Al dibujar un triángulo que sobresale del borde del papel, dos estudiantes demuestran inesperadamente un teorema matemático de 2.500 años de antigüedad.

Lo especial es que nadie ha demostrado el teorema de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

En la preparatoria, todos hemos tenido que resolver problemas de geometría. Y una vez que lo hemos hecho, todos nos hemos encontrado con esta situación al menos una vez: mientras dibujamos una figura, nos quedamos sin papel.

Todos estos casos involucran un triángulo "mutante", con dos lados inusualmente largos, de modo que, por mucho que los dibujes, no se intersecan. ¿Cómo manejarías esta situación?

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Algunos estudiantes, con mucha creatividad, seguirán dibujando la figura en otra dimensión, que es el reverso del papel. Otros tomarán otra hoja de papel y la colocarán debajo de la primera para completar la figura. O, si no tienes mucho tiempo, puedes dibujar el triángulo flotando sobre la mesa.

Sin embargo, algunos pensarán: ¿Por qué insistes en dibujar ese triángulo "mutante"? Simplemente dibuja hasta que se acabe el papel y luego detente. Aunque no puedas dibujar la forma completa en el papel, tu solución definitivamente no es correcta.

Pero un nuevo estudio publicado en la revista American Mathematical Monthly les hará reflexionar. A veces, los triángulos en el exterior de una hoja de papel pueden ocultar secretos matemáticos inesperados.

En concreto en este caso, con un triángulo “mutante”, dos estudiantes de secundaria en Estados Unidos encontraron una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, que en su día se consideró “imposible” durante más de 2.500 años, desde que fue enunciado.

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Nadie ha demostrado jamás el teorema de Pitágoras de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

El teorema de Pitágoras recibe su nombre del antiguo matemático griego Pitágoras (570–495 a. C.), quien lo demostró por primera vez, aunque hay evidencia de que los matemáticos de otras civilizaciones antiguas como Babilonia, India, Mesopotamia y China también lodescubrieron de forma independiente:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa siempre es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si un triángulo rectángulo tiene lados de longitud a y b e hipotenusa c, entonces el Teorema de Pitágoras se expresa mediante la fórmula:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Si no fuera por el Teorema de Pitágoras, los antiguos egipcios no habrían podido construir las pirámides.

Parece una fórmula sencilla, pero sin conocer el Teorema de Pitágoras, los antiguos egipcios no habrían podido construir las pirámides, los babilonios no habrían podido calcular la posición de las estrellas y los chinos no habrían podido dividir la tierra.

Este teorema también sentó las bases para muchas escuelas de matemáticas, como la geometría sólida, la geometría no euclidiana y la geometría diferencial, sin las cuales, o si se demostrara que era errónea, casi toda la rama de la geometría de las matemáticas conocida hoy por la humanidad colapsaría.

Demostrar el Teorema de Pitágoras fue, por lo tanto, una tarea crucial. Ya en el año 500 a. C., el matemático griego Pitágoras asumió esta tarea y se hizo famoso por primera vez en la historia.

Demostró el Teorema de Pitágoras utilizando un método muy simple:

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Dibuja un cuadrado con lados a+b. Luego, en cada vértice, dibuja cuatro triángulos iguales, con lados a y b. Estos triángulos son rectángulos iguales, con hipotenusa c, y juntos crean un espacio dentro del cuadrado con área ^c² .

Luego, con solo reorganizar las posiciones de esos cuatro triángulos, Pitágoras creó dos nuevos espacios, que son dos cuadrados de lados a y b. El área total de estos dos espacios es ^a² + ^b² , que, por supuesto, debe ser igual al espacio original ^c² .

Esta es la demostración que encontrarás en un libro de texto de matemáticas de séptimo grado en secundaria. Pero hay otra demostración del teorema de Pitágoras que quizás no conozcas. Es la que Albert Einstein ideó cuando tenía solo 11 años.

Einstein se dio cuenta entonces de que si descendía una altura AD perpendicular a la hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC, obtendría dos triángulos rectángulos semejantes al triángulo rectángulo ABC. Ahora bien, simplemente dibujando fuera del triángulo rectángulo ABC cuadrados con lados iguales a cada uno de sus lados, Einstein obtendría tres cuadrados con áreas iguales a ^a² , ^b² y ^c² .

Como la relación entre el área de un triángulo rectángulo y el área de un cuadrado sobre su hipotenusa es la misma para triángulos similares, también tendremos 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Sin embargo, estas son solo dos de las 370 demostraciones del Teorema de Pitágoras que los matemáticos han encontrado en los últimos 2500 años. Desde el álgebra y el cálculo hasta diversos cortes geométricos, este teorema matemático puede demostrarse mediante métodos que van desde los más sencillos hasta los más complejos.

Sin embargo, en todas estas soluciones no existe demostración mediante fórmulas trigonométricas. Dado que Pitágoras es un teorema fundamental en trigonometría, demostrarlo mediante trigonometría nos llevaría a una falacia lógica, llamada pensamiento circular, al usar el propio teorema de Pitágoras para demostrar el teorema de Pitágoras.

Los matemáticos han fracasado repetidamente en esta tarea, tanto que en 1927, el matemático estadounidense Elisha Loomis exclamó: " No hay forma de demostrar el Teorema de Pitágoras mediante trigonometría porque todas las fórmulas trigonométricas básicas deben basarse en la corrección del Teorema de Pitágoras".

Pero resultó que Elisha Loomis estaba equivocado.

Casi 100 años después, estos dos estudiantes de secundaria encontraron una manera de demostrar el Teorema de Pitágoras usando trigonometría.

En un nuevo estudio publicado en la revista American Mathematical Monthly, dos estudiantes, Ne'Kiya Jackson y Calcea Johnson de St. Mary's Academy High School en Colorado, presentaron no una, sino diez formas de demostrar el Teorema de Pitágoras usando trigonometría.

Ne'Kiya Jackson (izquierda) y Calcea Johnson (derecha).

Para poder hacer esto, Jackson y Johnson usaron un triángulo rectángulo ABC como de costumbre. « Nuestra primera demostración comienza invirtiendo el triángulo ABC sobre su lado AC para formar un triángulo isósceles ABB' », escribieron en el artículo.

En el siguiente paso, construirán un triángulo rectángulo AB'D, extendiendo el lado AB hasta el punto D, de modo que desde D puedan trazar una perpendicular a B'A.

En este punto, asegúrate de tener suficiente papel, porque AB'D es un triángulo con un lado inusualmente largo y el punto D probablemente sobresaldrá del borde del papel.

Luego, desde el punto B, trazarás una perpendicular a BB', cortando a B'D en E. Luego, desde E, trazarás una perpendicular para cortar a AD en F... Y así hasta el infinito, obtendrás innumerables triángulos similares cuyas áreas combinadas son iguales al área del triángulo AB'D:

Ahora el punto importante:

Jackson y Johnson descubrieron que, dado que BB' tiene una longitud de 2a y que el triángulo B'EB es semejante al triángulo ABC, pudieron calcular la longitud del lado BE como 2a ² /b. BF = 2A ² c/b ² . Por lo tanto, los lados FG y GH se pueden calcular como 2a ⁴ c/b ⁴ y 2a ⁶ c/b ⁶ …

Entonces, la longitud de la hipotenusa AD será igual a la suma de los segmentos de recta:

En el triángulo AB'D, tenemos:

A partir de las dos fórmulas anteriores, podemos establecer la ecuación:

En el cual, utilizando la suma de una serie convergente básica se obtiene:

Inmediatamente después de su publicación, la prueba del Teorema de Pitágoras de Jackson y Johnson atrajo a matemáticos, entre ellos Álvaro Lozano-Robledo, de la Universidad de Connecticut.

" No se parecía a nada que hubiera visto antes", dijo Lozano-Robledo. La idea de rellenar un triángulo grande con una infinidad de triángulos más pequeños y luego calcular la longitud de sus lados mediante una serie convergente fue una innovación inesperada para un estudiante de secundaria.

El matemático Álvaro Lozano-Robledo de la Universidad de Connecticut elogió a Ne'Kiya Jackson y Calcea Johnson.

“ Hay quienes creen que hay que pasar años en la escuela o en institutos de investigación para resolver un nuevo problema ”, dijo Lozano-Robledo. “ Pero esto demuestra que se puede lograr desde la secundaria”.

Jackson y Johnson no sólo demostraron el Teorema de Pitágoras de una manera completamente nueva, sino que su solución también subrayó un límite delicado del concepto de trigonometría, dijeron.

" Los estudiantes de secundaria pueden no darse cuenta de que hay dos versiones de trigonometría asociadas al mismo término. En ese caso, tratar de comprender la trigonometría es como tratar de comprender una imagen con dos imágenes diferentes impresas una encima de la otra ", dicen.

La sorprendente solución al Teorema de Pitágoras provino de Jackson y Johnson, quienes separaron estas dos variantes trigonométricas y utilizaron otra ley fundamental de la trigonometría: la Ley de Senos. De esta manera, ambos evitaron los círculos viciosos que matemáticos anteriores, como Elisha Loomis, habían encontrado al intentar demostrar el Teorema de Pitágoras mediante el Teorema de Pitágoras.

Nadie ha demostrado jamás el teorema de Pitágoras de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

"Sus resultados han atraído la atención de otros estudiantes hacia una perspectiva nueva y prometedora ", dijo Della Dumbaugh, editora en jefe de American Mathematical Monthly. comentario.

“ También abrirá muchas nuevas conversaciones matemáticas ”, dijo Lozano-Robledo. “ Es entonces cuando otros matemáticos podrán usar este artículo para generalizar esa demostración, generalizar sus ideas o simplemente usar esa idea de otras maneras”.

Se puede observar que se abrió un nuevo camino en las matemáticas después de que Jackson y Johnson dibujaran el " triángulo " mutante. Un triángulo que se extiende más allá del borde del papel contiene en su interior un bucle de triángulos infinitos.

Así que la próxima vez que resuelvas un problema de geometría y te encuentres con una arista, intenta dibujarla hasta el borde. Quién sabe, quizá descubras algo.

Fuente: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Fuente: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm