종이 가장자리를 넘을 만큼 삼각형을 그리면서 2명의 학생이 예상치 못하게 2,500년 된 수학 정리를 증명했습니다.

특별한 점은 지금까지 아무도, 심지어 알베르트 아인슈타인조차도, 이 정리를 이런 방식으로 증명한 적이 없다는 것입니다.

고등학교 시절, 우리 모두는 기하 문제를 풀어야 했습니다. 기하 문제를 풀고 나면 누구나 적어도 한 번쯤은 이런 상황을 겪어 보았을 것입니다. 도형을 그리다가 종이가 떨어지는 상황 말입니다.

이러한 모든 경우는 두 변이 비정상적으로 길어서 아무리 멀리 그려도 서로 교차하지 않는 "돌연변이" 삼각형과 관련이 있습니다. 이 상황을 어떻게 처리하시겠습니까?

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어떤 학생들은 매우 창의적으로 종이 뒷면이라는 다른 차원에 도형을 계속 그리기도 합니다. 다른 학생들은 다른 종이를 첫 번째 종이 아래에 붙여 도형을 완성하기도 합니다. 아니면, 급하다면 테이블 위에 떠 있는 삼각형을 그려도 됩니다.

하지만 어떤 사람들은 이렇게 생각할 겁니다. " 왜 굳이 그 "돌연변이" 삼각형을 그리는 거지? 종이가 다 떨어질 때까지만 그리고, 그 후에 멈추면 되는 거야." 종이에 도형 전체를 그릴 수 없더라도, 당신의 답은 분명히 옳지 않습니다.

하지만 American Mathematical Monthly 저널에 실린 새로운 연구는 그들에게 다시 한번 생각하게 만들 것입니다. 때로는 종이 겉면에 있는 삼각형이 예상치 못한 수학적 비밀을 숨기고 있을 수 있습니다.

구체적으로 이 경우, 미국의 두 고등학생은 "돌연변이" 삼각형을 이용해 피타고라스 정리를 증명하는 방법을 찾아냈습니다. 이 정리는 발표된 지 2,500년 이상 "불가능하다"고 여겨졌습니다.

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아무도 이런 방식으로 피타고라스의 정리를 증명한 적이 없습니다. 심지어 알베르트 아인슈타인도 마찬가지입니다.

피타고라스 정리는 이를 처음으로 증명한 고대 그리스 수학자 피타고라스(기원전 570~495년)의 이름을 따서 명명되었지만, 바빌론, 인도, 메소포타미아, 중국 등 다른 고대 문명의 수학자들도 독립적으로 이를 발견했다는 증거가 있습니다.

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 항상 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다. 직각 삼각형의 변의 길이가 a, b이고 빗변의 길이가 c일 때, 피타고라스 정리는 다음 공식으로 표현됩니다.

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

피타고라스의 정리가 없었다면 고대 이집트인들은 피라미드를 건설할 수 없었을 것입니다.

간단한 공식처럼 보이지만, 피타고라스의 정리를 몰랐다면 고대 이집트인들은 피라미드를 건설할 수 없었을 것이고, 바빌로니아인들은 별의 위치를 계산할 수 없었을 것이며, 중국인들은 땅을 나눌 수 없었을 것입니다.

이 정리는 입체 기하학, 비유클리드 기하학, 미분기하학 등 많은 수학 학파의 기초를 마련했습니다. 이러한 정리가 없었거나, 만약 이 정리가 틀렸다고 증명된다면, 오늘날 인류에게 알려진 수학 기하학의 거의 전체 분야가 붕괴되었을 것입니다.

따라서 피타고라스 정리를 증명하는 것은 매우 중요한 과제였습니다. 기원전 500년경, 고대 그리스 수학자 피타고라스가 이 과제를 맡아 역사에 처음으로 이름을 올렸습니다.

그는 매우 간단한 방법을 사용하여 피타고라스 정리를 증명했습니다.

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한 변의 길이가 a+b인 정사각형을 그리세요. 그런 다음, 각 꼭짓점에 변이 a와 b인 길이가 같은 삼각형 네 개를 더 그리세요. 이 삼각형들은 모두 빗변이 c인 길이가 같은 직각삼각형이며, 정사각형 내부에 면적이 ^c² 인 공간을 만듭니다.

그런 다음, 피타고라스는 네 삼각형의 위치를 재배열함으로써 두 개의 새로운 공간, 즉 변이 a와 b인 두 개의 정사각형을 만들었습니다. 두 공간의 총 면적은 ^a² + ^b² 인데, 이는 당연히 원래 공간 ^c² 과 같아야 합니다.

이 증명은 중학교 7학년 수학 교과서에 나옵니다. 하지만 피타고라스 정리에 대한 또 다른 증명이 있는데, 아마 여러분이 배우지 못했을 겁니다. 바로 알베르트 아인슈타인이 11살 때 생각해 낸 증명입니다.

아인슈타인은 직각삼각형 ABC의 빗변 BC에 수직으로 높이 AD를 떨어뜨리면 직각삼각형 ABC와 비슷한 두 개의 직각삼각형이 생긴다는 것을 깨달았습니다. 이제 직각삼각형 ABC 바깥쪽에 각 변의 길이가 같은 정사각형을 그리면, 아인슈타인은 ^a² , ^b² , ^c² 의 넓이를 가진 정사각형 세 개를 얻을 수 있습니다.

직각 삼각형의 면적과 빗변에 대한 정사각형의 면적의 비율은 유사한 삼각형에 대해 동일하므로 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² 도 성립합니다.

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하지만 이는 수학자들이 지난 2,500년 동안 발견한 피타고라스 정리의 370가지 증명 중 두 가지에 불과합니다. 대수학, 미적분학부터 다양한 기하학적 절단까지, 이 수학 정리는 쉬운 방법부터 복잡한 방법까지 다양한 방법으로 참임을 증명할 수 있습니다.

그러나 이 모든 해법에서 삼각함수 공식을 이용한 증명은 없습니다. 피타고라스 정리 자체가 삼각법의 기본 정리이기 때문에, 삼각법을 사용하여 증명하면 피타고라스 정리 자체를 이용하여 피타고라스 정리를 증명할 때 순환 사고라는 논리적 오류의 함정에 빠지게 됩니다.

수학자들은 이 과제에서 계속해서 실패해 왔습니다. 심지어 1927년에 미국의 수학자 엘리샤 루미스는 " 삼각법으로 피타고라스 정리를 증명할 방법은 없습니다. 모든 기본 삼각법 공식은 피타고라스 정리의 정확성에 의존해야 하기 때문입니다."라고 외쳤습니다.

하지만 결국 엘리샤 루미스는 틀렸습니다.

거의 100년 후에, 이 두 고등학생은 삼각법을 사용하여 피타고라스의 정리를 증명하는 방법을 찾아냈습니다.

American Mathematical Monthly 저널에 게재된 새로운 연구에 따르면 , 콜로라도 주 세인트 메리 아카데미 고등학교의 네키야 잭슨과 칼시아 존슨이라는 두 학생은 삼각법을 사용하여 피타고라스 정리를 증명하는 방법을 10가지로 제시했습니다.

네키야 잭슨(왼쪽)과 칼세아 존슨(오른쪽).

이를 위해서는 잭슨과 존슨은 평소처럼 직각 삼각형 ABC를 사용했습니다. 두 사람은 논문에 " 첫 번째 증명은 삼각형 ABC를 변 AC로 뒤집어 이등변삼각형 ABB'를 만드는 것으로 시작합니다 ."라고 썼습니다.

다음 단계에서는 변 AB를 점 D까지 연장하여 직각 삼각형 AB'D를 구성하고, D에서 B'A에 수직선을 그어 그립니다.

이 시점에서 종이가 충분한지 확인하세요. AB'D는 비정상적으로 긴 변을 가진 삼각형이고 점 D는 종이 가장자리 밖으로 튀어나올 가능성이 높습니다.

그런 다음 점 B에서 BB'에 수직선을 그어 B'D를 E에서 자릅니다. 그런 다음 점 E에서 AD를 자른 수직선을 F에서 그립니다... 이런 식으로 무한히 계속하면 삼각형 AB'D의 면적과 합친 면적이 같은 무수히 많은 유사한 삼각형이 생깁니다.

이제 중요한 점은 다음과 같습니다.

잭슨과 존슨은 BB'의 길이가 2a이고 삼각형 B'EB가 삼각형 ABC와 닮음이므로, 변 BE의 길이를 2a ² /b로 계산할 수 있음을 발견했습니다. BF=2A ² c/b ² . 따라서 변 FG와 GH는 2a ⁴ c/b ⁴ 와 2a ⁶ c/b ⁶ …로 계산할 수 있습니다.

그러면 빗변 AD의 길이는 선분의 합과 같습니다.

삼각형 AB'D에서는 다음이 성립합니다.

위의 두 공식으로부터 다음 방정식을 세울 수 있습니다.

여기서 기본 수렴 급수의 합을 사용하면 다음과 같습니다.

잭슨과 존슨이 피타고라스 정리를 증명한 직후, 이 논문은 코네티컷 대학의 알바로 로사노-로블레도를 포함한 수학자들의 관심을 끌었습니다.

" 전에 본 적 없는 모습이었습니다." 로자노-로블레도가 말했다. 큰 삼각형을 무한히 많은 작은 삼각형으로 채운 다음, 수렴 급수를 사용하여 변의 길이를 계산한다는 발상은 고등학생에게는 예상치 못한 혁신이었다.

코네티컷 대학의 수학자 Álvaro Lozano-Robledo는 Ne'Kiya Jackson과 Calcea Johnson을 칭찬했습니다.

" 어떤 사람들은 새로운 문제를 해결하려면 학교나 연구소에서 몇 년을 보내야 한다고 생각합니다 ."라고 로사노-로블레도는 말했다. " 하지만 이번 연구는 고등학생 시절에도 가능하다는 것을 증명했습니다."

잭슨과 존슨은 피타고라스 정리를 완전히 새로운 방식으로 증명했을 뿐만 아니라, 그들의 해결책은 삼각법 개념의 섬세한 경계를 강조했다고 그들은 말했습니다.

" 고등학생들은 같은 용어에 두 가지 버전의 삼각법이 있다는 사실을 모를 수도 있습니다. 그런 경우 삼각법을 이해하려는 것은 마치 서로 다른 두 개의 그림이 겹쳐 있는 그림을 이해하려는 것과 같습니다 ."라고 그들은 말합니다.

피타고라스 정리에 대한 놀라운 해법은 잭슨과 존슨 이 이 두 삼각함수 변형을 분리하고 삼각함수의 또 다른 기본 법칙인 사인 법칙을 사용함으로써 얻어졌습니다. 이렇게 하여 두 사람은 엘리샤 루미스를 비롯한 이전 수학자들이 피타고라스 정리를 사용하여 피타고라스 정리를 증명하려다 마주쳤던 악순환을 피할 수 있었습니다.

아무도 이런 방식으로 피타고라스의 정리를 증명한 적이 없습니다. 심지어 알베르트 아인슈타인도 마찬가지입니다.

American Mathematical Monthly의 편집장인 델라 덤바우는 "이들의 연구 결과는 다른 학생들의 관심을 새롭고 유망한 관점으로 이끌었다 "고 말했다. 논평.

" 또한 이 논문은 많은 새로운 수학적 대화를 열어줄 것입니다 ."라고 로자노-로블레도는 말했다. " 그렇게 되면 다른 수학자들이 이 논문을 활용하여 그 증명을 일반화하거나, 자신의 아이디어를 일반화하거나, 아니면 그 아이디어를 다른 방식으로 활용할 수 있을 것입니다."

잭슨과 존슨이 변형된 " 삼각형 "을 그린 후 수학의 새로운 지평이 열렸음을 알 수 있습니다. 종이 가장자리 너머로 뻗어 있는 삼각형 안에는 끝없는 삼각형들이 고리처럼 연결되어 있습니다.

그러니 다음에 기하 문제를 풀다가 모서리를 만나면, 그 모서리까지 쭉 그려 보세요. 어쩌면 새로운 발견을 할지도 몰라요.

출처: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

출처: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm