Czym jest pochodna? Szczegółowe wzory na pochodne

Oprócz wszystkich wzorów na pochodne funkcji typowych, pochodnych trygonometrycznych, pochodnych funkcji wykładniczych i logarytmicznych oraz pochodnych wtórnych, czytelnicy mogą zapamiętać wzór na obliczanie pochodnych, czytając wiersz.

Krótki przegląd:

• Czym jest pochodna?
• Wzór na pochodną funkcji w punkcie
• Pochodne funkcji wspólnych
• Pochodne sum, różnic, iloczynów i ilorazów.
• Pochodna funkcji złożonej
• Pochodne funkcji trygonometrycznych
• Pochodna funkcji wykładniczej
• Pochodna funkcji logarytmicznej
• Druga pochodna
• Wskazówki dotyczące zapamiętywania wzorów pochodnych

Czym jest pochodna?

Według podręcznika Math 11, tom 2, z serii „Connecting Knowledge and Life”, pochodna funkcji jest jednym z ważnych pojęć w matematyce. Pochodna reprezentuje tempo zmian funkcji w punkcie lub przedziale.

Wzór na pochodną funkcji w punkcie

Pochodna funkcji w punkcie wskazuje stopień zmiany funkcji w tym punkcie.

Pochodne funkcji wspólnych

Są to najprostsze formy funkcji potęgowych – podstawa do obliczania pochodnych wielu bardziej złożonych funkcji w przyszłości.

Pochodne sum, różnic, iloczynów i ilorazów.

Pochodne sum, różnic, iloczynów i ilorazów to ważne reguły, które pomagają nam obliczać pochodne złożonych wyrażeń z prostych funkcji. Zamiast ponownie dowodzić ich z definicji granicy, możemy po prostu zastosować te wzory i reguły, aby uprościć proces.

Dokładniej, pochodna sumy lub różnicy jest równa sumie lub różnicy jej pochodnych; pochodna iloczynu podlega zasadzie „najpierw pochodna, potem mnożenie; najpierw dodawanie, potem pochodna”; a pochodna ilorazu podlega zasadzie „licznik pochodna pomnożona przez mianownik, odejmowanie licznik pomnożony przez mianownik pochodna, dzielenie przez mianownik podniesiony do kwadratu”. Wzory te zostaną przedstawione poniżej w przejrzysty sposób, wraz z przykładami ilustracyjnymi, aby ułatwić uczniom zapamiętanie ich i zastosowanie w ćwiczeniach.

Pochodna funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej jest używana, gdy funkcja jest utworzona z wielu funkcji zagnieżdżonych. Stosując regułę łańcuchową, pochodna funkcji złożonej jest równa pochodnej funkcji zewnętrznej pomnożonej przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Pochodne funkcji trygonometrycznych pozwalają nam zrozumieć szybkość zmian funkcji takich jak sin(x), cos(x) lub tan(x) wraz ze zmianą wartości x.

Opanowanie pochodnych sin(x) i cos(x) umożliwi nam wyprowadzenie pochodnych innych funkcji trygonometrycznych, ponieważ wszystkie one można wyrazić za pomocą sin i cos (stosując regułę ilorazu).

W poniższym rozdziale udowodnimy wzory na pochodne dla sin(x) i cos(x). Na tej podstawie możemy obliczyć pochodne dla innych funkcji trygonometrycznych, a także rozszerzyć to na odwrotne funkcje trygonometryczne i kilka innych wzorów specjalnych.

Pochodna funkcji wykładniczej

Pochodna funkcji wykładniczej informuje nas o tempie zmian funkcji postaci ^ax (gdzie a>0, a≠1) lub zwłaszcza e ^x . Spośród nich funkcja e ^x jest uważana za najważniejszą, ponieważ jej pochodna jest równa samej sobie.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Pochodna funkcji logarytmicznej wskazuje szybkość zmian funkcji postaci _log⁡a (x) (gdzie a>0, a≠1), z których najważniejszą jest ln⁡(x) – logarytm naturalny o podstawie e.

Znając wzór na pochodną ln(x), możemy łatwo wywnioskować pochodną _log⁡a (x) korzystając ze wzoru na zmianę bazy.

Druga pochodna

Druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej, czyli obliczamy pochodną funkcji dwa razy z rzędu. Jeśli pierwsza pochodna określa tempo zmian funkcji, to druga pochodna określa tempo zmian tej samej funkcji.

W geometrii druga pochodna pomaga określić krzywiznę/wklęsłość wykresu. W fizyce, jeśli funkcja reprezentuje odległość jako funkcję czasu, pierwsza pochodna to prędkość, a druga – przyspieszenie.

Wskazówki dotyczące zapamiętywania wzorów pochodnych

- Ucz się wzorów w grupach, a nie indywidualnie.

- Zachowaj przepis, aby móc z niego natychmiast skorzystać, jeśli o nim zapomnisz.

- Poznaj instrumenty pochodne poprzez poezję:

Sto lat w świecie ludzi

Pochodna to coś, w czym leniwi studenci, którzy się jej uczą, mogą nie być zbyt dobrzy.

X z wykładnikiem (en) n

Najpierw podnosimy pochodną do potęgi n.

Następnie mamy wykładnik powyżej.

Po prostu odejmujemy od tego 1.

Pochodna pierwiastka x, mój przyjacielu.

Pamiętaj o tej miłości, mój przyjacielu, nie zapomnij o niej.

Śmierć jest liczbą 1, która pozostaje niezmienna.

Na przykład, aby obliczyć prędkość, zapisz razem dwa pierwiastki kwadratowe x.

Pochodna iloczynu dwóch braci

Najpierw cię nauczę, a potem zostawię ci naukę.

Następnie dodaj znak plus, aby przyspieszyć proces.

Pierwszego brata zostaw bez zmian, a drugiego po pochodnym.

Jeśli naprawdę kochasz kogoś, przetrwasz każdą trudność.

Cnota matki pozostaje niezmienna.

Nie zapomnij o znaku minus!

Źródło śmierci, ścieżka macierzyństwa podąża tuż za nim.

Gdzie mieści się kwadrat mianownika?

Zejdźmy na dół, żebyśmy mogli to szybciej zapamiętać.

Pochodna sinusoidalna jest naprawdę niesamowita.

Okazuje się, że cosinus nigdy nie jest błędny.

Cosinus pochodnej jest tak piękny jak sen.

Z wyjątkiem grzechu, który pozostawia cię całkowicie zdezorientowanym i samotnym.

Ciężka praca rekompensuje brak inteligencji.

Jeden podzielony przez cosinus kwadrat jest pochodną tangensa.

Tylko poprzez pilną naukę można osiągnąć chwałę.

Mimo że pogrzeb jest trudny, niesie ze sobą poczucie obowiązku.

Odejmij jeden od liczby i pamiętaj, żeby to zrobić.

Bądź dobrym człowiekiem, nie bądź zbyt lekkomyślny.

Kapelusz X jest naprawdę dziwny.

Jest to jego pochodna, na razie pozostawiamy ją bez zmian.

Funkcję wykładniczą pozostawiamy bez zmian.

Bezpośrednio po tym następuje podstawowa liczba Nepe.

Nepe x pochodna szybko

To po prostu 1 podzielone przez x, to wcale nie jest trudne.

Jaka jest różnica między logarytmem x a logarytmem?

Nie zapominajmy o liczbie bazowej naszego kraju.

(Zbierać)

Źródło: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html