برسم مثلث يتجاوز حافة الورقة، يثبت طالبان بشكل غير متوقع نظرية رياضية عمرها 2500 عام

والأمر المميز هو أن أحداً لم يتمكن من إثبات النظرية بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

في المدرسة الثانوية، اضطررنا جميعًا لحل مسائل هندسية. وبمجرد حلنا للمسائل، واجهنا جميعًا هذا الموقف مرة واحدة على الأقل: أثناء رسم شكل، ينفد الورق.

جميع هذه الحالات تتضمن مثلثًا "متحورًا"، ذي ضلعين طويلين بشكل غير عادي، بحيث مهما امتد رسمهما، لا يتقاطعان. كيف ستتعامل مع هذا الوضع؟

صورة توضيحية.

بعض الطلاب - بإبداعٍ كبير - سيستمرون في رسم الشكل في بُعدٍ آخر، وهو ظهر الورقة. سيأخذ آخرون ورقةً أخرى ويضعونها تحت الأولى لإكمال الشكل. أو، إذا كنتَ في عجلةٍ من أمرك، يمكنك رسم المثلث العائم على الطاولة.

لكن قد يتساءل البعض: لماذا تُصرّ على رسم هذا المثلث "المتحور"؟ ارسم حتى تنفد الورقة، ثم توقف. حتى لو لم تتمكن من رسم الشكل كاملاً على الورقة، فحلّك غير صحيح قطعاً.

لكن دراسة جديدة نُشرت في مجلة "أمريكان ماثيماتيكال مونثلي" ستجعلهم يعيدون التفكير. أحيانًا، قد تخفي المثلثات على الجانب الخارجي من قطعة ورق أسرارًا رياضية غير متوقعة.

على وجه التحديد في هذه الحالة، مع مثلث "متحور"، وجد طالبان في المدرسة الثانوية في الولايات المتحدة طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس، والتي كانت تعتبر "مستحيلة" لمدة تزيد على 2500 عام، منذ أن تم ذكرها.

صورة توضيحية.

لم يتمكن أحد من إثبات نظرية فيثاغورس بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

تمت تسمية نظرية فيثاغورس على اسم عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس (570-495 قبل الميلاد)، الذي أثبتها لأول مرة، على الرغم من وجود أدلة على أن علماء الرياضيات في الحضارات القديمة الأخرى مثل بابل والهند وبلاد ما بين النهرين والصين اكتشفوها بشكل مستقل أيضًا:

في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع الوتر دائمًا مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. إذا كان للمثلث القائم الزاوية ضلعان طولهما أ و ب، ووتره ج، فإن نظرية فيثاغورس تُعبَّر عنها بالصيغة التالية:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

لو لم تكن هناك نظرية فيثاغورس، لما تمكن المصريون القدماء من بناء الأهرامات.

يبدو الأمر وكأنه صيغة بسيطة، ولكن بدون معرفة نظرية فيثاغورس، لم يكن المصريون القدماء قادرين على بناء الأهرامات، ولما كان البابليون قادرين على حساب مواقع النجوم، ولما كان الصينيون قادرين على تقسيم الأرض.

كما وضعت هذه النظرية الأساس للعديد من مدارس الرياضيات مثل الهندسة الصلبة والهندسة غير الإقليدية والهندسة التفاضلية - والتي بدونها، أو إذا ثبت خطأها، فإن فرع الهندسة في الرياضيات المعروف للبشرية اليوم بأكمله تقريبًا سوف ينهار.

لذا، كان إثبات نظرية فيثاغورس مهمة بالغة الأهمية. ففي عام 500 قبل الميلاد، تولى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس هذه المهمة، وصنع لنفسه اسمًا في التاريخ لأول مرة.

لقد أثبت نظرية فيثاغورس باستخدام طريقة بسيطة للغاية:

صورة توضيحية.

ارسم مربعًا بطول ضلعيه أ + ب. ثم، عند كل زاوية، ارسم أربعة مثلثات متساوية، ضلعاها أ و ب. جميع هذه المثلثات قائمة الزاوية، ووترها ج، وتُشكل معًا مساحة داخل المربع مساحتها ج ² .

بعد ذلك، بمجرد إعادة ترتيب مواقع تلك المثلثات الأربعة، أنشأ فيثاغورس مساحتين جديدتين، وهما مربعان لضلعيهما أ و ب. المساحة الكلية لهاتين المساحتين هي أ ² + ب ² ، والتي يجب أن تساوي المساحة الأصلية ج ² .

هذا هو الدليل الذي ستجده في كتاب الرياضيات للصف السابع الإعدادي. ولكن هناك دليل آخر لنظرية فيثاغورس ربما لم تتعلمه بعد. إنه الدليل الذي وضعه ألبرت أينشتاين وهو في الحادية عشرة من عمره فقط.

أدرك أينشتاين حينها أنه إذا خفض ارتفاعًا AD عموديًا على وتر BC للمثلث القائم الزاوية ABC، فسيحصل على مثلثين قائمين مشابهين للمثلث القائم الزاوية ABC. الآن، بمجرد رسم مربعات خارج المثلث القائم الزاوية ABC، كل ضلع منها يساوي ضلعه، سيحصل أينشتاين على ثلاثة مربعات بمساحات a ² وb ² وc ² .

نظرًا لأن نسبة مساحة المثلث القائم الزاوية إلى مساحة المربع على وتره هي نفسها في المثلثات المتشابهة، فسيكون لدينا أيضًا 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

صورة توضيحية.

ومع ذلك، فهذه مجرد اثنتين من بين 370 برهانًا لنظرية فيثاغورس اكتشفها علماء الرياضيات على مدى 2500 عام الماضية. ويمكن إثبات صحة هذه النظرية الرياضية باستخدام أساليب تتراوح بين السهلة والمعقدة، بدءًا من الجبر وحساب التفاضل والتكامل وصولًا إلى مختلف الطرق الهندسية.

مع ذلك، في جميع هذه الحلول، لا يوجد إثبات باستخدام الصيغ المثلثية. بما أن فيثاغورس بحد ذاته نظرية أساسية في علم المثلثات، فإن إثباتها باستخدام علم المثلثات سيوقعنا في فخ المغالطة المنطقية، وهو ما يُسمى التفكير الدائري، عندما نستخدم نظرية فيثاغورس نفسها لإثباتها.

لقد فشل علماء الرياضيات مرارا وتكرارا في هذه المهمة، لدرجة أنه في عام 1927، صاح عالم الرياضيات الأمريكي إليشا لوميس: " لا توجد طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس من خلال علم المثلثات لأن جميع الصيغ المثلثية الأساسية يجب أن تعتمد على صحة نظرية فيثاغورس".

ولكن كما اتضح، كان إليشا لوميس مخطئا.

وبعد مرور ما يقرب من مائة عام، وجد طالبان في المدرسة الثانوية طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس باستخدام علم المثلثات.

في دراسة جديدة نشرت في مجلة American Mathematical Monthly، قدم الطالبان نيكيا جاكسون وكالسيا جونسون من مدرسة سانت ماري أكاديمي الثانوية في كولورادو، ليس طريقة واحدة بل 10 طرق لإثبات نظرية فيثاغورس باستخدام علم المثلثات.

نيكيا جاكسون (يسار) وكالسيا جونسون (يمين).

لكي نتمكن من القيام بذلك، استخدم جاكسون وجونسون المثلث القائم ABC كالمعتاد. وكتبا في ورقتهما البحثية: " يبدأ برهاننا الأول بقلب المثلث ABC على ضلعه AC لتكوين مثلث متساوي الساقين ABB' ".

في الخطوة التالية، سيقومون بإنشاء مثلث قائم الزاوية AB'D، عن طريق تمديد الضلع AB إلى النقطة D بحيث يمكنهم إسقاط عمودي على B'A من D.

في هذه المرحلة، تأكد من أن لديك ما يكفي من الورق، لأن AB'D عبارة عن مثلث ذو ضلع طويل بشكل غير عادي، ومن المرجح أن تبرز النقطة D خارج حافة الورقة.

ثم من النقطة B، ستسقط عموديًا على BB'، قاطعًا B'D عند E. ثم من E، ستسقط عموديًا لقطع AD عند F... وهكذا إلى ما لا نهاية، ستحصل على عدد لا يحصى من المثلثات المتشابهة التي يكون مجموع مساحاتها مساويًا لمساحة المثلث AB'D:

الآن النقطة المهمة:

وجد جاكسون وجونسون أنه بما أن طول BB' يساوي 2a، وأن المثلث B'EB مشابه للمثلث ABC، فيمكنهما حساب طول الضلع BE بالصيغة 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . وبالتالي، يمكن حساب طولي الضلعين FG وGH بالصيغة 2a ⁴ c/b ⁴ و2a ⁶ c/b ⁶ ...

ومن ثم فإن طول الوتر AD سيكون مساويًا لمجموع قطع المستقيم:

في المثلث AB'D، لدينا:

ومن الصيغتين أعلاه، يمكننا إنشاء المعادلة:

حيث أن استخدام مجموع المتسلسلة المتقاربة الأساسية هو:

بعد نشرها مباشرة، جذبت إثبات جاكسون وجونسون لنظرية فيثاغورس اهتمام علماء الرياضيات، بما في ذلك ألفارو لوزانو روبليدو، من جامعة كونيتيكت.

قال لوزانو روبليدو: " بدا الأمر مختلفًا تمامًا عما رأيته من قبل" . كانت فكرة ملء مثلث كبير بعدد لا نهائي من المثلثات الأصغر، ثم حساب أطوال أضلاعه باستخدام متسلسلة متقاربة، ابتكارًا غير متوقع لطالب في المرحلة الثانوية.

عالم الرياضيات ألفارو لوزانو روبليدو من جامعة كونيتيكت أشاد بنيكيا جاكسون وكالسيا جونسون.

يعتقد البعض أن حل مشكلة جديدة يتطلب قضاء سنوات في المدرسة أو مراكز الأبحاث ، كما قال لوزانو روبليدو. " لكن هذا يُثبت إمكانية تحقيق ذلك وأنت لا تزال في المدرسة الثانوية."

ولم يثبت جاكسون وجونسون نظرية فيثاغورس بطريقة جديدة تماما فحسب، بل قالا إن حلهما أكد أيضا على حدود دقيقة لمفهوم علم المثلثات.

قد لا يدرك طلاب المرحلة الثانوية وجود نسختين من علم المثلثات مرتبطتين بنفس المصطلح. في هذه الحالة، تُشبه محاولة فهم علم المثلثات محاولة فهم صورة مطبوعة عليها صورتان مختلفتان .

جاء الحل المدهش لنظرية فيثاغورس من جاكسون وجونسون، اللذين فصلا هذين المتغيرين المثلثيين، مستخدمين قانونًا أساسيًا آخر في علم المثلثات، وهو قانون الجيب. بهذه الطريقة، تجنب الثنائي الحلقات المفرغة التي واجهها علماء الرياضيات السابقون، بمن فيهم إليشا لوميس، عندما حاولوا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدامها.

لم يتمكن أحد من إثبات نظرية فيثاغورس بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

وقال ديلا دومبو، رئيس تحرير مجلة American Mathematical Monthly: "لقد لفتت نتائجهم انتباه الطلاب الآخرين إلى منظور جديد واعد ". تعليق.

قال لوزانو-روبليدو: " سيفتح هذا أيضًا آفاقًا جديدة في الرياضيات . حينها، يمكن لعلماء الرياضيات الآخرين استخدام هذه الورقة لتعميم هذا البرهان، أو تعميم أفكارهم، أو ببساطة استخدام هذه الفكرة بطرق أخرى".

يمكن ملاحظة أن آفاقًا جديدة في الرياضيات قد فُتحت بعد أن رسم جاكسون وجونسون " المثلث " المتحور. مثلث يمتد خارج حافة الورقة ويحتوي داخله على حلقة من المثلثات اللانهائية.

لذا، في المرة القادمة التي تحل فيها مسألة هندسية وتصادف حافة، حاول رسمها حتى الحافة. من يدري، قد تكتشف شيئًا جديدًا.

المصدر: Sciencealert، Sciencenews، Tandfonline

المصدر: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm