Czym jest pochodna? Szczegółowe wzory na pochodne

Oprócz wszystkich wzorów na pochodne funkcji prostych, pochodnych trygonometrycznych, pochodnych funkcji wykładniczych i logarytmicznych oraz pochodnych drugiego rzędu, czytelnicy mogą zapamiętać wzór na obliczanie pochodnych, czytając wiersz.

Szybki podgląd:

• Co to jest pochodna?
• Wzór na pochodną funkcji w punkcie
• Pochodne funkcji wspólnych
• Pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
• Pochodna funkcji złożonej
• Pochodne funkcji trygonometrycznych
• Pochodna funkcji wykładniczej
• Pochodna funkcji logarytmicznej
• Druga pochodna
• Wskazówki dotyczące zapamiętywania wzoru pochodnej

Co to jest pochodna?

Według tomu 2 podręcznika Math 11, seria „Łączenie wiedzy z życiem”, pochodna funkcji jest jednym z ważnych pojęć matematyki. Pochodna reprezentuje tempo zmian funkcji w punkcie lub przedziale.

Wzór na pochodną funkcji w punkcie

Pochodna funkcji w punkcie informuje, o ile funkcja zmienia się w tym punkcie.

Pochodne funkcji wspólnych

Są to najprostsze formy funkcji potęgowych, stanowiące podstawę późniejszego obliczania pochodnych funkcji bardziej złożonych.

Pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu

Pochodne sum, różnic, iloczynów i ilorazów to ważne reguły, które pomagają nam obliczać pochodne złożonych wyrażeń z prostych funkcji. Zamiast ponownie udowadniać definicję granic, możemy po prostu zastosować te wzory, aby uprościć działanie.

Dokładniej, pochodna sumy lub różnicy jest równa sumie lub różnicy pochodnych; pochodna iloczynu podlega zasadzie „najpierw pochodna, potem mnożenie, najpierw dodawanie, potem mnożenie pochodnej”; a pochodna ilorazu podlega zasadzie „licznik pochodnej pomnożony przez mianownik, odejmij licznik pomnożony przez mianownik pochodnej, podziel przez kwadrat mianownika”. Wzory te zostaną przedstawione poniżej w przejrzysty sposób, wraz z przykładami ilustracyjnymi, aby uczniowie mogli je łatwo zapamiętać i zastosować w ćwiczeniach.

Pochodna funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej jest stosowana, gdy funkcja składa się z kilku zagnieżdżonych warstw funkcji. Stosując regułę łańcuchową, pochodna funkcji złożonej jest równa pochodnej funkcji zewnętrznej pomnożonej przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Pochodne funkcji trygonometrycznych pozwalają nam poznać szybkość zmian funkcji takich jak sin(x), cos(x) lub tan(x) przy zmianie wartości x.

Już samo poznanie pochodnych sin(x) i cos(x) pozwala nam na wyprowadzenie pochodnych innych funkcji trygonometrycznych, ponieważ wszystkie one można wyrazić na podstawie sinusów i cos (używając reguły ilorazu).

W poniższym rozdziale udowodnimy wzór na pochodną sin(x) i cos(x). Na tej podstawie możemy obliczyć pochodne innych funkcji trygonometrycznych, a także rozszerzyć go na odwrotne funkcje trygonometryczne i kilka innych wzorów specjalnych.

Pochodna funkcji wykładniczej

Pochodna funkcji wykładniczej informuje nas o tempie zmian funkcji postaci ^ax (gdzie a>0, a≠1) lub zwłaszcza e ^x . Spośród nich funkcja e ^x jest uważana za najważniejszą, ponieważ jej pochodna jest równa samej sobie.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Pochodna funkcji logarytmicznej informuje o tempie zmian funkcji postaci log _⁡a (x) (gdzie a>0, a≠1), z których najważniejszą jest ln⁡(x) – logarytm naturalny o podstawie e.

Znając wzór na pochodną funkcji ln⁡(x), możemy łatwo wywnioskować pochodną funkcji log _⁡a (x) korzystając ze wzoru na zmianę bazy.

Druga pochodna

Druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej, czyli obliczamy pochodną funkcji dwa razy z rzędu. Jeśli pierwsza pochodna określa tempo zmian funkcji, to druga pochodna określa tempo zmian tej samej funkcji.

W geometrii druga pochodna pomaga określić krzywiznę/wklęsłość wykresu. W fizyce, jeśli funkcja reprezentuje odległość w czasie, pierwsza pochodna to prędkość, a druga pochodna to przyspieszenie.

Wskazówki dotyczące zapamiętywania wzoru pochodnej

- Ucz się wzorów w grupach, a nie osobno.

- Zapisz tabelę formuł, aby móc ją od razu zastosować, gdy o niej zapomnisz.

- Poznaj pochodne poprzez wiersze:

Sto lat na tym świecie

Lenistwo w uczeniu się instrumentów pochodnych oznacza roztargnienie.

X z potęgą n

Bierzemy pierwszą pochodną potęgową n.

Następnie wykładnik powyżej

Od razu odejmujemy 1.

Pochodna pierwiastka kwadratowego x, mój przyjacielu

Z miłością, mój przyjacielu, nie zapomnij o tym.

Licznik jest liczbą całkowitą 1.

Przykład 2 pierwiastka kwadratowego x zapisany razem dla szybkości.

Pochodna iloczynu dwóch braci

Najpierw cię nauczę, a potem zostawię ci resztę.

Następnie dodaj znak plus dla szybkości

Zachowaj przedniego brata, tylnego brata pochodnego.

Jeśli kochasz, bez względu na to jak trudne to jest, zaakceptujesz to.

Pochodna i mianownik pozostają takie same.

Nie zapomnij o znaku minus.

Początek wszechświata i droga matki podążają tuż za nim.

Gdzie umieścić próbkę kwadratową?

Zdjąłem go, żeby szybko wyciągnąć wnioski.

Pochodna sinusa jest naprawdę utalentowana.

Okazuje się, że cos nigdy się nie myli.

Pochodna snu

Odejmij grzech, żeby zostawić cię w spokoju.

Pracowitość równoważy inteligencję

Dzielenie przez cosinus jest pochodną tangensową.

Tylko dzięki ciężkiej nauce można być dumnym.

Mimo że pogrzeb jest trudny, ma swoje pochodne.

Odejmij 1 i pamiętaj, żeby to zrobić.

Zachowuj się jak normalna osoba, nie bądź zbyt zabawny.

E kapelusz x jest taki dziwny

Jego pochodną zachowujemy taką samą.

Pozostawiamy funkcję wykładniczą w spokoju.

Numer bazowy został podany zaraz potem.

Nepe x pochodna szybko

To jest 1 podzielone przez x, nie jest to takie trudne.

Czy logarytm x jest inny?

Nie zapomnij o naszym numerze bazowym.

(Zbierać)

Źródło: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html