En dessinant un triangle qui déborde du bord du papier, 2 étudiants prouvent de manière inattendue un théorème mathématique vieux de 2 500 ans

Ce qui est particulier, c'est que personne n'a jamais prouvé le théorème de cette manière, pas même Albert Einstein.

Au lycée, nous devions tous résoudre des problèmes de géométrie spatiale. Et une fois que vous avez résolu un problème de géométrie, tout le monde a au moins une fois rencontré cette situation : en dessinant une forme, vous tombez à court de papier.

Tous ces cas impliquent un triangle « mutant », avec deux côtés inhabituellement longs, de sorte que même s'ils sont dessinés jusqu'au bord du papier, ils ne se croisent toujours pas. Dans cette situation, comment la géreriez-vous ?

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Certains élèves – très créatifs – continueront à dessiner l’image dans une autre dimension, qui est le dos du papier. D'autres prendront une autre feuille de papier et la placeront sous l'ancienne feuille pour continuer à dessiner afin de compléter la forme. Ou si la situation est trop urgente, vous pouvez dessiner un triangle flottant sur la table.

Cependant, certains diront : pourquoi devons-nous obstinément dessiner ce triangle « mutant » ? Dessinez jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de papier, puis arrêtez. Même si vous ne dessinez pas la forme entière sur le papier, votre solution n'est certainement pas correcte.

Mais une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly va maintenant les faire réfléchir à nouveau. Parfois, la partie triangulaire à l’extérieur du papier peut cacher des mystères mathématiques inattendus.

Plus précisément dans ce cas, avec un triangle « mutant », deux lycéens aux États-Unis ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore, qui était autrefois considéré comme « impossible » pendant plus de 2 500 ans, depuis qu'il a été énoncé.

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Personne n’a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette façon, pas même Albert Einstein.

Le théorème de Pythagore doit son nom au mathématicien grec Pythagore (570-495 av. J.-C.), qui l'a prouvé le premier, bien qu'il existe des preuves que des mathématiciens d'autres civilisations anciennes telles que Babylone, l'Inde, la Mésopotamie et la Chine l'ont également découvert indépendamment :

Que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si un triangle rectangle a deux côtés de longueur a et b, et que l'hypoténuse est c, alors le théorème de Pythagore s'exprime par la formule :

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

S’il n’y avait pas eu le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n’auraient pas pu construire les pyramides.

Cela semble être une formule simple, mais sans connaître le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n'auraient pas pu construire les pyramides, les Babyloniens n'auraient pas pu calculer la position des étoiles et les Chinois n'auraient pas pu diviser le territoire.

Ce théorème a également jeté les bases de nombreuses écoles de mathématiques telles que la géométrie solide, la géométrie non euclidienne et la géométrie différentielle - sans lesquelles, ou s'il s'avérait faux, presque toute la branche de la géométrie des mathématiques connue de l'humanité aujourd'hui s'effondrerait.

Prouver que le théorème de Pythagore est vrai est donc une tâche très importante. C'est ainsi que, dès 500 avant J.-C., le mathématicien grec Pythagore s'attaqua à cette tâche et se fit connaître pour la première fois dans l'histoire.

Il a prouvé le théorème de Pythagore en utilisant une méthode très simple :

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Dessinez un carré dont les côtés ont pour longueur a+b. Ensuite, à chaque coin, continuez à dessiner 4 triangles égaux, avec les côtés a et b. Ces triangles sont tous des triangles rectangles égaux, avec une hypoténuse c et créent ensemble un espace à l'intérieur d'un carré d'aire c ² .

Ensuite, en réorganisant simplement les positions de ces quatre triangles, Pythagore a créé deux nouveaux espaces, qui étaient deux carrés avec des côtés a et b. L'aire totale des deux espaces est a ² + b ² , qui doit bien sûr être égale à l'espace d'origine c ² .

C'est la preuve que vous trouverez dans un manuel de mathématiques de 7e année au collège. Mais il existe une autre façon de prouver le théorème de Pythagore que vous n’avez peut-être pas apprise. C’est la solution qu’Albert Einstein a trouvée alors qu’il n’avait que 11 ans.

Einstein réalisa alors que s'il laissait tomber une altitude AD perpendiculaire à l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC, il obtiendrait 2 triangles rectangles semblables au triangle rectangle ABC. Maintenant, simplement en dessinant à l'extérieur du triangle rectangle ABC des carrés dont les côtés sont chacun de ses côtés, Einstein obtiendra 3 carrés avec des aires égales à a ² , b ² et c ² .

Comme le rapport de l'aire d'un triangle rectangle à l'aire d'un carré sur son hypoténuse est le même pour les triangles semblables, nous aurons également 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Cependant, ce ne sont là que deux des 370 preuves du théorème de Pythagore que les mathématiciens ont trouvées au cours des 2 500 dernières années. En utilisant l'algèbre, le calcul et diverses coupes géométriques, ce théorème mathématique peut être prouvé vrai en utilisant des méthodes allant de simples à complexes.

Cependant, dans toutes ces solutions, il n’y a aucune preuve utilisant des formules trigonométriques. Étant donné que Pythagore lui-même est un théorème fondamental en trigonométrie, le prouver en utilisant la trigonométrie nous conduirait dans un piège d'erreur logique, appelé pensée circulaire, lorsque nous utilisons le théorème de Pythagore lui-même pour prouver le théorème de Pythagore.

Les mathématiciens ont échoué à plusieurs reprises dans cette tâche, à tel point qu'en 1927, le mathématicien américain Elisha Loomis s'est exclamé : « Il n'y a aucun moyen de prouver le théorème de Pythagore par la trigonométrie, car toutes les formules trigonométriques de base doivent s'appuyer sur l'exactitude du théorème de Pythagore. »

Mais il s’avère qu’Elisha Loomis avait tort.

Près de 100 ans plus tard, ces deux lycéens ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore en utilisant la trigonométrie.

Dans une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly, deux étudiants, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson de la St. Mary's Academy du Colorado, ont présenté non pas une mais dix preuves du théorème de Pythagore en utilisant la trigonométrie.

Ne'Kiya Jackson (à gauche) et Calcea Johnson (à droite).

Pour pouvoir faire cela, Jackson et Johnson ont utilisé un triangle rectangle ABC comme d'habitude. « Notre première preuve commence par retourner le triangle ABC sur son côté AC pour former un triangle isocèle ABB' », ont écrit le duo dans l'article.

Dans l'étape suivante, ils construiront un triangle rectangle AB'D, en prolongeant le côté AB jusqu'au point D de sorte qu'à partir de D, ils puissent tracer une perpendiculaire à B'A.

À ce stade, assurez-vous d'avoir suffisamment de papier, car AB'D est un triangle avec un côté inhabituellement long et le point D dépassera très probablement du bord de votre papier.

Ensuite, à partir du point B, vous tracerez une perpendiculaire à BB', coupant B'D en E. Puis à partir de E, tracez une perpendiculaire pour couper AD en F... Et ainsi de suite jusqu'à l'infini, vous obtiendrez d'innombrables triangles semblables dont les aires cumulées sont égales à l'aire du triangle AB'D :

Maintenant le point important :

Jackson et Johnson ont découvert que puisque BB' a une longueur de 2a et que le triangle B'EB est semblable au triangle ABC, ils pouvaient calculer la longueur du côté BE comme étant 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Ainsi, les arêtes FG, GH peuvent être calculées par 2a ⁴ c/b ⁴ et 2a ⁶ c/b ⁶ …

Alors, la longueur de l'hypoténuse AD sera égale à la somme des segments de droite :

Dans le triangle AB'D, nous avons :

À partir des deux formules ci-dessus, nous obtenons l'équation :

Dans lequel, en utilisant la somme d'une série convergente de base, on obtient :

Immédiatement après sa publication, la preuve du théorème de Pythagore par Jackson et Johnson a attiré des mathématiciens, dont Álvaro Lozano-Robledo, de l'Université du Connecticut.

« Cela ne ressemblait à rien de ce que j’avais vu auparavant », a déclaré Lozano-Robledo. L’idée de remplir un grand triangle avec une infinité de triangles plus petits, puis de calculer les longueurs de ses côtés à l’aide d’une série convergente est une innovation inattendue pour un lycéen.

Le mathématicien Álvaro Lozano-Robledo de l'Université du Connecticut fait l'éloge de Ne'Kiya Jackson et de Calcea Johnson.

« Certaines personnes pensent qu’il faut passer des années dans le milieu universitaire ou dans des instituts de recherche pour résoudre un nouveau problème », explique Lozano-Robledo. « Mais cette solution prouve que cela peut être fait même lorsque vous êtes au lycée. »

Non seulement Jackson et Johnson ont prouvé le théorème de Pythagore d'une manière complètement nouvelle, mais leur solution a également souligné une limite délicate du concept de trigonométrie, ont-ils déclaré.

« Les lycéens ne se rendent peut-être pas compte qu'il existe deux versions de la trigonométrie associées au même terme. Dans ce cas, essayer de comprendre la trigonométrie revient à essayer de comprendre une image composée de deux images différentes superposées », expliquent-ils.

La solution surprenante au théorème de Pythagore est venue de Jackson et Johnson en séparant ces deux variations trigonométriques et en utilisant une autre loi fondamentale de la trigonométrie, la loi des sinus. De cette façon, le duo a évité les cercles vicieux que les mathématiciens précédents, dont Elisha Loomis, ont rencontrés lorsqu’ils ont essayé de prouver le théorème de Pythagore en utilisant le théorème de Pythagore lui-même.

Personne n’a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette façon, pas même Albert Einstein.

« Leurs résultats ont attiré l’attention d’autres étudiants sur une perspective nouvelle et prometteuse », a déclaré Della Dumbaugh, rédacteur en chef de l’American Mathematical Monthly. commentaire.

« Cela ouvrira également de nombreuses nouvelles conversations mathématiques », déclare Lozano-Robledo. « C'est à ce moment-là que d'autres mathématiciens peuvent utiliser cet article pour généraliser cette preuve, généraliser leurs idées ou simplement utiliser cette idée d'autres manières. »

On peut voir qu'un nouveau territoire dans les mathématiques s'est ouvert après que Jackson et Johnson ont dessiné le mutant « triangle ». Un triangle s'étendant depuis le bord du papier contient une boucle de triangles sans fin.

Donc, la prochaine fois que vous résolvez un problème de géométrie et que vous tombez sur une arête, essayez de la dessiner jusqu'au bout. Qui sait, vous pourriez bien faire une nouvelle découverte.

Source : Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Source : https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm