特別なのは、アルバート・アインシュタインでさえ、この方法でこの定理を証明した人がいないことです。
高校時代、私たちは皆、幾何学の問題を解かなければなりませんでした。そして、幾何学の問題を解いた後、誰もが少なくとも一度はこんな状況に遭遇したことがあるでしょう。図を描いている途中で、紙が足りなくなる、という状況です。
このようなケースはすべて、2辺が異常に長く、どれだけ長く引いても交わらない「突然変異」三角形です。このような状況にはどのように対処しますか？
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生徒の中には、とても創造力豊かに、紙の裏側という別の次元に形を描き続ける子もいます。また、別の紙を最初の紙の下に重ねて形を完成させる子もいます。あるいは、急いでいる場合は、テーブルの上に浮かんでいる三角形を描くのも良いでしょう。
しかし、中にはこう思う人もいるでしょう。「なぜあの「突然変異」した三角形を描くことにこだわるんだ？紙がなくなるまで描いて、それで終わりにすればいいじゃないか。たとえ紙に形全体を描けなかったとしても、その解決策は間違いなく間違っている。」
しかし、American Mathematical Monthly誌に掲載された新たな研究が、彼らに考え直させるきっかけを与えている。紙の外側にある三角形の中に、思いもよらぬ数学の秘密が隠されていることがあるのだ。
具体的には、このケースでは、米国の高校生2人が「突然変異」した三角形を使って、発表されてから2,500年以上もの間「不可能」だと考えられていたピタゴラスの定理を証明する方法を発見した。
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アルバート・アインシュタインでさえ、ピタゴラスの定理をこのように証明した人はいません。
ピタゴラスの定理は、最初に証明した古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前570年～495年）にちなんで名付けられましたが、バビロン、インド、メソポタミア、中国などの他の古代文明の数学者も独立してこの定理を発見したという証拠があります。
直角三角形において、斜辺の2乗は他の2辺の長さの2乗の和に常に等しい。直角三角形の辺の長さがaとbで、斜辺がcの場合、ピタゴラスの定理は次の式で表される。
𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2
ピタゴラスの定理がなかったら、古代エジプト人はピラミッドを建てることができなかったでしょう。
単純な公式のように思えますが、ピタゴラスの定理を知らなければ、古代エジプト人はピラミッドを建設できなかったでしょうし、バビロニア人は星の位置を計算できなかったでしょうし、中国人は土地を分割できなかったでしょう。
この定理は、立体幾何学、非ユークリッド幾何学、微分幾何学など、多くの数学の学派の基礎も築きました。この定理がなければ、あるいはこの定理が間違っていると証明されれば、今日人類が知っている数学の幾何学のほぼすべての分野が崩壊してしまうでしょう。
したがって、ピタゴラスの定理を証明することは非常に重要な課題でした。紀元前500年という早い時期に、古代ギリシャの数学者ピタゴラスがこの課題に取り組み、歴史に初めて名を残しました。
彼は非常に簡単な方法でピタゴラスの定理を証明しました。
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辺の長さがa+bの正方形を描きます。次に、各角に、辺の長さがaとbの等しい三角形を4つ描きます。これらの三角形はすべて直角三角形で、斜辺の長さはcです。これらの三角形を合わせると、正方形の中に面積がc 2 の空間ができます。
そして、ピタゴラスはこれら4つの三角形の位置を並べ替えるだけで、2つの新しい空間、つまり辺がaとbの2つの正方形を作り出しました。これら2つの空間の合計面積はa 2 + b 2で、当然元の空間c 2と等しくなります。
これは中学校7年生の数学の教科書に載っている証明です。しかし、ピタゴラスの定理には、もしかしたら習っていないかもしれない別の証明があります。それは、アルバート・アインシュタインがわずか11歳の時に思いついたものです。
アインシュタインは、直角三角形ABCの斜辺BCに垂直な高さADを落とすと、直角三角形ABCに相似な直角三角形が2つできることに気づきました。そして、直角三角形ABCの外側に、それぞれの辺と等しい辺を持つ正方形を描くだけで、面積がa 2 、b 2 、c 2である正方形が3つできるのです。
直角三角形の面積とその斜辺上の正方形の面積の比は相似三角形で同じなので、 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2も成り立ちます。
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しかし、これらは数学者が過去2500年間に発見したピタゴラスの定理の370の証明のうちのほんの2つに過ぎません。代数、微積分、様々な幾何学的切断などを用いて、この数学定理は簡単なものから複雑なものまで、様々な方法で証明することができます。
しかし、これらの解法にはいずれも三角関数の公式を用いた証明がありません。ピタゴラスの定理自体は三角法の基本定理であるため、三角法を用いて証明しようとすると、循環論法と呼ばれる論理的誤謬に陥ってしまいます。ピタゴラスの定理自体を用いてピタゴラスの定理を証明しようとすると、循環論法と呼ばれる論理的誤謬に陥ってしまうからです。
数学者たちはこの課題に何度も失敗しており、1927年にアメリカの数学者エリシャ・ルーミスは「すべての基本的な三角法の公式はピタゴラスの定理の正しさに頼らなければならないため、三角法でピタゴラスの定理を証明する方法はない」と叫んだほどである。
しかし結局のところ、エリシャ・ルーミスは間違っていました。
約100年後、この2人の高校生は三角法を使ってピタゴラスの定理を証明する方法を発見しました。
雑誌「American Mathematical Monthly」に掲載された新しい研究で、コロラド州のセント・メアリーズ・アカデミー高校の2人の生徒、ネキヤ・ジャクソンとカルシア・ジョンソンが、三角法を使ってピタゴラスの定理を証明する方法を1つだけでなく10通り提示した。
ネキヤ・ジャクソン（左）とカルセア・ジョンソン（右）。
これを実現するために、 ジャクソンとジョンソンは、いつものように直角三角形ABCを使用しました。「最初の証明は、三角形ABCをその辺ACの上にひっくり返して二等辺三角形ABB'を形成することから始まります」と、二人は論文に記しています。
次のステップでは、辺 AB を点 D まで延長し、D から B'A に垂線を下ろして、直角三角形 AB'D を作成します。
この時点で、紙が十分あることを確認してください。AB'D は辺が異常に長い三角形であり、点 D が紙の端からはみ出す可能性が高いためです。
次に、点 B から BB' に垂線を下ろし、E で B'D を切ります。次に、E から垂線を下ろし、F で AD を切ります... これを無限に続けると、合計面積が三角形 AB'D の面積に等しい相似三角形が無数に得られます。
さて、重要な点は次の通りです。
ジャクソンとジョンソンは、三角形BB'の長さが2aであり、三角形B'EBが三角形ABCと相似であることから、辺BEの長さを2a 2 /bと計算できることを発見しました。BF=2A 2 c/b 2 。したがって、辺FG、GHはそれぞれ2a 4 c/b 4、2a 6 c/b 6と計算できます…
すると、斜辺 AD の長さは線分の合計に等しくなります。
三角形 AB'D では次のようになります。
上記の 2 つの式から、次の式を確立できます。
ここで、基本収束級数の合計を使用すると次のようになります。
ジャクソンとジョンソンによるピタゴラスの定理の証明は出版直後から、コネチカット大学のアルバロ・ロサノ・ロブレドを含む数学者の注目を集めた。
「今まで見たことのないような感じでした」とロサノ＝ロブレドは言った。大きな三角形を無限に小さな三角形で埋め尽くし、収束級数を使って辺の長さを計算するというアイデアは、高校生にとって予想外の革新だった。
コネチカット大学の数学者アルバロ・ロサーノ・ロブレド氏はネキヤ・ジャクソン氏とカルセア・ジョンソン氏を称賛した。
「新しい問題を解決するには、学校や研究機関で何年も勉強しなければならないと考える人もいます」とロサノ＝ロブレド氏は述べた。「しかし、これは高校生のうちに解決できるということを証明しています。」
ジャクソン氏とジョンソン氏は、ピタゴラスの定理をまったく新しい方法で証明しただけでなく、その解決法は三角法の概念の微妙な境界を強調するものでもあると述べている。
「高校生は、同じ用語に2つのバージョンの三角法があることに気付いていないかもしれません。その場合、三角法を理解しようとするのは、2つの異なる画像が重ねて印刷された絵を理解しようとするようなものです」と彼らは言います。
ジャクソンとジョンソンは、ピタゴラスの定理の驚くべき解を、この二つの三角関数の変分法を分離し、三角法のもう一つの基本法則である正弦定理を用いることで導き出しました。こうして二人は、エリシャ・ルーミスをはじめとする先人たちの数学者たちがピタゴラスの定理を用いてピタゴラスの定理を証明しようとした際に遭遇した悪循環を回避しました。
アルバート・アインシュタインでさえ、ピタゴラスの定理をこのように証明した人はいません。
「彼らの研究結果は、他の学生たちの注目を集め、新たな将来有望な視点を提示した」とアメリカ数学月刊誌の編集長デラ・ダンボー氏は語った。 コメント。
「この論文は、多くの新たな数学的議論のきっかけとなるでしょう」とロサノ＝ロブレド氏は述べた。「他の数学者がこの論文を使って、その証明を一般化したり、自分たちのアイデアを一般化したり、あるいは単にそのアイデアを別の方法で利用したりできるようになるのです。」
ジャクソンとジョンソンが突然変異した「三角形」を描いた後、数学に新たな境地が開かれたと言えるでしょう。紙の端を超えて伸びる三角形の中には、無限に続く三角形の輪が存在します。
次回、幾何学の問題を解いているときに辺に出会ったら、端まで描いてみてください。もしかしたら、何か発見があるかもしれませんよ。
出典: Sciencealert、Sciencenews、Tandfonline
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出典: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm
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