紙の端からはみ出す三角形を描き、2人の学生が2500年前の数学定理を予想外に証明

特別なのは、アルバート・アインシュタインでさえ、この方法でこの定理を証明した人がいないことです。

高校時代、私たち全員が空間幾何学の問題を解かなければなりませんでした。幾何学の問題を解くと、誰もが少なくとも一度はこのような状況に遭遇したことがあるでしょう。図形を描いているときに紙が足りなくなるのです。

このようなケースはすべて、2 つの辺が異常に長い「突然変異」三角形で、紙の端まで描いても交差しません。このような状況では、どのように対処しますか?

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非常に創造的な生徒の中には、紙の裏側という別の次元にイメージを描き続ける生徒もいます。他の人は、別の紙を取り出し、それを古い紙の下に置いて、形を完成させるまで描き続けます。あるいは、状況が緊急すぎる場合は、テーブルの上に浮かぶ三角形を描くこともできます。

しかし、中には「なぜ頑固にその「突然変異」の三角形を描かなければならないのか」と主張する人もいるでしょう。紙がなくなるまで描いて、そこで止めます。紙の上に図形全体を描かなくても、その解決策は間違いなく正しくありません。

しかし、American Mathematical Monthly 誌に掲載された新たな研究により、彼らは考え直すことになるだろう。紙の外側の三角形の部分に、予期せぬ数学の謎が隠されていることがあります。

具体的には、このケースでは、米国の高校生2人が「突然変異」した三角形を使って、発表されてから2,500年以上もの間「不可能」だと考えられていたピタゴラスの定理を証明する方法を発見した。

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アルバート・アインシュタインでさえ、ピタゴラスの定理をこのように証明した人はいません。

ピタゴラスの定理は、最初に証明した古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前570年～495年）にちなんで名付けられましたが、バビロン、インド、メソポタミア、中国などの他の古代文明の数学者も独立してこの定理を発見したという証拠があります。

直角三角形では、斜辺の二乗は常に他の 2 辺の長さの二乗の合計に等しくなります。直角三角形の2辺の長さがaとbで、斜辺がcである場合、ピタゴラスの定理は次の式で表されます。

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

ピタゴラスの定理がなかったら、古代エジプト人はピラミッドを建てることができなかったでしょう。

単純な公式のように思えますが、ピタゴラスの定理を知らなければ、古代エジプト人はピラミッドを建設できなかったでしょうし、バビロニア人は星の位置を計算できなかったでしょうし、中国人は土地を分割できなかったでしょう。

この定理は、立体幾何学、非ユークリッド幾何学、微分幾何学など、多くの数学の学派の基礎も築きました。この定理がなければ、あるいはこの定理が間違っていると証明されれば、今日人類が知っている数学の幾何学のほぼすべての分野が崩壊してしまうでしょう。

したがって、ピタゴラスの定理が正しいことを証明することは非常に重要な作業です。そのため、紀元前 500 年頃には古代ギリシャの数学者ピタゴラスがこの課題に取り組み、歴史に初めて名を残しました。

彼は非常に簡単な方法でピタゴラスの定理を証明しました。

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辺の長さがa+bの正方形を描きます。次に、各コーナーで、辺が a と b である 4 つの等しい三角形を描き続けます。これらの三角形はすべて等しい直角三角形で、斜辺は c で、合わせて面積が c ^{2 の}正方形の内部に空間を形成します。

そして、ピタゴラスは、これら 4 つの三角形の位置を単純に並べ替えるだけで、辺が a と b である 2 つの正方形という 2 つの新しい空間を作り出しました。 2つの空間の合計面積はa ² + b ²であり、これは当然元の空間c ²と等しくなければなりません。

これは中学校 1 年生の数学の教科書に載っている証明です。しかし、ピタゴラスの定理を証明する別の方法があります。これはあなたがまだ学んでいないかもしれません。それはアルバート・アインシュタインがわずか11歳のときに思いついた解決策でした。

アインシュタインは、直角三角形 ABC の斜辺 BC に垂直に高さ AD を落とすと、直角三角形 ABC に相似な 2 つの直角三角形が得られることに気づきました。さて、直角三角形 ABC の外側に、その各辺を辺とする正方形を描くだけで、アインシュタインは、面積が a ² 、 b ² 、 c ²に等しい 3 つの正方形を得ることができます。

直角三角形の面積とその斜辺上の正方形の面積の比は相似三角形で同じなので、 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²も成り立ちます。

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しかし、これらは数学者が過去 2,500 年間に発見したピタゴラスの定理の証明 370 個のうちの 2 個にすぎません。代数、微積分、さまざまな幾何学的カットの使用により、この数学定理は簡単なものから複雑なものまでさまざまな方法を使用して真であることが証明できます。

しかし、これらすべての解決策には三角関数の公式を使った証明がありません。ピタゴラスの定理自体は三角法の基本定理であるため、ピタゴラスの定理自体を使用してピタゴラスの定理を証明しようとすると、循環思考と呼ばれる論理的誤謬の罠に陥ってしまいます。

数学者たちはこの課題に何度も失敗しており、1927年にアメリカの数学者エリシャ・ルーミスは「すべての基本的な三角法の公式はピタゴラスの定理の正しさに頼らなければならないため、三角法でピタゴラスの定理を証明する方法はない」と叫んだほどである。

しかし結局のところ、エリシャ・ルーミスは間違っていました。

約100年後、この2人の高校生は三角法を使ってピタゴラスの定理を証明する方法を発見しました。

雑誌「American Mathematical Monthly」に掲載された新しい研究で、コロラド州のセント・メアリーズ・アカデミーの2人の学生、ネキヤ・ジャクソンとカルシア・ジョンソンが、三角法を使ったピタゴラスの定理の証明を1つだけでなく10個発表した。

ネキヤ・ジャクソン（左）とカルセア・ジョンソン（右）。

これを実現するために、 ジャクソンとジョンソンはいつものように直角三角形 ABC を使用しました。 「我々の最初の証明は、三角形ABCをその辺ACの上にひっくり返して二等辺三角形ABB'を形成することから始まります」と二人は論文に記した。

次のステップでは、辺 AB を点 D まで延長し、D から B'A に垂線を下ろして、直角三角形 AB'D を作成します。

この時点で、紙が十分あることを確認してください。AB'D は辺が異常に長い三角形であり、点 D が紙の端からはみ出す可能性が高いためです。

次に、点 B から BB' に垂線を下ろし、E で B'D を切ります。次に、E から垂線を下ろし、F で AD を切ります... これを無限に続けると、合計面積が三角形 AB'D の面積に等しい、相似三角形が無数に得られます。

さて、重要な点は次の通りです。

ジャクソンとジョンソンは、三角形 BB' の長さが 2a であり、三角形 B'EB が三角形 ABC と相似であることから、辺 BE の長さを 2a ² /b と計算できることを発見しました。 BF=2A ² c/b ² .したがって、エッジ FG、GH は 2a ⁴ c/b ⁴と 2a ⁶ c/b ⁶で計算できます...

すると、斜辺 AD の長さは線分の合計に等しくなります。

三角形 AB'D では次のようになります。

上記の 2 つの式から、次の式が得られます。

ここで、基本収束級数の合計を使用すると次のようになります。

ジャクソンとジョンソンによるピタゴラスの定理の証明は出版直後から、コネチカット大学のアルバロ・ロサノ・ロブレドを含む数学者の注目を集めた。

「これまで見たことのないようなものでした」とロサノ・ロブレド氏は語った。大きな三角形を無限に小さな三角形で埋め、収束級数を使ってその辺の長さを計算するというアイデアは、高校生にとっては予想外の革新です。

コネチカット大学の数学者アルバロ・ロサーノ・ロブレドはネキヤ・ジャクソンとカルセア・ジョンソンを称賛している。

「新しい問題を解決するには、学術界や研究機関で何年も過ごさなければならないと考える人もいます」とロサノ・ロブレド氏は言う。 「しかし、この解決策は、高校生でも実行可能であることを証明しています。」

ジャクソン氏とジョンソン氏は、ピタゴラスの定理をまったく新しい方法で証明しただけでなく、その解決法は三角法の概念の微妙な境界を強調するものでもあると述べている。

「高校生は、同じ用語に2つのバージョンの三角法があることに気付いていないかもしれません。その場合、三角法を理解しようとするのは、2つの異なる画像が重ねて印刷された絵を理解しようとするようなものです」と彼らは言います。

ピタゴラスの定理に対する驚くべき解決法は、ジャクソンとジョンソンがこれら 2 つの三角法のバリエーションを分離し、三角法の別の基本法則である正弦定理を使用したことから生まれました。このようにして、二人は、エリシャ・ルーミスを含む以前の数学者がピタゴラスの定理そのものを使ってピタゴラスの定理を証明しようとしたときに遭遇した悪循環を回避した。

アルバート・アインシュタインでさえ、ピタゴラスの定理をこのように証明した人はいません。

「彼らの研究結果は、他の学生たちの注目を集め、新たな将来有望な視点を提示した」とアメリカ数学月刊誌の編集長デラ・ダンボー氏は語った。 コメント。

「これによって、数学的な新たな対話が数多く生まれることになるだろう」とロサノ・ロブレド氏は言う。 「そのとき、他の数学者はこの論文を使ってその証明を一般化したり、自分たちの考えを一般化したり、あるいは単にその考えを他の方法で利用したりすることができるのです。」

ジャクソンとジョンソンが突然変異の「三角形」を描いた後、数学に新たな領域が開かれたことがわかります。紙の端から伸びる三角形の中に、無限に続く三角形のループが含まれています。

次回幾何学の問題を解くときにエッジに出会ったら、最後まで描いてみてください。もしかしたら、新たな発見があるかもしれませんよ。

出典: Sciencealert、Sciencenews、Tandfonline

出典: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm