Desenând un triunghi care depășește marginea hârtiei, doi studenți demonstrează în mod neașteptat o teoremă matematică veche de 2.500 de ani

Ceea ce este special este că nimeni nu a demonstrat vreodată teorema în acest fel, nici măcar Albert Einstein.

În liceu, cu toții a trebuit să rezolvăm probleme de geometrie. Și odată ce am rezolvat probleme de geometrie, cu toții ne-am confruntat cu această situație cel puțin o dată: În timp ce desenam o figură, rămânem fără hârtie.

Toate aceste cazuri implică un triunghi „mutant”, cu două laturi neobișnuit de lungi, astfel încât acestea pot fi desenate până la marginea hârtiei fără a se intersecta. Cum ați gestiona această situație?

Fotografie ilustrativă.

Unii elevi – foarte creativi – vor continua să deseneze forma pe cealaltă parte a hârtiei, care este spatele acesteia. Alții vor lua o altă foaie de hârtie și o vor așeza sub prima pentru a completa forma. Sau, dacă sunteți la ananghie, puteți desena triunghiul care plutește pe masă.

Totuși, unii oameni se vor gândi: De ce insiști ​​să desenezi acel triunghi „mutant”? Desenează pur și simplu până se termină hârtia, apoi oprește-te. Chiar dacă nu desenezi întreaga formă pe hârtie, soluția ta cu siguranță nu este corectă.

Însă un nou studiu publicat în revista American Mathematical Monthly îi va pune acum pe gânduri. Uneori, triunghiurile de pe exteriorul hârtiei pot ascunde secrete matematice neașteptate.

Mai exact în acest caz, cu un triunghi „mutant”, doi elevi de liceu din SUA au găsit o modalitate de a demonstra teorema lui Pitagora, considerată cândva „imposibilă” timp de peste 2.500 de ani, de când a fost enunțată.

Fotografie ilustrativă.

Nimeni nu a demonstrat vreodată teorema lui Pitagora în acest fel, nici măcar Albert Einstein.

Teorema lui Pitagora este numită după matematicianul grec antic Pitagora (570–495 î.Hr.), care a demonstrat-o pentru prima dată, deși există dovezi că matematicienii din alte civilizații antice, cum ar fi Babilonul, India, Mesopotamia și China, au descoperit -o și ei în mod independent:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este întotdeauna egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi. Dacă un triunghi dreptunghic are laturile de lungime a și b, iar ipotenuza este c, atunci Teorema lui Pitagora este exprimată prin formula:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Dacă nu ar fi fost teorema lui Pitagora, egiptenii antici nu ar fi putut construi piramidele.

Pare o formulă simplă, dar fără a cunoaște Teorema lui Pitagora, egiptenii antici nu ar fi putut construi piramidele, babilonienii nu ar fi putut calcula poziția stelelor, iar chinezii nu ar fi putut împărți pământul.

Această teoremă a pus, de asemenea, bazele multor școli de matematică, cum ar fi geometria solidă, geometria neeuclidiană și geometria diferențială - fără de care, sau dacă s-ar dovedi greșită, aproape întreaga ramură a geometriei matematicii cunoscută omenirii astăzi s-ar prăbuși.

Demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost, prin urmare, o sarcină foarte importantă. Încă din anul 500 î.Hr., matematicianul grec antic Pitagora a întreprins această sarcină și și-a făcut un nume în istorie pentru prima dată.

El a demonstrat teorema lui Pitagora folosind o metodă foarte simplă:

Fotografie ilustrativă.

Desenați un pătrat cu laturile a+b. Apoi, la fiecare colț, continuați să desenați 4 triunghiuri egale, cu laturile a și b. Aceste triunghiuri sunt toate triunghiuri dreptunghice egale, cu ipotenuza c și împreună creează un spațiu în interiorul pătratului cu aria ^c² .

Apoi, doar prin rearanjarea pozițiilor acelor 4 triunghiuri, Pitagora a creat două spații noi, care erau două pătrate cu laturile a și b. Aria totală a acelor două spații era ^a² + ^b² , care, bineînțeles, trebuia să fie egală cu spațiul original ^c² .

Aceasta este demonstrația pe care o veți găsi în manualul de matematică de clasa a VII-a, la gimnaziu. Dar există o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora pe care poate nu ați învățat-o. Este soluția la care a venit Albert Einstein când avea 11 ani.

Einstein și-a dat seama apoi că, dacă ar coborî o înălțime AD perpendiculară pe ipotenuza BC a triunghiului dreptunghic ABC, ar obține 2 triunghiuri dreptunghice similare cu triunghiul dreptunghic ABC. Acum, doar desenând în afara triunghiului dreptunghic ABC pătrate cu laturile egale cu fiecare dintre laturile sale, Einstein ar obține 3 pătrate cu axe egale cu ^a² , ^b² și ^c² .

Deoarece raportul dintre aria unui triunghi dreptunghic și aria unui pătrat situat pe ipotenuză este același pentru triunghiuri similare, vom avea și ^𝑐² = ^𝑎² + ^𝑏² .

Fotografie ilustrativă.

Totuși, acestea sunt doar două dintre cele 370 de demonstrații ale Teoremei lui Pitagora pe care matematicienii le-au găsit în ultimii 2.500 de ani. De la utilizarea algebrei și a calculului până la diverse secvențe geometrice, această teoremă matematică poate fi dovedită adevărată folosind metode variind de la cele simple la cele complexe.

Totuși, în toate aceste soluții, nu există nicio demonstrație folosind formule trigonometrice. Întrucât teorema lui Pitagora în sine este o teoremă fundamentală în trigonometrie, demonstrarea ei folosind trigonometria ne-ar duce într-o capcană a erorii logice, numită gândire circulară, atunci când folosim însăși teorema lui Pitagora pentru a demonstra teorema lui Pitagora.

Matematicienii au eșuat în mod repetat în această sarcină, atât de mult încât, în 1927, matematicianul american Elisha Loomis a exclamat: „ Nu există nicio modalitate de a demonstra Teorema lui Pitagora prin trigonometrie, deoarece toate formulele trigonometrice de bază trebuie să se bazeze pe corectitudinea Teoremei lui Pitagora”.

Dar, se pare că Elisha Loomis se înșela.

Aproape 100 de ani mai târziu, acești doi elevi de liceu au găsit o modalitate de a demonstra teorema lui Pitagora folosind trigonometria.

Într-un nou studiu publicat în revista American Mathematical Monthly, două studente, Ne'Kiya Jackson și Calcea Johnson de la liceul St. Mary's Academy din Colorado, au prezentat nu una, ci 10 modalități de a demonstra teorema lui Pitagora folosind trigonometria.

Ne'Kiya Jackson (stânga) și Calcea Johnson (dreapta).

Pentru a putea face asta, Jackson și Johnson au folosit un triunghi dreptunghic ABC ca de obicei. „ Prima noastră demonstrație începe prin răsturnarea triunghiului ABC peste latura sa AC pentru a forma un triunghi isoscel ABB ”, au scris cei doi în lucrare.

În pasul următor, vor construi un triunghi dreptunghic AB'D, extinzând latura AB până la punctul D astfel încât din D să poată coborî o perpendiculară pe B'A.

În acest moment, asigură-te că ai suficientă hârtie, deoarece AB'D este un triunghi cu o latură neobișnuit de lungă, iar punctul D va ieși cel mai probabil dincolo de marginea hârtiei.

Apoi, din punctul B, veți coborî o perpendiculară pe BB', tăind B'D în E. Apoi, din E, veți coborî o perpendiculară pentru a tăia AD în F... Și așa mai departe la nesfârșit, veți obține un număr infinit de triunghiuri similare ale căror arii combinate sunt egale cu aria triunghiului AB'D:

Acum punctul important:

Jackson și Johnson au descoperit că, deoarece BB' are lungimea 2a și triunghiul B'EB este similar cu triunghiul ABC, ei pot calcula lungimea laturii BE ca 2a ^{≥ 2} /b. BF = 2A ^{≥ 2} c/b ^≥ . Astfel, laturile FG, GH pot fi calculate ca 2a ^{≤ 4} c/b ^{≤ 4} și 2a ≤ ⁶ c/b ^{≥ 6} …

Atunci, lungimea ipotenuzei AD va fi egală cu suma segmentelor de linie:

În triunghiul AB'D avem:

Din cele două formule de mai sus, obținem ecuația:

În care, folosind suma unei serii convergente de bază, este:

Imediat după publicare, demonstrația teoremei lui Pitagora de către Jackson și Johnson a atras matematicieni, inclusiv pe Álvaro Lozano-Robledo, de la Universitatea din Connecticut.

„ Arăta ca nimic din ce mai văzusem vreodată”, a spus Lozano-Robledo. Ideea de a umple un triunghi mare cu o infinit de multe triunghiuri mai mici și apoi de a calcula lungimile laturilor sale folosind o serie convergentă a fost o inovație neașteptată pentru un elev de liceu.

Matematicianul Álvaro Lozano-Robledo de la Universitatea din Connecticut i-a lăudat pe Ne'Kiya Jackson și Calcea Johnson.

„ Unii oameni cred că cineva trebuie să petreacă ani de zile la școală sau în institute de cercetare pentru a rezolva o problemă nouă ”, a spus Lozano-Robledo. „ Dar acest lucru dovedește că se poate face încă din liceu.”

Nu numai că Jackson și Johnson au demonstrat teorema lui Pitagora într-un mod complet nou, dar soluția lor a subliniat și o limită fragilă a conceptului de trigonometrie, au spus ei.

„ Elevii de liceu s-ar putea să nu realizeze că există două versiuni ale trigonometriei atașate aceluiași termen. În acest caz, a încerca să înțelegi trigonometria este ca și cum ai încerca să înțelegi o imagine cu două imagini diferite imprimate una peste alta ”, spun ei.

Soluția surprinzătoare la Teorema lui Pitagora a venit de la Jackson și Johnson, separând aceste două variante trigonometrice și folosind o altă lege fundamentală a trigonometriei, legea sinusurilor. În acest fel, cei doi au evitat cercurile vicioase pe care matematicienii anteriori, inclusiv Elisha Loomis, le-au întâlnit atunci când au încercat să demonstreze Teorema lui Pitagora folosind Teorema lui Pitagora.

Nimeni nu a demonstrat vreodată teorema lui Pitagora în acest fel, nici măcar Albert Einstein.

„Rezultatele lor au atras atenția altor studenți asupra unei perspective noi și promițătoare ”, a declarat Della Dumbaugh, redactor-șef al revistei American Mathematical Monthly. comentariu.

„ De asemenea, va deschide o mulțime de noi conversații matematice ”, spune Lozano-Robledo. „ Atunci alți matematicieni vor putea folosi această lucrare pentru a generaliza acea demonstrație, pentru a-și generaliza ideile sau pur și simplu pentru a utiliza acea idee în alte moduri.”

Se poate observa că o nouă lume în matematică a fost deschisă după ce Jackson și Johnson au desenat „ triunghiul ” mutant. Un triunghi care se extinde dincolo de marginea hârtiei conține în interior o buclă de triunghiuri nesfârșite.

Așadar, data viitoare când rezolvi o problemă de geometrie și dai peste o muchie, încearcă să o desenezi până la margine. Cine știe, s-ar putea să faci o descoperire.

Sursa: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Sursă: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm