En dessinant un triangle qui déborde du bord du papier, deux étudiants prouvent de manière inattendue un théorème mathématique vieux de 2 500 ans

Ce qui est particulier, c'est que personne n'a jamais prouvé le théorème de cette manière, pas même Albert Einstein.

Au lycée, nous avons tous dû résoudre des problèmes de géométrie. Et après avoir résolu des problèmes de géométrie, nous avons tous rencontré cette situation au moins une fois : en dessinant une figure, nous sommes tombés à court de papier.

Tous ces cas impliquent un triangle « mutant », avec deux côtés inhabituellement longs, de sorte que, quelle que soit la distance à laquelle on les dessine, ils ne se coupent toujours pas. Comment géreriez-vous cette situation ?

Photo d'illustration.

Certains élèves, très créatifs, continueront à dessiner la forme dans une autre dimension, le verso de la feuille. D'autres prendront une autre feuille et la placeront sous la première pour compléter la forme. Ou, si vous êtes pressé, vous pouvez dessiner le triangle flottant sur la table.

Cependant, certains se demanderont : « Pourquoi insistez-vous pour dessiner ce triangle « mutant » ? Dessinez jusqu'à épuisement du papier, puis arrêtez. » Même si vous ne parvenez pas à dessiner la forme entière sur le papier, votre solution est certainement erronée.

Mais une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly va les faire réfléchir à nouveau. Parfois, les triangles à l'extérieur d'une feuille de papier peuvent cacher des secrets mathématiques inattendus.

Plus précisément dans ce cas, avec un triangle « mutant », deux lycéens aux États-Unis ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore, qui était autrefois considéré comme « impossible » pendant plus de 2 500 ans, depuis qu'il a été énoncé.

Photo d'illustration.

Personne n’a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette façon, pas même Albert Einstein.

Le théorème de Pythagore doit son nom au mathématicien grec Pythagore (570-495 av. J.-C.), qui l'a prouvé le premier, bien qu'il existe des preuves que des mathématiciens d'autres civilisations anciennes telles que Babylone, l'Inde, la Mésopotamie et la Chine l'ont également découvert indépendamment :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si un triangle rectangle a des côtés de longueur a et b et une hypoténuse c, alors le théorème de Pythagore s'exprime par la formule suivante :

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

S’il n’y avait pas eu le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n’auraient pas pu construire les pyramides.

Cela semble être une formule simple, mais sans connaître le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n'auraient pas pu construire les pyramides, les Babyloniens n'auraient pas pu calculer la position des étoiles et les Chinois n'auraient pas pu diviser le territoire.

Ce théorème a également jeté les bases de nombreuses écoles de mathématiques telles que la géométrie solide, la géométrie non euclidienne et la géométrie différentielle - sans lesquelles, ou s'il s'avérait faux, presque toute la branche de la géométrie des mathématiques connue de l'humanité aujourd'hui s'effondrerait.

Démontrer le théorème de Pythagore était donc une tâche cruciale. Dès 500 av. J.-C., le mathématicien grec Pythagore s'y attèle et marque ainsi pour la première fois l'histoire.

Il a prouvé le théorème de Pythagore en utilisant une méthode très simple :

Photo d'illustration.

Dessinez un carré de côtés a+b. Puis, à chaque angle, dessinez quatre triangles égaux de côtés a et b. Ces triangles sont tous rectangles égaux, d'hypoténuse c, et forment ensemble un espace d'aire ^c² à l'intérieur du carré.

Ensuite, en réorganisant simplement les positions de ces quatre triangles, Pythagore a créé deux nouveaux espaces, qui sont deux carrés de côtés a et b. L'aire totale de ces deux espaces est a ² + b ² , ce qui doit bien sûr être égal à l'espace d'origine c ² .

C'est la preuve que vous trouverez dans un manuel de mathématiques de cinquième au collège. Mais il existe une autre preuve du théorème de Pythagore que vous n'avez peut-être pas apprise. C'est celle qu'Albert Einstein a inventée à l'âge de 11 ans.

Einstein réalisa alors que s'il abaissait une hauteur AD perpendiculaire à l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC, il obtiendrait deux triangles rectangles semblables à ce dernier. Or, en traçant simplement à l'extérieur du triangle rectangle ABC des carrés de côtés égaux à chacun de ses côtés, Einstein obtiendrait trois carrés d'aires égales à ^a₂ , ^b₂ et ^c₂ .

Étant donné que le rapport entre l'aire d'un triangle rectangle et l'aire d'un carré sur son hypoténuse est le même pour les triangles semblables, nous aurons également 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Photo d'illustration.

Cependant, ce ne sont là que deux des 370 preuves du théorème de Pythagore que les mathématiciens ont trouvées au cours des 2 500 dernières années. De l'algèbre au calcul différentiel et intégral en passant par diverses coupes géométriques, ce théorème mathématique peut être prouvé par des méthodes allant de simples à complexes.

Cependant, aucune de ces solutions ne propose de preuve par des formules trigonométriques. Puisque Pythagore est un théorème fondamental en trigonométrie, le prouver par trigonométrie nous conduirait au piège du sophisme, appelé raisonnement circulaire, lorsque nous utiliserions le théorème de Pythagore lui-même pour prouver le théorème de Pythagore.

Les mathématiciens ont échoué à plusieurs reprises dans cette tâche, à tel point qu'en 1927, le mathématicien américain Elisha Loomis s'est exclamé : « Il n'y a aucun moyen de prouver le théorème de Pythagore par la trigonométrie, car toutes les formules trigonométriques de base doivent s'appuyer sur l'exactitude du théorème de Pythagore. »

Mais il s’avère qu’Elisha Loomis avait tort.

Près de 100 ans plus tard, ces deux lycéens ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore en utilisant la trigonométrie.

Dans une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly, deux étudiants, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson de la St. Mary's Academy High School du Colorado, ont présenté non pas une, mais dix façons de prouver le théorème de Pythagore en utilisant la trigonométrie.

Ne'Kiya Jackson (à gauche) et Calcea Johnson (à droite).

Pour pouvoir faire cela, Jackson et Johnson ont utilisé un triangle rectangle ABC comme d'habitude. « Notre première preuve commence par retourner le triangle ABC sur son côté AC pour former un triangle isocèle ABB' », ont écrit les deux auteurs dans l'article.

Dans l'étape suivante, ils construiront un triangle rectangle AB'D, en prolongeant le côté AB jusqu'au point D afin qu'à partir de D ils puissent tracer une perpendiculaire à B'A.

À ce stade, assurez-vous d'avoir suffisamment de papier, car AB'D est un triangle avec un côté inhabituellement long et le point D dépassera très probablement du bord de votre papier.

Ensuite, à partir du point B, vous tracerez une perpendiculaire à BB', coupant B'D en E. Puis à partir de E, tracez une perpendiculaire pour couper AD en F... Et ainsi de suite jusqu'à l'infini, vous obtiendrez d'innombrables triangles semblables dont les aires combinées sont égales à l'aire du triangle AB'D :

Maintenant le point important :

Jackson et Johnson ont constaté que, puisque BB' a une longueur de 2a et que le triangle B'EB est semblable au triangle ABC, ils pouvaient calculer la longueur du côté BE comme suit : 2a ² /b. BF = 2A ² c/b ² . Ainsi, les côtés FG, GH peuvent être calculés comme suit : 2a ⁴ c/b ⁴ et 2a ⁶ c/b ⁶ …

Alors, la longueur de l'hypoténuse AD sera égale à la somme des segments de droite :

Dans le triangle AB'D, nous avons :

À partir des deux formules ci-dessus, nous pouvons établir l'équation :

Dans lequel, en utilisant la somme d'une série convergente de base, on obtient :

Immédiatement après sa publication, la preuve du théorème de Pythagore par Jackson et Johnson a attiré des mathématiciens, dont Álvaro Lozano-Robledo, de l'Université du Connecticut.

« Cela ne ressemblait à rien de ce que j'avais vu auparavant », a déclaré Lozano-Robledo. L'idée de remplir un grand triangle avec une infinité de triangles plus petits, puis de calculer la longueur de ses côtés à l'aide d'une série convergente, était une innovation inattendue pour un lycéen.

Le mathématicien Álvaro Lozano-Robledo de l'Université du Connecticut a fait l'éloge de Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson.

« Certains pensent qu'il faut passer des années à l'école ou dans des instituts de recherche pour résoudre un nouveau problème », a déclaré Lozano-Robledo. « Mais cela prouve que c'est possible dès le lycée. »

Non seulement Jackson et Johnson ont prouvé le théorème de Pythagore d'une manière complètement nouvelle, mais leur solution a également souligné une limite délicate du concept de trigonométrie, ont-ils déclaré.

« Les lycéens ne se rendent peut-être pas compte qu'il existe deux versions de la trigonométrie associées au même terme. Dans ce cas, essayer de comprendre la trigonométrie revient à essayer de comprendre une image composée de deux images différentes superposées », expliquent-ils.

La solution surprenante au théorème de Pythagore est venue de Jackson et Johnson, qui ont séparé ces deux variantes trigonométriques et utilisé une autre loi fondamentale de la trigonométrie, la loi des sinus. Le duo a ainsi évité les cercles vicieux que les mathématiciens précédents, dont Elisha Loomis, avaient rencontrés en tentant de démontrer le théorème de Pythagore à l'aide du théorème de Pythagore.

Personne n’a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette façon, pas même Albert Einstein.

« Leurs résultats ont attiré l’attention d’autres étudiants sur une perspective nouvelle et prometteuse », a déclaré Della Dumbaugh, rédacteur en chef de l’American Mathematical Monthly. commentaire.

« Cela ouvrira également de nombreuses perspectives mathématiques nouvelles », a déclaré Lozano-Robledo. « D'autres mathématiciens pourront alors utiliser cet article pour généraliser cette preuve, généraliser leurs idées, ou simplement exploiter cette idée autrement. »

On constate qu'un nouveau domaine des mathématiques s'est ouvert après que Jackson et Johnson ont dessiné le « triangle » mutant. Un triangle dépassant du bord de la feuille contient une boucle de triangles sans fin.

Alors, la prochaine fois que vous résoudrez un problème de géométrie et que vous tomberez sur une arête, essayez de la dessiner jusqu'à son extrémité. Qui sait, vous ferez peut-être une découverte.

Source : Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Source : https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm