noen tror at man må bruke år på skole eller ved forskningsinstitutter for å løse et nytt problem », sa Lozano-Robledo. « Men dette beviser at det kan gjøres mens man fortsatt går på videregående.»

Ikke bare beviste Jackson og Johnson Pythagoras' læresetning på en helt ny måte, løsningen deres understreket også en skjør grense for trigonometribegrepet, sa de.

« Elever på videregående skole er kanskje ikke klar over at det finnes to versjoner av trigonometri knyttet til samme begrep. I så fall er det å prøve å forstå trigonometri som å prøve å forstå et bilde med to forskjellige bilder trykt oppå hverandre », sier de.

Den overraskende løsningen på Pythagoras' læresetning kom fra Jackson og Johnson, som skilte disse to trigonometriske variasjonene og brukte en annen grunnleggende lov innen trigonometri, sinusloven. På denne måten unngikk duoen de onde sirklene som tidligere matematikere, inkludert Elisha Loomis, møtte da de prøvde å bevise Pythagoras' læresetning ved hjelp av Pythagoras' læresetning.

Ingen har noen gang bevist Pythagoras' læresetning på denne måten, ikke engang Albert Einstein.

«Resultatene deres har rettet andre studenters oppmerksomhet mot et nytt og lovende perspektiv », sa Della Dumbaugh, sjefredaktør i American Mathematical Monthly. kommentar.

« Det vil også åpne opp for mange nye matematiske samtaler », sier Lozano-Robledo. « Det er da andre matematikere kan bruke denne artikkelen til å generalisere det beviset, generalisere ideene sine, eller rett og slett bruke den ideen på andre måter.»

Det kan sees at et nytt land i matematikken åpnet seg etter at Jackson og Johnson tegnet den mutante « trekanten ». En trekant som strekker seg utover kanten av papiret inneholder en løkke av endeløse trekanter.

Så neste gang du løser et geometrisk problem og du kommer over en kant, prøv å tegne den helt til kanten. Hvem vet, kanskje du gjør en oppdagelse.

Kilde: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Kilde: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm