En dessinant un triangle qui déborde du bord de la feuille, deux étudiants démontrent de manière inattendue un théorème mathématique vieux de 2 500 ans.

Ce qui est remarquable, c'est que personne n'a jamais démontré ce théorème de cette manière, pas même Albert Einstein.

Au lycée, nous avons tous dû résoudre des problèmes de géométrie. Et une fois ces problèmes résolus, nous avons tous été confrontés au moins une fois à cette situation : en dessinant une figure, on se retrouve à court de papier.

Tous ces cas impliquent un triangle « mutant », dont deux côtés sont exceptionnellement longs, permettant de le tracer jusqu'au bord de la feuille sans qu'il se croise. Comment géreriez-vous cette situation ?

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Certains élèves, avec beaucoup de créativité, continuent de dessiner la forme sur l'autre côté de la feuille, c'est-à-dire au verso. D'autres prennent une autre feuille et la placent sous la première pour compléter la forme. Ou, en dernier recours, vous pouvez dessiner le triangle comme s'il flottait sur la table.

Cependant, certains se demanderont : pourquoi s’obstiner à dessiner ce triangle « mutant » ? Dessine jusqu’à ce que la feuille soit pleine, puis arrête-toi. Même si tu ne dessines pas la forme entière, ta solution est assurément incorrecte.

Mais une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly les fera sans doute reconsidérer leur position. Parfois, les triangles qui ornent la couverture d'une feuille de papier peuvent receler des secrets mathématiques insoupçonnés.

Dans ce cas précis, avec un triangle « mutant », deux lycéens américains ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore, considéré comme « impossible » depuis plus de 2 500 ans, depuis son énoncé.

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Personne n'a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette manière, pas même Albert Einstein.

Le théorème de Pythagore tire son nom du mathématicien grec antique Pythagore (570-495 av. J.-C.) qui l'a démontré pour la première fois, bien qu'il existe des preuves que des mathématiciens d'autres civilisations anciennes telles que Babylone, l'Inde, la Mésopotamie et la Chine l'ont également découvert indépendamment :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si un triangle rectangle a pour côtés a et b et que son hypoténuse mesure c, alors le théorème de Pythagore s'exprime par la formule :

^c² = ^a² + ^b²

Sans le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n'auraient pas pu construire les pyramides.

Cela paraît être une formule simple, mais sans connaître le théorème de Pythagore, les anciens Égyptiens n'auraient pas pu construire les pyramides, les Babyloniens n'auraient pas pu calculer la position des étoiles et les Chinois n'auraient pas pu diviser le territoire.

Ce théorème a également jeté les bases de nombreuses écoles de mathématiques telles que la géométrie dans l'espace, la géométrie non euclidienne et la géométrie différentielle ; sans lui, ou s'il était démontré faux, la quasi-totalité de la branche de la géométrie mathématique connue de l'humanité aujourd'hui s'effondrerait.

Démontrer le théorème de Pythagore était donc une tâche capitale. Dès 500 avant J.-C., le mathématicien grec Pythagore s'y attela et entra ainsi dans l'histoire.

Il a démontré le théorème de Pythagore en utilisant une méthode très simple :

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Tracez un carré dont les côtés mesurent a+b. Ensuite, à chaque coin, tracez 4 triangles égaux, dont les côtés mesurent a et b. Ces triangles sont tous des triangles rectangles égaux, dont l'hypoténuse mesure c et qui, ensemble, créent un espace à l'intérieur du carré d'aire ^c² .

Ensuite, en réarrangeant simplement les positions de ces 4 triangles, Pythagore a créé deux nouveaux espaces qui étaient deux carrés avec des côtés a et b. L'aire totale de ces deux espaces était a ² + b ² , qui devait bien sûr être égale à l'espace d'origine c ² .

Voici la démonstration que vous trouverez dans votre manuel de mathématiques de 5e au collège. Mais il existe une autre démonstration du théorème de Pythagore que vous n'avez peut-être pas apprise. Il s'agit de la solution qu'Albert Einstein a trouvée à l'âge de 11 ans.

Einstein réalisa alors qu'en abaissant une hauteur AD perpendiculaire à l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC, il obtiendrait deux triangles rectangles semblables à ABC. En traçant ensuite des carrés extérieurs au triangle rectangle ABC dont les côtés sont égaux à chacun de ses côtés, Einstein obtiendrait trois carrés d'aires égales à ^a² , ^b² et ^c² .

Puisque le rapport de l'aire d'un triangle rectangle à l'aire d'un carré sur son hypoténuse est le même pour les triangles semblables, nous aurons également 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Cependant, ce ne sont là que deux des 370 démonstrations du théorème de Pythagore que les mathématiciens ont découvertes au cours des 2 500 dernières années. De l’algèbre au calcul différentiel et intégral, en passant par diverses opérations géométriques, ce théorème mathématique peut être démontré par des méthodes allant des plus simples aux plus complexes.

Cependant, aucune de ces solutions ne repose sur une démonstration utilisant des formules trigonométriques. Le théorème de Pythagore étant fondamental en trigonométrie, le démontrer par la trigonométrie nous conduirait à un sophisme, appelé raisonnement circulaire, qui consiste à utiliser le théorème de Pythagore lui-même pour le démontrer.

Les mathématiciens ont échoué à maintes reprises dans cette tâche, à tel point qu'en 1927, le mathématicien américain Elisha Loomis s'est exclamé : « Il n'y a aucun moyen de prouver le théorème de Pythagore par la trigonométrie car toutes les formules trigonométriques de base doivent reposer sur la validité du théorème de Pythagore. »

Mais il s'avère qu'Elisha Loomis avait tort.

Près de 100 ans plus tard, ces deux lycéens ont trouvé un moyen de prouver le théorème de Pythagore en utilisant la trigonométrie.

Dans une nouvelle étude publiée dans la revue American Mathematical Monthly, deux élèves, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson de la St. Mary's Academy High School du Colorado, ont présenté non pas une, mais dix façons de prouver le théorème de Pythagore à l'aide de la trigonométrie.

Ne'Kiya Jackson (à gauche) et Calcea Johnson (à droite).

Pour pouvoir faire cela, Jackson et Johnson ont utilisé, comme à leur habitude, un triangle rectangle ABC. « Notre première démonstration commence par la symétrie du triangle ABC par rapport à son côté AC, ce qui permet de former un triangle isocèle ABB », ont-ils écrit dans leur article.

Dans l'étape suivante, ils construiront un triangle rectangle AB'D, en prolongeant le côté AB jusqu'au point D de sorte que de D ils puissent abaisser une perpendiculaire à B'A.

À ce stade, assurez-vous d'avoir suffisamment de papier, car AB'D est un triangle dont le côté est exceptionnellement long et le point D dépassera très probablement du bord de votre feuille.

Ensuite, à partir du point B, vous abaisserez une perpendiculaire à BB', coupant B'D en E. Puis, à partir de E, vous abaisserez une perpendiculaire à AD, coupant cette dernière en F... Et ainsi de suite indéfiniment, vous obtiendrez une infinité de triangles semblables dont la somme des aires est égale à l'aire du triangle AB'D.

Voici maintenant le point important :

Jackson et Johnson ont constaté que, puisque BB' a pour longueur 2a et que le triangle B'EB est semblable au triangle ABC, ils peuvent calculer la longueur du côté BE comme ^2a² /b. BF = ^2a²c / ^b² . Ainsi, les côtés FG et GH peuvent être calculés comme ^2a⁴c / ^b⁴ et ^2a⁶c / ^b⁶ …

Alors, la longueur de l'hypoténuse AD sera égale à la somme des segments de droite :

Dans le triangle AB'D, nous avons :

À partir des deux formules ci-dessus, nous obtenons l'équation :

Dans lequel, en utilisant la somme d'une série convergente de base, on obtient :

Immédiatement après sa publication, la démonstration du théorème de Pythagore par Jackson et Johnson a attiré des mathématiciens, dont Álvaro Lozano-Robledo, de l'Université du Connecticut.

« Je n'avais jamais rien vu de pareil », a déclaré Lozano-Robledo. L'idée de remplir un grand triangle avec une infinité de petits triangles, puis de calculer la longueur de ses côtés à l'aide d'une série convergente, était une innovation inattendue pour un lycéen.

Le mathématicien Álvaro Lozano-Robledo de l'Université du Connecticut a fait l'éloge de Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson.

« Certains pensent qu’il faut passer des années à l’université ou dans des instituts de recherche pour résoudre un nouveau problème », a déclaré Lozano-Robledo. « Mais cela prouve que c’est possible dès le lycée. »

Jackson et Johnson ont non seulement prouvé le théorème de Pythagore d'une manière totalement nouvelle, mais leur solution a également mis en évidence une limite fragile du concept de trigonométrie, ont-ils déclaré.

« Les élèves du secondaire ignorent peut-être qu'il existe deux versions de la trigonométrie associées à un même terme. Dans ce cas, tenter de comprendre la trigonométrie revient à essayer de comprendre une image comportant deux images différentes imprimées l'une sur l'autre », expliquent-ils.

La solution surprenante au théorème de Pythagore fut apportée par Jackson et Johnson, qui séparèrent ces deux variations trigonométriques et utilisèrent une autre loi fondamentale de la trigonométrie : la loi des sinus. De cette manière, le duo évita les cercles vicieux auxquels s’étaient heurtés les mathématiciens précédents, notamment Elisha Loomis, lorsqu’ils tentaient de démontrer le théorème de Pythagore à l’aide du théorème de Pythagore lui-même.

Personne n'a jamais prouvé le théorème de Pythagore de cette manière, pas même Albert Einstein.

« Leurs résultats ont attiré l'attention d'autres étudiants sur une perspective nouvelle et prometteuse », a déclaré Della Dumbaugh, rédactrice en chef de l'American Mathematical Monthly. commentaire.

« Cela ouvrira également de nombreuses nouvelles discussions mathématiques », explique Lozano-Robledo. « D'autres mathématiciens pourront alors utiliser cet article pour généraliser cette démonstration, étendre leurs idées ou simplement exploiter cette idée différemment. »

On constate qu'un nouveau champ d'exploration mathématique s'est ouvert après que Jackson et Johnson ont dessiné le « triangle » mutant. Un triangle s'étendant au-delà du bord de la feuille contient une boucle infinie de triangles.

Alors la prochaine fois que vous résoudrez un problème de géométrie et que vous rencontrerez une arête, essayez de la dessiner jusqu'au bout. Qui sait, vous pourriez faire une découverte !

Source : Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Source : https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm