برسم مثلث يتجاوز حافة الورقة، يثبت طالبان بشكل غير متوقع نظرية رياضية عمرها 2500 عام

والأمر المميز هو أن أحداً لم يتمكن من إثبات النظرية بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

في المدرسة الثانوية، كان يتعين علينا جميعًا حل مسائل الهندسة المكانية. وبمجرد حل مسألة هندسية، فمن المؤكد أن الجميع واجهوا هذا الموقف مرة واحدة على الأقل: أثناء رسم شكل ما، ينفد الورق.

تتضمن كل هذه الحالات مثلثًا "متحورًا"، له ضلعان طويلان بشكل غير عادي، بحيث حتى لو تم رسمهما حتى حافة الورقة، فإنهما لا يتقاطعان. في هذه الحالة كيف ستتعامل معها؟

صورة توضيحية.

سيستمر بعض الطلاب - المبدعين جدًا - في رسم الصورة إلى بُعد آخر، وهو الجزء الخلفي من الورقة. سيقوم آخرون بأخذ ورقة أخرى ووضعها أسفل الورقة القديمة لمواصلة الرسم لإكمال الشكل. أو إذا كان الوضع عاجلاً للغاية، يمكنك رسم مثلث عائم على الطاولة.

ومع ذلك، قد يتساءل بعض الناس: لماذا يتعين علينا أن نستمر في رسم هذا المثلث "المتحور" بعناد؟ فقط قم بالرسم حتى ينفد الورق، ثم توقف. حتى لو لم ترسم الشكل كاملا على الورقة، فإن الحل الخاص بك بالتأكيد ليس صحيحا.

لكن دراسة جديدة نشرت في مجلة American Mathematical Monthly ستجعلهم يفكرون مرة أخرى. في بعض الأحيان، قد يخفي الجزء المثلث خارج الورقة ألغازًا رياضية غير متوقعة.

على وجه التحديد في هذه الحالة، مع مثلث "متحور"، وجد طالبان في المدرسة الثانوية في الولايات المتحدة طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس، والتي كانت تعتبر "مستحيلة" لمدة تزيد على 2500 عام، منذ أن تم ذكرها.

صورة توضيحية.

لم يتمكن أحد من إثبات نظرية فيثاغورس بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

تمت تسمية نظرية فيثاغورس على اسم عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس (570-495 قبل الميلاد)، الذي أثبتها لأول مرة، على الرغم من وجود أدلة على أن علماء الرياضيات في الحضارات القديمة الأخرى مثل بابل والهند وبلاد ما بين النهرين والصين اكتشفوها بشكل مستقل أيضًا:

أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي دائمًا مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. إذا كان للمثلث القائم الزاوية ضلعان طولهما أ و ب، وكان الوتر هو ج، فإن نظرية فيثاغورس تُعبر عنها بالصيغة التالية:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

لو لم تكن هناك نظرية فيثاغورس، لما تمكن المصريون القدماء من بناء الأهرامات.

يبدو الأمر وكأنه صيغة بسيطة، ولكن بدون معرفة نظرية فيثاغورس، لم يكن المصريون القدماء قادرين على بناء الأهرامات، ولما كان البابليون قادرين على حساب مواقع النجوم، ولما كان الصينيون قادرين على تقسيم الأرض.

كما وضعت هذه النظرية الأساس للعديد من مدارس الرياضيات مثل الهندسة الصلبة والهندسة غير الإقليدية والهندسة التفاضلية - والتي بدونها، أو إذا ثبت خطأها، فإن فرع الهندسة في الرياضيات المعروف للبشرية اليوم بأكمله تقريبًا سوف ينهار.

لذلك فإن إثبات صحة نظرية فيثاغورس يعد مهمة بالغة الأهمية. ولذلك، في وقت مبكر يعود إلى عام 500 قبل الميلاد، تولى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس هذه المهمة وصنع لنفسه اسماً لأول مرة في التاريخ.

لقد أثبت نظرية فيثاغورس باستخدام طريقة بسيطة للغاية:

صورة توضيحية.

ارسم مربعًا بطول ضلعه a+b. ثم، في كل زاوية، استمر في رسم 4 مثلثات متساوية، مع الأضلاع أ و ب. هذه المثلثات هي مثلثات قائمة متساوية، مع وتر c ومعاً تشكل مساحة داخل مربع مساحته c ² .

وبعد ذلك، وببساطة عن طريق إعادة ترتيب مواقع تلك المثلثات الأربعة، أنشأ فيثاغورس مساحتين جديدتين، وهما مربعان لهما ضلعان أ و ب. المساحة الكلية للفضائين هي a ² + b ² ، والتي بالطبع يجب أن تكون مساوية للمساحة الأصلية c ² .

هذا هو الدليل الذي ستجده في كتاب الرياضيات للصف السابع في المدرسة المتوسطة. ولكن هناك طريقة أخرى لإثبات نظرية فيثاغورس والتي ربما لم تتعلمها. كان هذا هو الحل الذي توصل إليه ألبرت أينشتاين عندما كان عمره 11 عامًا فقط.

أدرك أينشتاين بعد ذلك أنه إذا خفض الارتفاع AD عموديًا على الوتر BC للمثلث القائم الزاوية ABC، فإنه سيحصل على مثلثين قائمين مماثلين للمثلث القائم الزاوية ABC. الآن، بمجرد رسم مربعات خارج المثلث القائم ABC بحيث تكون أضلاعها هي كل ضلع من أضلاعه، سيحصل أينشتاين على 3 مربعات بمساحات تساوي a ² وb ² وc ² .

نظرًا لأن نسبة مساحة المثلث القائم الزاوية إلى مساحة المربع على وتره هي نفسها في المثلثات المتشابهة، فسيكون لدينا أيضًا 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

صورة توضيحية.

ومع ذلك، فهذه مجرد اثنتين من 370 دليلاً على نظرية فيثاغورس التي اكتشفها علماء الرياضيات على مدى 2500 عام الماضية. من خلال استخدام الجبر وحساب التفاضل والتكامل إلى القطع الهندسية المختلفة، يمكن إثبات صحة هذه النظرية الرياضية باستخدام أساليب تتراوح من السهلة إلى المعقدة.

ومع ذلك، في كل هذه الحلول، لا يوجد دليل باستخدام الصيغ المثلثية. وبما أن فيثاغورس نفسه هو نظرية أساسية في علم المثلثات، فإن إثباته باستخدام علم المثلثات من شأنه أن يقودنا إلى فخ المغالطة المنطقية، والتي تسمى التفكير الدائري، عندما نستخدم نظرية فيثاغورس نفسها لإثبات نظرية فيثاغورس.

لقد فشل علماء الرياضيات مرارا وتكرارا في هذه المهمة، لدرجة أنه في عام 1927، صاح عالم الرياضيات الأمريكي إليشا لوميس: " لا توجد طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس من خلال علم المثلثات لأن جميع الصيغ المثلثية الأساسية يجب أن تعتمد على صحة نظرية فيثاغورس".

ولكن كما اتضح، كان إليشا لوميس مخطئا.

وبعد مرور ما يقرب من مائة عام، وجد طالبان في المدرسة الثانوية طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس باستخدام علم المثلثات.

في دراسة جديدة نشرت في مجلة American Mathematical Monthly، قدم الطالبان نيكيا جاكسون وكالسيا جونسون من أكاديمية سانت ماري في كولورادو ليس دليلاً واحدًا بل عشرة إثباتات لنظرية فيثاغورس باستخدام علم المثلثات.

نيكيا جاكسون (يسار) وكالسيا جونسون (يمين).

لكي نتمكن من القيام بذلك، استخدم جاكسون وجونسون المثلث القائم ABC كالمعتاد. " يبدأ دليلنا الأول بقلب المثلث ABC على ضلعه AC لتشكيل مثلث متساوي الساقين ABB' "، كما كتب الثنائي في ورقتهما البحثية.

في الخطوة التالية، سيقومون بإنشاء مثلث قائم الزاوية AB'D، عن طريق تمديد الضلع AB إلى النقطة D بحيث يمكنهم إسقاط عمودي على B'A من D.

في هذه المرحلة، تأكد من أن لديك ما يكفي من الورق، لأن AB'D عبارة عن مثلث ذو ضلع طويل بشكل غير عادي، ومن المرجح أن تبرز النقطة D خارج حافة الورقة.

ثم من النقطة B، ستسقط عموديًا على BB'، قاطعًا B'D عند E. ثم من E، ستسقط عموديًا لقطع AD عند F... وهكذا إلى ما لا نهاية، ستحصل على عدد لا يحصى من المثلثات المتشابهة التي يكون مجموع مساحاتها مساويًا لمساحة المثلث AB'D:

الآن النقطة المهمة:

وجد جاكسون وجونسون أنه بما أن طول BB' هو 2a والمثلث B'EB مشابه للمثلث ABC، فيمكنهما حساب طول الضلع BE ليكون 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . وبالتالي، يمكن حساب الحواف FG وGH بواسطة 2a ⁴ c/b ⁴ و2a ⁶ c/b ⁶ …

ومن ثم فإن طول الوتر AD سيكون مساويًا لمجموع قطع المستقيم:

في المثلث AB'D، لدينا:

ومن الصيغتين أعلاه، نحصل على المعادلة:

حيث أن استخدام مجموع المتسلسلة المتقاربة الأساسية هو:

بعد نشرها مباشرة، جذبت إثبات جاكسون وجونسون لنظرية فيثاغورس اهتمام علماء الرياضيات، بما في ذلك ألفارو لوزانو روبليدو، من جامعة كونيتيكت.

" لقد بدا مختلفًا عن أي شيء رأيته من قبل"، قال لوزانو روبليدو. إن فكرة ملء مثلث كبير بعدد لا نهائي من المثلثات الأصغر ثم حساب أطوال أضلاعه باستخدام متسلسلة متقاربة هي ابتكار غير متوقع لطالب في المدرسة الثانوية.

عالم الرياضيات ألفارو لوزانو روبليدو من جامعة كونيتيكت يشيد بنيكيا جاكسون وكالسيا جونسون.

" يعتقد بعض الناس أن على الشخص أن يقضي سنوات في الأوساط الأكاديمية أو معاهد الأبحاث لحل مشكلة جديدة "، كما يقول لوزانو روبليدو. " ولكن هذا الحل يثبت أنه يمكن القيام بذلك حتى عندما تكون في المدرسة الثانوية."

ولم يثبت جاكسون وجونسون نظرية فيثاغورس بطريقة جديدة تماما فحسب، بل قالا إن حلهما أكد أيضا على حدود دقيقة لمفهوم علم المثلثات.

قد لا يدرك طلاب المرحلة الثانوية وجود نسختين من علم المثلثات مرتبطتين بنفس المصطلح. في هذه الحالة، تُشبه محاولة فهم علم المثلثات محاولة فهم صورة مطبوعة عليها صورتان مختلفتان .

الحل المدهش لنظرية فيثاغورس جاء من جاكسون وجونسون، حيث قاما بفصل هذين الاختلافين المثلثيين واستخدام قانون أساسي آخر في علم المثلثات، وهو قانون الجيب. بهذه الطريقة، تجنب الثنائي الدوائر المفرغة التي واجهها علماء الرياضيات السابقون، بما في ذلك إليشا لوميس، عندما حاولوا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام نظرية فيثاغورس نفسها.

لم يتمكن أحد من إثبات نظرية فيثاغورس بهذه الطريقة، حتى ألبرت أينشتاين.

وقال ديلا دومبو، رئيس تحرير مجلة American Mathematical Monthly: "لقد لفتت نتائجهم انتباه الطلاب الآخرين إلى منظور جديد واعد ". تعليق.

ويقول لوزانو روبليدو: " سوف يفتح هذا أيضًا العديد من المحادثات الرياضية الجديدة ". " وهذا هو الوقت الذي يمكن فيه لعلماء الرياضيات الآخرين استخدام هذه الورقة لتعميم هذا الدليل، أو تعميم أفكارهم، أو ببساطة استخدام هذه الفكرة بطرق أخرى."

يمكننا أن نرى أن أرضًا جديدة في الرياضيات قد فتحت بعد أن رسم جاكسون وجونسون " المثلث " المتحور. يحتوي المثلث الممتد من حافة الورقة على حلقة لا نهاية لها من المثلثات.

لذا في المرة القادمة عندما تحاول حل مسألة هندسية وتواجه حافة، حاول رسمها بالكامل. ومن يدري، ربما تكتشف شيئًا جديدًا.

المصدر: Sciencealert، Sciencenews، Tandfonline

المصدر: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm