Малюючи трикутник, що виходить за край паперу, двоє студентів несподівано доводять математичну теорему, якій 2500 років.

Особливість полягає в тому, що ніхто ніколи не довів цю теорему таким чином, навіть Альберт Ейнштейн.

У старшій школі всім нам доводилося розв'язувати задачі з геометрії. І після розв'язання задач з геометрії ми всі хоча б раз стикалися з такою ситуацією: під час малювання фігури у нас закінчується папір.

У всіх таких випадках використовується «мутантний» трикутник з двома надзвичайно довгими сторонами, завдяки чому їх можна намалювати аж до краю паперу, не перетинаючи. Як би ви впоралися з цією ситуацією?

Ілюстративне фото.

Деякі учні — дуже креативно — продовжать малювати фігуру на іншому боці паперу, тобто на зворотному боці. Інші візьмуть інший аркуш паперу та покладуть його під перший, щоб завершити фігуру. Або, якщо у вас скрутне становище, ви можете намалювати трикутник, що плаває на столі.

Однак, дехто подумає: «Навіщо ти наполягаєш на малюванні цього «мутантного» трикутника? Просто малюй, поки не закінчиться папір, а потім зупинися». Навіть якщо ти не намалюєш всю фігуру на папері, твоє рішення точно неправильне.

Але нове дослідження, опубліковане в журналі American Mathematical Monthly, змусить їх переосмислити це. Іноді трикутники на зовнішній стороні паперу можуть приховувати несподівані математичні секрети.

Зокрема, у цьому випадку, за допомогою «мутантного» трикутника, двоє учнів старших класів у США знайшли спосіб довести теорему Піфагора, яка колись вважалася «неможливою» протягом понад 2500 років з моменту її формулювання.

Ілюстративне фото.

Ніхто ніколи не довів теорему Піфагора таким чином, навіть Альберт Ейнштейн.

Теорема Піфагора названа на честь давньогрецького математика Піфагора (570–495 рр. до н. е.), який першим її довів, хоча є докази того, що математики в інших стародавніх цивілізаціях, таких як Вавилон, Індія, Месопотамія та Китай, також незалежно один від одного відкрили її:

Що у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи завжди дорівнює сумі квадратів довжин двох інших катетів. Якщо прямокутний трикутник має сторони довжиною a та b, а гіпотенуза дорівнює c, то теорема Піфагора виражається формулою:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Якби не теорема Піфагора, стародавні єгиптяни не змогли б побудувати піраміди.

Здається, що це проста формула, але без знання теореми Піфагора стародавні єгиптяни не змогли б побудувати піраміди, вавилоняни не змогли б обчислити положення зірок, а китайці не змогли б розділити землю.

Ця теорема також заклала основу для багатьох математичних шкіл, таких як геометрія просторового тіла, неевклідова геометрія та диференціальна геометрія, без яких, або якби вони були доведені неправильними, майже вся галузь геометрії математики, відома людству сьогодні, зазнала б краху.

Тому доведення теореми Піфагора було дуже важливим завданням. Ще в 500 році до нашої ери давньогрецький математик Піфагор взявся за це завдання і вперше увійшов в історію.

Він довів теорему Піфагора, використовуючи дуже простий метод:

Ілюстративне фото.

Намалюйте квадрат зі сторонами a+b. Потім у кожному куті продовжуйте малювати 4 рівні трикутники зі сторонами a та b. Ці трикутники є рівними прямокутними трикутниками з гіпотенузою c і разом утворюють простір всередині квадрата з площею ^c² .

Потім, просто переставивши положення цих 4 трикутників, Піфагор створив два нових простори, які були двома квадратами зі сторонами a та b. Загальна площа цих двох просторів становила ^a² + ^b² , що, звичайно, мало дорівнювати початковому простору ^c² .

Це доказ, який ви знайдете у своєму підручнику з математики для 7-го класу в середній школі. Але є ще один доказ теореми Піфагора, який ви, можливо, не вивчили. Це розв'язок, який Альберт Ейнштейн запропонував, коли йому було 11 років.

Тоді Ейнштейн зрозумів, що якби він опустив висоту AD перпендикулярно до гіпотенузи BC прямокутного трикутника ABC, то отримав би 2 прямокутні трикутники, подібні до прямокутного трикутника ABC. Тепер, просто намалювавши поза прямокутним трикутником ABC квадрати зі сторонами, що дорівнюють кожній з його сторін, Ейнштейн отримав би 3 квадрати з площами, що дорівнюють ^a² , ^b² та ^c² .

Оскільки відношення площі прямокутного трикутника до площі квадрата на його гіпотенузі однакове для подібних трикутників, ми також матимемо ^𝑐² = ^𝑎² + ^𝑏² .

Ілюстративне фото.

Однак, це лише два з 370 доказів теореми Піфагора, які математики знайшли протягом останніх 2500 років. Від використання алгебри, математичного аналізу до різних геометричних розрізів, цю математичну теорему можна довести за допомогою методів, починаючи від простих і закінчуючи складними.

Однак, у всіх цих рішеннях немає доказу за допомогою тригонометричних формул. Оскільки теорема Піфагора сама по собі є фундаментальною теоремою в тригонометрії, її доведення за допомогою тригонометрії призвело б до пастки логічної помилки, яка називається круговим мисленням, коли ми використовуємо саму теорему Піфагора для доведення теореми Піфагора.

Математики неодноразово зазнавали невдачі в цьому завданні, настільки, що в 1927 році американський математик Еліша Луміс вигукнув: « Немає способу довести теорему Піфагора за допомогою тригонометрії, тому що всі основні тригонометричні формули повинні спиратися на правильність теореми Піфагора».

Але, як виявилося, Еліша Луміс помилявся.

Майже 100 років потому ці двоє учнів старших класів знайшли спосіб довести теорему Піфагора за допомогою тригонометрії.

У новому дослідженні, опублікованому в журналі American Mathematical Monthly, двоє студентів, Не'Кія Джексон та Калсія Джонсон з середньої школи Академії Святої Марії в Колорадо, представили не один, а 10 способів доведення теореми Піфагора за допомогою тригонометрії.

Не'Кія Джексон (ліворуч) та Калсія Джонсон (праворуч).

Щоб мати змогу це зробити, Джексон і Джонсон, як завжди, використовували прямокутний трикутник ABC. « Наше перше доведення починається з перевертання трикутника ABC відносно його сторони AC, щоб утворити рівнобедрений трикутник ABB », – написали вони у статті.

На наступному кроці вони побудують прямокутний трикутник AB'D, продовживши сторону AB до точки D так, щоб з D можна було опустити перпендикуляр до B'A.

На цьому етапі переконайтеся, що у вас достатньо паперу, оскільки AB'D — це трикутник із надзвичайно довгою стороною, і точка D, найімовірніше, виступатиме за край вашого паперу.

Потім з точки B опустіть перпендикуляр до BB', перетинаючи B'D в точці E. Потім з точки E опустіть перпендикуляр до перетину AD в точці F... І так далі до нескінченності, ви отримаєте нескінченну кількість подібних трикутників, сумарні площі яких дорівнюють площі трикутника AB'D:

Тепер важливий момент:

Джексон і Джонсон виявили, що оскільки BB' має довжину 2a, а трикутник B'EB подібний до трикутника ABC, вони можуть обчислити довжину сторони BE як 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Таким чином, сторони FG, GH можна обчислити як 2a ⁴ c/b ⁴ та 2a ⁶ c/b ⁶ …

Тоді довжина гіпотенузи AD дорівнюватиме сумі відрізків:

У трикутнику AB'D маємо:

З двох наведених вище формул отримуємо рівняння:

В якому, використовуючи суму базового збіжного ряду, отримуємо:

Відразу після публікації доказ теореми Піфагора, запропонований Джексоном і Джонсоном, привернув увагу математиків, зокрема Альваро Лосано-Робледо з Університету Коннектикуту.

« Це виглядало не так, як я будь-коли бачив», – сказав Лозано-Робледо. Ідея заповнити великий трикутник нескінченною кількістю менших трикутників, а потім обчислити довжини його сторін за допомогою збіжного ряду була несподіваним нововведенням для учня старшої школи.

Математик Альваро Лозано-Робледо з Університету Коннектикуту похвалив Не'Кію Джексона та Кальсі Джонсона.

« Деякі люди думають, що для вирішення нової проблеми потрібно роками навчатися в школі чи дослідницьких інститутах », – сказав Лозано-Робледо. « Але це доводить, що це можна зробити, ще навчаючись у старшій школі».

Джексон і Джонсон не лише довели теорему Піфагора абсолютно новим способом, але й підкреслили крихку межу концепції тригонометрії, сказали вони.

« Учні старших класів можуть не усвідомлювати, що з одним і тим самим терміном пов’язані дві версії тригонометрії. У такому разі спроба зрозуміти тригонометрію подібна до спроби зрозуміти картинку з двома різними зображеннями, надрукованими одне на одному », – кажуть вони.

Несподіване рішення теореми Піфагора прийшло від Джексона та Джонсона, які розділили ці дві тригонометричні варіації та використали інший фундаментальний закон тригонометрії – теорему синусів. Таким чином, дует уникнув замкнених кіл, з якими стикалися попередні математики, включаючи Елішу Луміса, коли намагалися довести теорему Піфагора за допомогою теореми Піфагора.

Ніхто ніколи не довів теорему Піфагора таким чином, навіть Альберт Ейнштейн.

«Їхні результати привернули увагу інших студентів до нової та багатообіцяючої перспективи », – сказала Делла Дамбо, головний редактор American Mathematical Monthly. коментар.

« Це також відкриє багато нових математичних дискусій », — каже Лозано-Робледо. « Саме тоді інші математики зможуть використовувати цю статтю, щоб узагальнити це доведення, узагальнити свої ідеї або просто використати цю ідею іншими способами».

Можна побачити, що нова сфера в математиці відкрилася після того, як Джексон і Джонсон намалювали мутантний « трикутник ». Трикутник, що виходить за край паперу, містить всередині петлю з нескінченних трикутників.

Тож наступного разу, коли ви розв'язуватимете геометричну задачу і натрапите на ребро, спробуйте намалювати його аж до самого ребра. Хто знає, можливо, ви зробите відкриття.

Джерело: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Джерело: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm