Två studenter ritar en triangel som svämmar över papprets kant och bevisar oväntat en 2 500 år gammal matematisk sats.

Det speciella är att ingen någonsin har bevisat satsen på detta sätt, inte ens Albert Einstein.

På gymnasiet har vi alla varit tvungna att lösa geometriska problem. Och när vi väl har löst geometriska problem har vi alla stött på den här situationen minst en gång: När vi ritar en figur får vi slut på papper.

Alla sådana fall involverar en "mutant" triangel, med två ovanligt långa sidor, så att de kan dras hela vägen ut till papprets kant utan att skära varandra. Hur skulle du hantera den här situationen?

Illustrationsfoto.

Vissa elever – mycket kreativt – fortsätter att rita formen på andra sidan av pappret, vilket är baksidan av pappret. Andra tar ett annat pappersark och lägger det under det första för att slutföra formen. Eller, om du har det svårt, kan du rita triangeln som flyter på bordet.

En del människor kommer dock att tänka: Varför envisas du med att rita den där "mutanta" triangeln? Rita bara tills pappret tar slut, och sluta sedan. Även om du inte ritar hela formen på pappret är din lösning definitivt inte korrekt.

Men en ny studie i tidskriften American Mathematical Monthly får dem nu att tänka om. Ibland kan trianglarna på utsidan av pappret dölja oväntade matematiska hemligheter.

Specifikt i detta fall, med en "mutant" triangel, hittade två gymnasieelever i USA ett sätt att bevisa Pythagoras sats, som en gång ansågs vara "omöjlig" i mer än 2 500 år, sedan den formulerades.

Illustrationsfoto.

Ingen har någonsin bevisat Pythagoras sats på det här sättet, inte ens Albert Einstein.

Pythagoras sats är uppkallad efter den antika grekiske matematikern Pythagoras (570–495 f.Kr.) som först bevisade den, även om det finns bevis för att matematiker i andra forntida civilisationer som Babylon, Indien, Mesopotamien och Kina också oberoende upptäckte den:

Att i en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan alltid lika med summan av kvadraterna på längderna på de andra två sidorna. Om en rätvinklig triangel har sidor med längderna a och b och hypotenusan är c, uttrycks Pythagoras sats med formeln:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Om det inte vore för Pythagoras sats hade de gamla egyptierna inte kunnat bygga pyramiderna.

Det verkar vara en enkel formel, men utan att känna till Pythagoras sats skulle de gamla egyptierna inte ha kunnat bygga pyramiderna, babylonierna skulle inte ha kunnat beräkna stjärnornas position och kineserna skulle inte ha kunnat dela upp landet.

Denna sats lade också grunden för många matematikskolor såsom solid geometri, icke-euklidisk geometri och differentialgeometri – utan vilka, eller om den skulle bevisas felaktig, skulle nästan hela den gren av matematikens geometri som är känd för mänskligheten idag kollapsa.

Att bevisa Pythagoras sats var därför en mycket viktig uppgift. Redan år 500 f.Kr. åtog sig den antika grekiske matematikern Pythagoras denna uppgift och gjorde sig ett namn i historien för första gången.

Han bevisade Pythagoras sats med en mycket enkel metod:

Illustrationsfoto.

Rita en kvadrat med sidlängderna a+b. Fortsätt sedan, i varje hörn, att rita fyra lika stora trianglar, med sidorna a och b. Dessa trianglar är alla lika stora rätvinkliga trianglar, med hypotenusan c och tillsammans skapar de ett utrymme inuti kvadraten med arean ^c² .

Genom att sedan omorganisera positionerna för de fyra trianglarna skapade Pythagoras två nya utrymmen som var två kvadrater med sidorna a och b. Den totala arean av dessa två utrymmen var ^a2 + ^b2 , vilket naturligtvis måste vara lika med det ursprungliga utrymmet ^c2 .

Det här är beviset du hittar i din matematiklärobok för årskurs 7 i mellanstadiet. Men det finns ett annat bevis på Pythagoras sats som du kanske inte har lärt dig. Det är lösningen som Albert Einstein kom på när han var 11 år gammal.

Einstein insåg sedan att om han satte en höjd AD vinkelrät mot hypotenusan BC i den rätvinkliga triangeln ABC, skulle han få två rätvinkliga trianglar som är lika med den rätvinkliga triangeln ABC. Genom att nu rita kvadrater utanför den rätvinkliga triangeln ABC, vars sidor är lika stora som var och en av dess sidor, skulle Einstein få tre kvadrater med areor lika med ^a₂ , ^b₂ och ^c₂ .

Eftersom förhållandet mellan arean av en rätvinklig triangel och arean av en kvadrat på dess hypotenusa är detsamma för liknande trianglar, får vi också ^𝑐2 = ^𝑎2 + ^𝑏2 .

Illustrationsfoto.

Detta är dock bara två av de 370 bevisen för Pythagoras sats som matematiker har hittat under de senaste 2 500 åren. Från algebra och kalkyl till olika geometriska snitt kan denna matematiska sats bevisas sann med hjälp av metoder som sträcker sig från enkla till komplexa.

I alla dessa lösningar finns det dock inget bevis med hjälp av trigonometriska formler. Eftersom Pythagoras i sig är en fundamentalsats inom trigonometri, skulle bevisandet med hjälp av trigonometri leda oss in i en fälla av logiskt felslut, kallat cirkulärt tänkande, när vi använder Pythagoras sats i sig för att bevisa den.

Matematiker har upprepade gånger misslyckats med denna uppgift, så till den grad att den amerikanske matematikern Elisha Loomis år 1927 utbrast: " Det finns inget sätt att bevisa Pythagoras sats med trigonometri eftersom alla grundläggande trigonometriska formler måste förlita sig på Pythagoras sats riktighet."

Men det visar sig att Elisha Loomis hade fel.

Nästan 100 år senare har dessa två gymnasieelever hittat ett sätt att bevisa Pythagoras sats med hjälp av trigonometri.

I en ny studie publicerad i tidskriften American Mathematical Monthly presenterade två studenter, Ne'Kiya Jackson och Calcea Johnson från St. Mary's Academy High School i Colorado, inte ett utan 10 sätt att bevisa Pythagoras sats med hjälp av trigonometri.

Ne'Kiya Jackson (vänster) och Calcea Johnson (höger).

För att kunna göra detta, Jackson och Johnson använde en rätvinklig triangel ABC som vanligt. ” Vårt första bevis börjar med att vända triangeln ABC över dess sida AC för att bilda en likbent triangel ABB ”, skrev duon i artikeln.

I nästa steg ska de konstruera en rätvinklig triangel AB'D, genom att förlänga sidan AB till punkten D så att de från D kan släppa en vinkelrät mot B'A.

Se till att du har tillräckligt med papper nu, eftersom AB'D är en triangel med en ovanligt lång sida och punkt D kommer troligtvis att hoppa ut utanför kanten på ditt papper.

Sedan, från punkt B, släpper du en vinkelrät mot BB' och skär B'D vid E. Sedan, från E, släpp en vinkelrät mot AD vid F... Och så vidare i all oändlighet, får du ett oändligt antal likformiga trianglar vars sammanlagda areor är lika med arean av triangeln AB'D:

Nu den viktiga punkten:

Jackson och Johnson fann att eftersom BB' har längden 2a och triangeln B'EB är likformig med triangeln ABC, kan de beräkna längden på sidan BE som ^2a² /b. BF= ^2A²/ c/ ^b² . Således kan sidorna FG, GH beräknas som ^2a⁻⁴c / ^b⁻⁴ och ^2a⁻⁴c / ^b⁻⁴ …

Då blir längden på hypotenusan AD lika med summan av linjesegmenten:

I triangeln AB'D har vi:

Från de två formlerna ovan får vi ekvationen:

Där, med summan av en grundläggande konvergent serie, är:

Omedelbart efter publiceringen lockade Jackson och Johnsons bevis på Pythagoras sats matematiker, inklusive Álvaro Lozano-Robledo, från University of Connecticut.

” Det såg ut som ingenting jag någonsin sett förut”, sa Lozano-Robledo. Idén att fylla en stor triangel med oändligt många mindre trianglar och sedan beräkna dess sidlängder med hjälp av en konvergent serie var en oväntad innovation för en gymnasieelev.

Matematikern Álvaro Lozano-Robledo från University of Connecticut berömde Ne'Kiya Jackson och Calcea Johnson.

” Vissa tror att man måste tillbringa år i skolan eller på forskningsinstitut för att lösa ett nytt problem ”, sa Lozano-Robledo. ” Men det här bevisar att det kan göras redan medan man går på gymnasiet.”

Jackson och Johnson bevisade inte bara Pythagoras sats på ett helt nytt sätt, deras lösning betonade också en bräcklig gräns för begreppet trigonometri, sa de.

" Gymnasieelever kanske inte inser att det finns två versioner av trigonometri kopplade till samma term. I så fall är det att försöka förstå trigonometri som att försöka förstå en bild med två olika bilder tryckta ovanpå varandra ", säger de.

Den överraskande lösningen på Pythagoras sats kom från Jackson och Johnson som separerade dessa två trigonometriska variationer och använde en annan grundläggande trigonometrisk lag, sinusreglerna. På så sätt undvek duon de onda cirklar som tidigare matematiker, inklusive Elisha Loomis, stötte på när de försökte bevisa Pythagoras sats med hjälp av Pythagoras sats.

Ingen har någonsin bevisat Pythagoras sats på det här sättet, inte ens Albert Einstein.

"Deras resultat har riktat andra studenters uppmärksamhet mot ett nytt och lovande perspektiv ", säger Della Dumbaugh, chefredaktör för American Mathematical Monthly. kommentar.

” Det kommer också att öppna upp för många nya matematiska samtal ”, säger Lozano-Robledo. ” Det är då andra matematiker kan använda den här artikeln för att generalisera det beviset, generalisera sina idéer eller helt enkelt använda den idén på andra sätt.”

Det framgår att ett nytt landskap inom matematiken öppnades efter att Jackson och Johnson ritade den muterade " triangeln ". En triangel som sträcker sig bortom papprets kant innehåller inuti en slinga av oändliga trianglar.

Så nästa gång du löser ett geometriskt problem och stöter på en kant, försök att rita den hela vägen till kanten. Vem vet, du kanske gör en upptäckt.

Källa: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Källa: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm