دو دانشجو با رسم مثلثی که از لبه کاغذ سرریز می‌شود، به طور غیرمنتظره‌ای یک قضیه ریاضی ۲۵۰۰ ساله را اثبات می‌کنند.

نکته‌ی خاص این است که هیچ‌کس تا به حال این قضیه را به این روش اثبات نکرده است، حتی آلبرت انیشتین.

در دبیرستان، همه ما مجبور بوده‌ایم مسائل هندسه را حل کنیم. و وقتی مسائل هندسه را حل کردیم، همه ما حداقل یک بار با این موقعیت مواجه شده‌ایم: هنگام ترسیم یک شکل، کاغذمان تمام می‌شود.

همه این موارد شامل یک مثلث «جهش‌یافته» با دو ضلع غیرمعمول بلند است، به طوری که می‌توان آنها را بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند، تا لبه کاغذ کشید. چگونه با این وضعیت برخورد می‌کنید؟

عکس تصویرسازی.

بعضی از دانش‌آموزان - بسیار خلاقانه - رسم شکل را تا طرف دیگر کاغذ، که پشت کاغذ است، ادامه می‌دهند. بعضی دیگر یک ورق کاغذ دیگر برمی‌دارند و آن را زیر ورق اول قرار می‌دهند تا شکل را کامل کنند. یا اگر در تنگنا هستید، می‌توانید مثلث شناور روی میز را بکشید.

با این حال، بعضی‌ها فکر می‌کنند: چرا اصرار داری آن مثلث «جهش‌یافته» را بکشی؟ فقط آنقدر بکش تا کاغذ تمام شود، بعد دست از کار بکش. حتی اگر کل شکل را روی کاغذ نکشی، راه‌حلت قطعاً درست نیست.

اما یک مطالعه جدید در مجله American Mathematical Monthly اکنون آنها را به فکر فرو خواهد برد. گاهی اوقات، مثلث‌های روی کاغذ می‌توانند اسرار ریاضی غیرمنتظره‌ای را پنهان کنند.

به طور خاص در این مورد، با یک مثلث «جهش‌یافته»، دو دانش‌آموز دبیرستانی در ایالات متحده راهی برای اثبات قضیه فیثاغورث پیدا کردند، که زمانی بیش از ۲۵۰۰ سال، از زمان بیان آن، «غیرممکن» تلقی می‌شد.

عکس تصویرسازی.

هیچ کس تا به حال قضیه فیثاغورث را به این روش اثبات نکرده است، حتی آلبرت انیشتین.

قضیه فیثاغورس به نام ریاضیدان یونان باستان، فیثاغورس (570-495 پیش از میلاد) نامگذاری شده است که اولین بار آن را اثبات کرد، اگرچه شواهدی وجود دارد که نشان می‌دهد ریاضیدانان در سایر تمدن‌های باستانی مانند بابل، هند، بین‌النهرین و چین نیز به طور مستقل آن را کشف کرده‌اند :

اینکه در یک مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر همیشه برابر با مجموع مربعات طول دو ضلع دیگر است. اگر یک مثلث قائم‌الزاویه دارای اضلاع به طول a و b باشد و وتر c باشد، آنگاه قضیه فیثاغورث با فرمول زیر بیان می‌شود:

^۲ = ^۲ + ^۲

اگر قضیه فیثاغورث نبود، مصریان باستان نمی‌توانستند اهرام را بسازند.

به نظر فرمول ساده‌ای می‌آید، اما بدون دانستن قضیه فیثاغورث، مصریان باستان نمی‌توانستند اهرام را بسازند، بابلی‌ها نمی‌توانستند موقعیت ستارگان را محاسبه کنند و چینی‌ها نمی‌توانستند زمین را تقسیم کنند.

این قضیه همچنین پایه و اساس بسیاری از مکاتب ریاضیات مانند هندسه فضایی، هندسه نااقلیدسی و هندسه دیفرانسیل را بنا نهاد - که بدون آن، یا اگر اشتباه بودن آن ثابت می‌شد، تقریباً تمام شاخه هندسه ریاضیات که امروزه برای بشر شناخته شده است، فرو می‌ریخت.

بنابراین اثبات قضیه فیثاغورث کار بسیار مهمی بود. در اوایل سال ۵۰۰ قبل از میلاد، ریاضیدان یونان باستان، فیثاغورث، این کار را انجام داد و برای اولین بار نام خود را در تاریخ ثبت کرد.

او قضیه فیثاغورث را با استفاده از یک روش بسیار ساده اثبات کرد:

عکس تصویرسازی.

یک مربع با طول اضلاع a+b رسم کنید. سپس، در هر گوشه، به رسم ۴ مثلث مساوی با اضلاع a و b ادامه دهید. این مثلث‌ها همگی مثلث‌های قائم‌الزاویه مساوی با وتر c هستند و با هم فضایی درون مربع با مساحت c ^{^2} ایجاد می‌کنند.

سپس، تنها با جابه‌جایی جای آن ۴ مثلث، فیثاغورث دو فضای جدید ایجاد کرد که دو مربع با اضلاع a و b بودند. مساحت کل آن دو فضا برابر بود با a^ ² + b^ ² که البته باید با فضای اولیه c^ ² برابر می‌بود.

این اثباتی است که در کتاب ریاضی کلاس هفتم خود در دوره راهنمایی پیدا خواهید کرد. اما اثبات دیگری برای قضیه فیثاغورث وجود دارد که ممکن است آن را یاد نگرفته باشید. این راه حلی است که آلبرت انیشتین در ۱۱ سالگی به آن رسید.

انیشتین سپس متوجه شد که اگر ارتفاع AD را عمود بر وتر BC مثلث قائم‌الزاویه ABC قرار دهد، دو مثلث قائم‌الزاویه مشابه مثلث قائم‌الزاویه ABC به دست خواهد آورد. اکنون، تنها با رسم مربع‌هایی در خارج از مثلث قائم‌الزاویه ABC با اضلاع برابر با هر یک از اضلاع آن، انیشتین 3 مربع با مساحت‌های برابر با a^ ² ، b^ ² و c^ ² به دست خواهد آورد.

از آنجایی که نسبت مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه به مساحت مربعی که روی وتر آن قرار دارد، برای مثلث‌های مشابه یکسان است، بنابراین خواهیم داشت ^{: 𝑐۲} = ^𝑎۲ + ^𝑏۲ .

عکس تصویرسازی.

با این حال، اینها تنها دو مورد از ۳۷۰ اثبات قضیه فیثاغورث هستند که ریاضیدانان در طول ۲۵۰۰ سال گذشته پیدا کرده‌اند. از جبر و حساب دیفرانسیل و انتگرال گرفته تا برش‌های هندسی مختلف، می‌توان درستی این قضیه ریاضی را با استفاده از روش‌هایی از آسان تا پیچیده اثبات کرد.

با این حال، در تمام این راه‌حل‌ها، هیچ اثباتی با استفاده از فرمول‌های مثلثاتی وجود ندارد. از آنجایی که خود فیثاغورث یک قضیه اساسی در مثلثات است، اثبات آن با استفاده از مثلثات، هنگامی که از خود قضیه فیثاغورث برای اثبات قضیه فیثاغورث استفاده می‌کنیم، ما را به دام مغالطه منطقی، به نام تفکر دایره‌ای، می‌اندازد.

ریاضیدانان بارها در این کار شکست خورده‌اند، به طوری که در سال ۱۹۲۷، الیشا لومیس، ریاضیدان آمریکایی، اظهار داشت: « هیچ راهی برای اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلثات وجود ندارد، زیرا تمام فرمول‌های اساسی مثلثاتی باید بر صحت قضیه فیثاغورث متکی باشند.»

اما همانطور که معلوم شد، الیشا لومیس اشتباه می‌کرد.

تقریباً ۱۰۰ سال بعد، این دو دانش‌آموز دبیرستانی راهی برای اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلثات پیدا کرده‌اند.

در یک مطالعه جدید که در مجله American Mathematical Monthly منتشر شده است، دو دانش‌آموز به نام‌های نِکیا جکسون و کالسیا جانسون از دبیرستان سنت مری در کلرادو، نه یک، بلکه 10 روش برای اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلثات ارائه دادند.

نِکیا جکسون (چپ) و کالسیا جانسون (راست).

برای اینکه بتوانید این کار را انجام دهید، جکسون و جانسون طبق معمول از مثلث قائم‌الزاویه ABC استفاده کردند. این دو نفر در مقاله خود نوشتند: « اولین اثبات ما با چرخاندن مثلث ABC بر روی ضلع AC آن برای تشکیل مثلث متساوی‌الساقین ABB آغاز می‌شود .»

در مرحله بعد، آنها یک مثلث قائم‌الزاویه AB'D می‌سازند، با امتداد دادن ضلع AB تا نقطه D به طوری که از نقطه D بتوانند خطی عمود بر B'A رسم کنند.

در این مرحله، مطمئن شوید که کاغذ کافی دارید، زیرا AB'D مثلثی با ضلع غیرمعمول بلند است و نقطه D به احتمال زیاد از لبه کاغذ شما بیرون خواهد زد.

سپس، از نقطه B، یک خط عمود بر BB' رسم کنید که B'D را در E قطع می‌کند. سپس از E، یک خط عمود رسم کنید تا AD را در F قطع کند... و به همین ترتیب تا بی‌نهایت ادامه دهید، تعداد نامتناهی مثلث مشابه خواهید داشت که مساحت‌های ترکیبی آنها برابر با مساحت مثلث AB'D است:

حالا نکته مهم:

جکسون و جانسون دریافتند که از آنجایی که BB' طولی برابر با 2a دارد و مثلث B'EB مشابه مثلث ABC است، می‌توانند طول ضلع BE را به صورت 2a ^{^2} /b محاسبه کنند. BF=2A ^{^2c} /b ^{^2} . بنابراین، اضلاع FG و GH را می‌توان به صورت 2a ^{^4c} /b^ ⁴ و 2a ^{^6c} /b^ ⁶ محاسبه کرد…

سپس، طول وتر AD برابر با مجموع پاره خط‌ها خواهد بود:

در مثلث AB'D داریم:

از دو فرمول بالا، معادله زیر را بدست می‌آوریم:

که در آن، با استفاده از مجموع یک سری همگرای پایه، عبارت است از:

بلافاصله پس از انتشار، اثبات قضیه فیثاغورث توسط جکسون و جانسون، ریاضیدانان، از جمله آلوارو لوزانو-روبلد، از دانشگاه کنتیکت را به خود جلب کرد.

لوزانو-روبلد گفت: « شبیه هیچ چیزی نبود که قبلاً دیده بودم.» ایده پر کردن یک مثلث بزرگ با بی‌نهایت مثلث کوچک‌تر و سپس محاسبه طول اضلاع آن با استفاده از یک سری همگرا، یک نوآوری غیرمنتظره برای یک دانش‌آموز دبیرستانی بود.

آلوارو لوزانو روبلدو، ریاضیدان از دانشگاه کانکتیکات، نکیا جکسون و کالسیا جانسون را ستود.

لوزانو-روبلد گفت: « بعضی‌ها فکر می‌کنند که برای حل یک مسئله جدید، باید سال‌ها در مدرسه یا مؤسسات تحقیقاتی وقت صرف کرد . اما این ثابت می‌کند که می‌توان این کار را در دوران دبیرستان انجام داد.»

آنها گفتند که جکسون و جانسون نه تنها قضیه فیثاغورث را به روشی کاملاً جدید اثبات کردند، بلکه راه حل آنها بر مرز شکننده‌ای از مفهوم مثلثات نیز تأکید داشت.

آنها می‌گویند: « دانش‌آموزان دبیرستانی ممکن است متوجه نشوند که دو نسخه از مثلثات به یک اصطلاح متصل هستند. در این صورت، تلاش برای درک مثلثات مانند تلاش برای درک تصویری است که دو تصویر مختلف روی هم چاپ شده‌اند .»

راه حل شگفت انگیز قضیه فیثاغورس از جدا کردن این دو تغییر مثلثاتی توسط جکسون و جانسون و استفاده از قانون اساسی دیگر مثلثات، قانون سینوس‌ها، حاصل شد. به این ترتیب، این دو نفر از دور باطلی که ریاضیدانان قبلی، از جمله الیشا لومیس، هنگام تلاش برای اثبات قضیه فیثاغورس با استفاده از قضیه فیثاغورس با آن مواجه شدند، اجتناب کردند.

هیچ کس تا به حال قضیه فیثاغورث را به این روش اثبات نکرده است، حتی آلبرت انیشتین.

دلا دامبا، سردبیر ماهنامه ریاضی آمریکا، گفت: «نتایج آنها توجه سایر دانشجویان را به دیدگاهی جدید و امیدوارکننده جلب کرده است .» نظر بدهید.

لوزانو-روبلد می‌گوید: « همچنین این مقاله، گفتگوهای جدید ریاضی زیادی را آغاز خواهد کرد . آن زمان است که ریاضیدانان دیگر می‌توانند از این مقاله برای تعمیم آن اثبات، تعمیم ایده‌های خود یا به سادگی استفاده از آن ایده به روش‌های دیگر استفاده کنند.»

می‌توان دید که پس از ترسیم « مثلث » جهش‌یافته توسط جکسون و جانسون، عرصه جدیدی در ریاضیات گشوده شد. مثلثی که از لبه کاغذ فراتر می‌رود، درون خود حلقه‌ای از مثلث‌های بی‌پایان را جای می‌دهد.

بنابراین دفعه‌ی بعد که در حال حل یک مسئله‌ی هندسی هستید و به یک لبه برخوردید، سعی کنید آن را تا لبه بکشید. چه کسی می‌داند، شاید کشفی انجام دهید.

منبع: Sciencealert، Sciencenews، Tandfonline

منبع: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm