Rysując trójkąt wykraczający poza krawędź papieru, dwaj studenci niespodziewanie udowadniają 2500-letnie twierdzenie matematyczne

Co jest wyjątkowe, to fakt, że nikomu, nawet Albertowi Einsteinowi, nie udało się dotąd udowodnić tego twierdzenia w ten sposób.

W liceum wszyscy musieliśmy rozwiązywać zadania z geometrii. A kiedy już to zrobiliśmy, każdemu z nas przynajmniej raz przydarzyła się taka sytuacja: podczas rysowania figury zabrakło nam papieru.

Wszystkie takie przypadki dotyczą trójkąta „mutanta”, z dwoma niezwykle długimi bokami, dzięki czemu można je narysować aż do krawędzi papieru bez przecinania się. Jak poradziłbyś sobie z taką sytuacją?

Zdjęcie ilustracyjne.

Niektórzy uczniowie – bardzo kreatywni – kontynuują rysowanie kształtu na drugiej stronie kartki, czyli na jej odwrocie. Inni biorą kolejną kartkę i umieszczają ją pod pierwszą, aby dokończyć kształt. A jeśli masz chrapkę, możesz narysować trójkąt unoszący się na stole.

Niektórzy jednak pomyślą: Po co uparcie rysujesz ten „zmutowany” trójkąt? Po prostu rysuj, aż skończy się papier, a potem przestań. Nawet jeśli nie narysujesz całego kształtu na papierze, twoje rozwiązanie z pewnością nie jest poprawne.

Jednak nowe badanie opublikowane w czasopiśmie „American Mathematical Monthly” zmusi ich do ponownego przemyślenia tej kwestii. Czasami trójkąty na obrzeżach papieru mogą kryć nieoczekiwane matematyczne sekrety.

Konkretnie w tym przypadku, za pomocą „zmutowanego” trójkąta, dwaj uczniowie liceum w USA znaleźli sposób na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa, które przez ponad 2500 lat od momentu jego sformułowania uważano za „niemożliwe”.

Zdjęcie ilustracyjne.

Nikt nigdy nie udowodnił w ten sposób twierdzenia Pitagorasa, nawet Albert Einstein.

Twierdzenie Pitagorasa zostało nazwane na cześć starożytnego greckiego matematyka Pitagorasa (570–495 p.n.e.), który jako pierwszy je udowodnił. Istnieją jednak dowody na to, że matematycy z innych starożytnych cywilizacji, takich jak Babilon, Indie, Mezopotamia i Chiny, również niezależnie je odkryli :

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest zawsze równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków. Jeśli trójkąt prostokątny ma boki długości a i b, a przeciwprostokątna wynosi c, twierdzenie Pitagorasa wyraża się wzorem:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Gdyby nie twierdzenie Pitagorasa, starożytni Egipcjanie nie mogliby zbudować piramid.

Wydaje się, że to prosty wzór, ale bez znajomości twierdzenia Pitagorasa starożytni Egipcjanie nie byliby w stanie zbudować piramid, Babilończycy nie byliby w stanie obliczyć położenia gwiazd, a Chińczycy nie byliby w stanie podzielić lądu.

Twierdzenie to położyło podwaliny pod wiele szkół matematyki, takich jak geometria brył, geometria nieeuklidesowa i geometria różniczkowa - bez którego, lub gdyby okazało się, że jest błędne, niemal cała gałąź geometrii matematycznej znana ludzkości uległaby załamaniu.

Udowodnienie twierdzenia Pitagorasa było zatem niezwykle ważnym zadaniem. Już w 500 roku p.n.e. starożytny grecki matematyk Pitagoras podjął się tego zadania i po raz pierwszy zapisał się w historii.

Udowodnił twierdzenie Pitagorasa, stosując bardzo prostą metodę:

Zdjęcie ilustracyjne.

Narysuj kwadrat o bokach a+b. Następnie w każdym rogu narysuj 4 równe trójkąty o bokach a i b. Wszystkie te trójkąty są równymi trójkątami prostokątnymi z przeciwprostokątną c, które razem tworzą przestrzeń wewnątrz kwadratu o polu ^c₂ .

Następnie, po prostu zmieniając położenie tych czterech trójkątów, Pitagoras stworzył dwie nowe przestrzenie, które były dwoma kwadratami o bokach a i b. Całkowita powierzchnia tych dwóch przestrzeni wynosiła a ² + b ² , co oczywiście musiało być równe pierwotnej przestrzeni c ² .

To dowód, który znajdziesz w podręczniku do matematyki dla siódmej klasy gimnazjum. Ale istnieje jeszcze inny dowód twierdzenia Pitagorasa, którego być może nie znasz. To rozwiązanie, które Albert Einstein wymyślił, mając 11 lat.

Einstein zdał sobie wtedy sprawę, że jeśli poprowadzi wysokość AD prostopadle do przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC, otrzyma 2 trójkąty prostokątne podobne do trójkąta prostokątnego ABC. Teraz, rysując poza trójkątem prostokątnym ABC kwadraty o bokach równych bokom, Einstein otrzymałby 3 kwadraty o polach równych ^a₂ , ^b₂ i ^c₂ .

Ponieważ stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu opartego na jego przeciwprostokątnej jest taki sam w trójkątach podobnych, otrzymamy również 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Zdjęcie ilustracyjne.

To jednak tylko dwa z 370 dowodów twierdzenia Pitagorasa, które matematycy odkryli w ciągu ostatnich 2500 lat. Od algebry, rachunku różniczkowego i całkowego po rozmaite cięcia geometryczne, prawdziwość tego twierdzenia matematycznego można udowodnić metodami zarówno prostymi, jak i złożonymi.

Jednak we wszystkich tych rozwiązaniach nie ma dowodu za pomocą wzorów trygonometrycznych. Ponieważ Pitagoras sam w sobie jest fundamentalnym twierdzeniem trygonometrii, udowodnienie go za pomocą trygonometrii prowadziłoby do pułapki błędu logicznego, zwanego myśleniem kołowym, gdybyśmy używali samego twierdzenia Pitagorasa do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.

Matematycy wielokrotnie ponosili porażki w tym zadaniu, tak wielkie, że w 1927 roku amerykański matematyk Elisha Loomis wykrzyknął: „ Nie ma sposobu na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa za pomocą trygonometrii, ponieważ wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne muszą opierać się na poprawności twierdzenia Pitagorasa”.

Jak się jednak okazuje, Elisha Loomis się mylił.

Prawie 100 lat później dwójka uczniów liceum znalazła sposób na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa za pomocą trygonometrii.

W nowym badaniu opublikowanym w czasopiśmie American Mathematical Monthly dwoje uczniów, Ne'Kiya Jackson i Calcea Johnson ze szkoły średniej St. Mary's Academy w Kolorado, przedstawiło nie jeden, lecz 10 sposobów udowodnienia twierdzenia Pitagorasa za pomocą trygonometrii.

Ne'Kiya Jackson (po lewej) i Calcea Johnson (po prawej).

Aby móc to zrobić, Jackson i Johnson, jak zwykle, użyli trójkąta prostokątnego ABC. „ Nasz pierwszy dowód zaczynamy od odwrócenia trójkąta ABC względem jego boku AC, tworząc w ten sposób trójkąt równoramienny ABB ” – napisali obaj w artykule.

W następnym kroku skonstruują trójkąt prostokątny AB'D, przedłużając bok AB do punktu D tak, aby z D można było poprowadzić prostą prostopadłą do punktu B'A.

W tym momencie upewnij się, że masz wystarczająco dużo papieru, ponieważ AB'D to trójkąt o nietypowo długim boku, a punkt D najprawdopodobniej będzie wystawał poza krawędź papieru.

Następnie z punktu B poprowadzisz prostą prostopadłą do BB', przecinając B'D w punkcie E. Następnie z punktu E poprowadzisz prostą prostopadłą do przecięcia AD w punkcie F... I tak w nieskończoność, otrzymasz nieskończoną liczbę trójkątów podobnych, których łączne pola są równe polu trójkąta AB'D:

A teraz najważniejsza kwestia:

Jackson i Johnson odkryli, że ponieważ BB' ma długość 2a, a trójkąt B'EB jest podobny do trójkąta ABC, mogą obliczyć długość boku BE jako 2a ² /b. BF = 2A ² c / b ² . Zatem boki FG i GH można obliczyć jako 2a ⁴ c / b ⁴ i 2a ⁶ c / b ⁶ …

Wówczas długość przeciwprostokątnej AD będzie równa sumie odcinków:

W trójkącie AB'D mamy:

Z powyższych dwóch wzorów otrzymujemy równanie:

W którym, używając sumy szeregu zbieżnego bazowego, mamy:

Zaraz po opublikowaniu, dowód twierdzenia Pitagorasa autorstwa Jacksona i Johnsona przyciągnął uwagę matematyków, m.in. Álvara Lozano-Robledo z University of Connecticut.

„ Wyglądało to jak coś, czego nigdy wcześniej nie widziałem” – powiedział Lozano-Robledo. Pomysł wypełnienia dużego trójkąta nieskończenie wieloma mniejszymi trójkątami, a następnie obliczenia długości jego boków za pomocą szeregu zbieżnego, był nieoczekiwaną innowacją dla ucznia liceum.

Matematyk Álvaro Lozano-Robledo z Uniwersytetu Connecticut pochwalił Ne'Kiya Jacksona i Calceę Johnson.

„ Niektórzy uważają, że trzeba spędzić lata w szkole lub instytutach badawczych, aby rozwiązać nowy problem ” – powiedziała Lozano-Robledo. „ Ale to dowodzi, że można to zrobić, będąc jeszcze w szkole średniej”.

Jackson i Johnson nie tylko udowodnili twierdzenie Pitagorasa w zupełnie nowy sposób, ale ich rozwiązanie podkreśliło również delikatną granicę pojęcia trygonometrii – stwierdzili.

„ Uczniowie szkół średnich mogą nie zdawać sobie sprawy, że do tego samego terminu przypisane są dwie wersje trygonometrii. W takim przypadku próba zrozumienia trygonometrii przypomina próbę zrozumienia obrazka z dwoma różnymi obrazami nałożonymi na siebie ” – mówią.

Zaskakujące rozwiązanie twierdzenia Pitagorasa przyszło dzięki Jacksonowi i Johnsonowi, którzy rozdzielili te dwie wariacje trygonometryczne i wykorzystali inne fundamentalne prawo trygonometrii – twierdzenie sinusów. W ten sposób duet uniknął błędnego koła, z którym borykali się poprzedni matematycy, w tym Elisha Loomis, próbując udowodnić twierdzenie Pitagorasa za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Nikt nigdy nie udowodnił w ten sposób twierdzenia Pitagorasa, nawet Albert Einstein.

„Ich wyniki zwróciły uwagę innych studentów na nową i obiecującą perspektywę ” – powiedziała Della Dumbaugh, redaktor naczelna American Mathematical Monthly. komentarz.

„ Otworzy to również wiele nowych dyskusji matematycznych ” – mówi Lozano-Robledo. „ To wtedy inni matematycy będą mogli wykorzystać tę pracę do uogólnienia tego dowodu, uogólnienia swoich idei lub po prostu wykorzystać tę ideę w inny sposób”.

Widać, że po narysowaniu przez Jacksona i Johnsona zmutowanego „ trójkąta ” otworzył się nowy rozdział w matematyce. Trójkąt wystający poza krawędź papieru zawiera w sobie pętlę nieskończonych trójkątów.

Więc następnym razem, gdy będziesz rozwiązywać zadanie geometryczne i natrafisz na krawędź, spróbuj narysować ją aż do samej krawędzi. Kto wie, może uda ci się dokonać odkrycia.

Źródło: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Source: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm