কাগজের প্রান্ত বরাবর একটি ত্রিভুজ আঁকতে গিয়ে, দুই ছাত্র অপ্রত্যাশিতভাবে ২,৫০০ বছরের পুরনো একটি গাণিতিক উপপাদ্য প্রমাণ করে

[বিজ্ঞাপন_১]

বিশেষ ব্যাপার হলো, কেউ কখনও এই উপপাদ্যটি এভাবে প্রমাণ করতে পারেননি, এমনকি আলবার্ট আইনস্টাইনও নন।

উচ্চমাধ্যমিকে আমাদের সকলকেই জ্যামিতির সমস্যা সমাধান করতে হয়েছে। আর জ্যামিতির সমস্যা সমাধান করার পর, আমরা সকলেই অন্তত একবার এই পরিস্থিতির মুখোমুখি হয়েছি: চিত্র আঁকতে গিয়ে, আমাদের কাগজ শেষ হয়ে যায়।

এই ধরণের সকল ক্ষেত্রেই একটি "পরিবর্তিত" ত্রিভুজ জড়িত, যার দুটি বাহু অস্বাভাবিকভাবে লম্বা, যাতে সেগুলিকে ছেদ না করে কাগজের প্রান্ত পর্যন্ত টানা যায়। আপনি এই পরিস্থিতি কীভাবে মোকাবেলা করবেন?

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 1. — চিত্রের ছবি।

কিছু শিক্ষার্থী—খুব সৃজনশীলভাবে—কাগজের অন্য দিকে, অর্থাৎ কাগজের পিছনের দিকে আকৃতি আঁকতে থাকবে। অন্যরা আরেকটি কাগজের শীট নেবে এবং আকৃতিটি সম্পূর্ণ করার জন্য প্রথমটির নীচে রাখবে। অথবা, যদি আপনার সমস্যা হয়, তাহলে আপনি টেবিলের উপর ভাসমান ত্রিভুজটি আঁকতে পারেন।

তবে, কিছু লোক ভাববে: কেন তুমি সেই "পরিবর্তিত" ত্রিভুজটি আঁকতে জোর করছো? কাগজ শেষ না হওয়া পর্যন্ত আঁকতে থাকো, তারপর থামো। এমনকি যদি তুমি কাগজে পুরো আকৃতিটি নাও আঁক, তবুও তোমার সমাধানটি অবশ্যই সঠিক নয়।

কিন্তু আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি জার্নালে প্রকাশিত একটি নতুন গবেষণা এখন তাদের আবার ভাবতে বাধ্য করবে। কখনও কখনও, কাগজের বাইরের ত্রিভুজগুলি অপ্রত্যাশিত গাণিতিক রহস্য লুকিয়ে রাখতে পারে।

বিশেষ করে এই ক্ষেত্রে, একটি "মিউট্যান্ট" ত্রিভুজ নিয়ে, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের দুই উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্র পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছে, যা একসময় ২,৫০০ বছরেরও বেশি সময় ধরে "অসম্ভব" বলে বিবেচিত হয়েছিল, যেহেতু এটি বলা হয়েছিল।

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 2. — চিত্রের ছবি।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কেউ কখনও এভাবে প্রমাণ করতে পারেনি, এমনকি আলবার্ট আইনস্টাইনও না।

পিথাগোরীয় উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাসের (খ্রিস্টপূর্ব ৫৭০-৪৯৫) নামানুসারে, যিনি প্রথম এটি প্রমাণ করেছিলেন, যদিও প্রমাণ রয়েছে যে ব্যাবিলন, ভারত, মেসোপটেমিয়া এবং চীনের মতো অন্যান্য প্রাচীন সভ্যতার গণিতবিদরাও স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার করেছিলেন :

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ সর্বদা অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b হয় এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য c হয়, তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

𝑐 ^২ = 𝑎 ^২ + 𝑏 ^২

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 3. — যদি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য না থাকত, তাহলে প্রাচীন মিশরীয়রা পিরামিড তৈরি করতে পারত না।

এটা একটা সহজ সূত্র বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য না জানলে, প্রাচীন মিশরীয়রা পিরামিড তৈরি করতে পারত না, ব্যাবিলনীয়রা তারার অবস্থান গণনা করতে পারত না এবং চীনারা ভূমি ভাগ করতে পারত না।

এই উপপাদ্যটি গণিতের অনেক শাখার ভিত্তি স্থাপন করেছিল, যেমন কঠিন জ্যামিতি, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি - যা ছাড়া, অথবা যদি এটি ভুল প্রমাণিত হয়, তাহলে আজ মানবজাতির জানা গণিতের জ্যামিতির প্রায় পুরো শাখাটিই ভেঙে পড়ত।

তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করা ছিল একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কাজ। ৫০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দের প্রথম দিকে, প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাস এই কাজটি হাতে নিয়েছিলেন এবং প্রথমবারের মতো ইতিহাসে নিজের নাম লিখিয়েছিলেন।

তিনি খুব সহজ পদ্ধতি ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 4. — চিত্রের ছবি।

a+b বাহুর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন। তারপর, প্রতিটি কোণে, a এবং b বাহু বিশিষ্ট 4টি সমান ত্রিভুজ আঁকতে থাকুন। এই ত্রিভুজগুলি সমান সমকোণী ত্রিভুজ, কর্ণ c সহ এবং একসাথে বর্গক্ষেত্রের ভিতরে ক্ষেত্রফল c ² সহ একটি স্থান তৈরি করুন।

তারপর, সেই ৪টি ত্রিভুজের অবস্থান পুনর্বিন্যাস করে, পিথাগোরাস দুটি নতুন স্থান তৈরি করেছিলেন যা ছিল দুটি বর্গক্ষেত্র যার বাহু a এবং b ছিল। এই দুটি স্থানের মোট ক্ষেত্রফল ছিল a ² + b ² , যা অবশ্যই মূল স্থান c ² এর সমান হতে হয়েছিল।

এই প্রমাণ তুমি তোমার মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের ৭ম শ্রেণীর গণিত পাঠ্যপুস্তকে পাবে। কিন্তু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আরেকটি প্রমাণ আছে যা তুমি হয়তো শিখেছ না। এটি হলো সেই সমাধান যা আলবার্ট আইনস্টাইন ১১ বছর বয়সে আবিষ্কার করেছিলেন।

আইনস্টাইন তখন বুঝতে পারলেন যে যদি তিনি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর কর্ণের BC এর লম্ব উচ্চতা AD নামিয়ে দেন, তাহলে তিনি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর অনুরূপ 2টি সমকোণী ত্রিভুজ পাবেন। এখন, কেবলমাত্র সমকোণী ত্রিভুজের বাইরে ABC বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, আইনস্টাইন 3টি বর্গক্ষেত্র পাবেন যার ক্ষেত্রফল a ² , b ² এবং c ² এর সমান হবে।

যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং তার কর্ণের উপর অবস্থিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত একই রকম ত্রিভুজের ক্ষেত্রে একই, তাই আমাদের কাছে 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² ও থাকবে।

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 5. — চিত্রের ছবি।

তবে, গত ২,৫০০ বছরে গণিতবিদরা যে ৩৭০টি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য খুঁজে পেয়েছেন তার মধ্যে এটি মাত্র দুটি। বীজগণিত, ক্যালকুলাস ব্যবহার থেকে শুরু করে বিভিন্ন জ্যামিতিক কাট পর্যন্ত, এই গাণিতিক উপপাদ্যকে সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সত্য প্রমাণ করা যেতে পারে।

তবে, এই সমস্ত সমাধানের ক্ষেত্রে, ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে কোনও প্রমাণ নেই। যেহেতু পিথাগোরাস নিজেই ত্রিকোণমিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, তাই ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে এটি প্রমাণ করা আমাদেরকে যৌক্তিক ভ্রান্তির ফাঁদে ফেলবে, যাকে বলা হয় বৃত্তাকার চিন্তাভাবনা, যখন আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য নিজেই পাইথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করি।

গণিতবিদরা এই কাজে বারবার ব্যর্থ হয়েছেন, এতটাই যে ১৯২৭ সালে আমেরিকান গণিতবিদ এলিশা লুমিস চিৎকার করে বলেছিলেন: " ত্রিকোণমিতি দিয়ে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করার কোনও উপায় নেই কারণ সমস্ত মৌলিক ত্রিকোণমিতি সূত্র অবশ্যই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সঠিকতার উপর নির্ভর করবে।"

কিন্তু দেখা যাচ্ছে, এলিশা লুমিস ভুল ছিলেন।

প্রায় ১০০ বছর পর, এই দুই উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্র ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছে।

আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি জার্নালে প্রকাশিত একটি নতুন গবেষণায় , কলোরাডোর সেন্ট মেরি'স একাডেমি হাই স্কুলের দুই শিক্ষার্থী, নে'কিয়া জ্যাকসন এবং ক্যালসিয়া জনসন , ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে পাইথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি নয়, ১০টি উপায় উপস্থাপন করেছেন।

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 6. — নে'কিয়া জ্যাকসন (বামে) এবং ক্যালসিয়া জনসন (ডানে)।

এটি করতে সক্ষম হতে, জ্যাকসন এবং জনসন যথারীতি একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC ব্যবহার করেছিলেন। " আমাদের প্রথম প্রমাণ শুরু হয় ত্রিভুজ ABC কে তার পার্শ্ব AC এর উপর উল্টিয়ে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABB তৈরি করার মাধ্যমে ," এই জুটি গবেষণাপত্রে লিখেছেন।

পরবর্তী ধাপে, তারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ AB'D তৈরি করবে, যার বাহু AB কে D বিন্দু পর্যন্ত প্রসারিত করবে যাতে D থেকে তারা B'A তে একটি লম্ব বিন্দু নামাতে পারে।

এই মুহুর্তে, নিশ্চিত করুন যে আপনার কাছে পর্যাপ্ত কাগজ আছে, কারণ AB'D হল একটি ত্রিভুজ যার একটি অস্বাভাবিক লম্বা বাহু এবং বিন্দু D সম্ভবত আপনার কাগজের প্রান্তের বাইরে লাফিয়ে বেরিয়ে আসবে।

তারপর, বিন্দু B থেকে, আপনি BB'-তে একটি লম্ব রাখবেন, E-তে B'D কেটে ফেলবেন। তারপর E থেকে, F-তে AD কেটে ফেলবেন... এবং এভাবে অনির্দিষ্টকালের জন্য, আপনি অসীম সংখ্যক অনুরূপ ত্রিভুজ পাবেন যাদের সম্মিলিত ক্ষেত্রফল AB'D ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 7.

এখন গুরুত্বপূর্ণ বিষয়:

জ্যাকসন এবং জনসন আবিষ্কার করেছেন যে যেহেতু BB' এর দৈর্ঘ্য 2a এবং ত্রিভুজ B'EB ত্রিভুজ ABC এর অনুরূপ, তাই তারা BE এর বাহুর দৈর্ঘ্য 2a ² /b হিসাবে গণনা করতে পারেন। BF=2A ² c/b ^2। সুতরাং, FG, GH বাহুগুলিকে 2a ⁴ c/b ⁴ এবং 2a ⁶ c/b ⁶ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে ...

তাহলে, অতিভুজের AD এর দৈর্ঘ্য রেখাংশগুলির যোগফলের সমান হবে:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 8.

ত্রিভুজ AB'D-তে, আমাদের আছে:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 9.

উপরের দুটি সূত্র থেকে আমরা সমীকরণটি পাই:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 10.

যেখানে, একটি মৌলিক অভিসারী ধারার যোগফল ব্যবহার করা হল:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 11.

প্রকাশের পরপরই, জ্যাকসন এবং জনসনের পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ কানেকটিকাট বিশ্ববিদ্যালয়ের আলভারো লোজানো-রোবলেডো সহ গণিতবিদদের আকৃষ্ট করে।

" এটা এমন কিছুর মতো মনে হচ্ছিল যা আমি আগে কখনও দেখিনি," লোজানো-রোবলেডো বললেন। একটি বৃহৎ ত্রিভুজকে অসীমভাবে অনেক ছোট ত্রিভুজ দিয়ে পূর্ণ করার এবং তারপর একটি অভিসারী সিরিজ ব্যবহার করে এর বাহুর দৈর্ঘ্য গণনা করার ধারণাটি একজন উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর জন্য একটি অপ্রত্যাশিত উদ্ভাবন ছিল।

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 12. — কানেকটিকাট বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ আলভারো লোজানো-রোবলেডো নে'কিয়া জ্যাকসন এবং ক্যালসিয়া জনসনের প্রশংসা করেছেন।

" কিছু লোক মনে করে যে নতুন সমস্যা সমাধানের জন্য কাউকে বছরের পর বছর স্কুল বা গবেষণা প্রতিষ্ঠানে থাকতে হবে ," লোজানো-রোবলেডো বলেন। " কিন্তু এটি প্রমাণ করে যে উচ্চ বিদ্যালয়ে থাকাকালীনই এটি করা যেতে পারে।"

তারা বলেন, জ্যাকসন এবং জনসন কেবল পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সম্পূর্ণ নতুন উপায়ে প্রমাণ করেননি, তাদের সমাধান ত্রিকোণমিতির ধারণার একটি ভঙ্গুর সীমানাকেও জোর দিয়েছিল।

" উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা হয়তো বুঝতে পারে না যে একই শব্দটির সাথে ত্রিকোণমিতির দুটি সংস্করণ যুক্ত রয়েছে। সেক্ষেত্রে, ত্রিকোণমিতি বোঝার চেষ্টা করা হল একটি ছবি বোঝার চেষ্টা করার মতো যেখানে দুটি ভিন্ন ছবি একে অপরের উপরে মুদ্রিত আছে ," তারা বলে।

জ্যাকসন এবং জনসন এই দুটি ত্রিকোণমিতিক বৈচিত্র্যকে পৃথক করে ত্রিকোণমিতির আরেকটি মৌলিক সূত্র, সাইনের সূত্র ব্যবহার করে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আশ্চর্যজনক সমাধানটি পেয়েছিলেন । এইভাবে, এই জুটি পূর্ববর্তী গণিতবিদদের, যেমন এলিশা লুমিস, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করার সময় যে দুষ্ট চক্রের মুখোমুখি হয়েছিলেন তা এড়িয়ে চলেন।

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 13. — পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কেউ কখনও এভাবে প্রমাণ করতে পারেনি, এমনকি আলবার্ট আইনস্টাইনও না।

"তাদের ফলাফল অন্যান্য শিক্ষার্থীদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে একটি নতুন এবং আশাব্যঞ্জক দৃষ্টিভঙ্গির দিকে ," আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলির প্রধান সম্পাদক ডেলা ডাম্বো বলেন। মন্তব্য করুন।

" এটি অনেক নতুন গাণিতিক কথোপকথনের দ্বার উন্মোচন করবে ," লোজানো-রোবলেডো বলেন। " সেই সময় অন্যান্য গণিতবিদরা এই গবেষণাপত্রটি ব্যবহার করে প্রমাণকে সাধারণীকরণ করতে, তাদের ধারণাগুলিকে সাধারণীকরণ করতে, অথবা কেবল সেই ধারণাটিকে অন্য উপায়ে ব্যবহার করতে পারেন।"

জ্যাকসন এবং জনসন মিউট্যান্ট " ত্রিভুজ " আঁকার পর গণিতে একটি নতুন ক্ষেত্র উন্মোচিত হয়েছিল বলে দেখা যায়। কাগজের প্রান্তের বাইরে বিস্তৃত একটি ত্রিভুজের ভিতরে অসীম ত্রিভুজের একটি লুপ রয়েছে।

তাই পরের বার যখন তুমি কোন জ্যামিতি সমস্যা সমাধান করার সময় কোন প্রান্তের মুখোমুখি হবে, তখন এটিকে একেবারে প্রান্তের দিকে টেনে দেখার চেষ্টা করো। কে জানে, তুমি হয়তো একটা আবিষ্কার করতে পারো।

সূত্র: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

[বিজ্ঞাপন_২]
সূত্র: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm