Al dibujar un triángulo que sobresale del borde del papel, dos estudiantes demuestran inesperadamente un teorema matemático de 2.500 años de antigüedad.

Lo especial es que nadie ha demostrado el teorema de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

En la escuela secundaria, todos tuvimos que resolver problemas de geometría espacial. Y una vez que hayas resuelto un problema de geometría, todos nos hemos encontrado al menos una vez con esta situación: mientras dibujamos una figura, nos quedamos sin papel.

Todos estos casos implican un triángulo "mutante", con dos lados inusualmente largos, de modo que incluso si se dibujan hasta el borde del papel, aún así no se intersecan. En esta situación ¿Cómo lo abordarías?

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Algunos estudiantes -muy creativos- continuarán dibujando la imagen en otra dimensión, que es el reverso del papel. Otros tomarán otra hoja de papel y la colocarán debajo de la hoja vieja para continuar dibujando y completar la forma. O si la situación es demasiado urgente, puedes dibujar un triángulo flotando sobre la mesa.

Sin embargo, algunas personas argumentarán: ¿Por qué tenemos que dibujar obstinadamente ese triángulo "mutante"? Simplemente dibuja hasta que se acabe el papel y luego detente. Incluso si no dibujas la forma completa en el papel, tu solución definitivamente no es correcta.

Pero un nuevo estudio publicado en la revista American Mathematical Monthly les hará pensarlo nuevamente. A veces la parte triangular exterior del papel puede ocultar misterios matemáticos inesperados.

En concreto en este caso, con un triángulo “mutante”, dos estudiantes de secundaria en Estados Unidos encontraron una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, que en su día se consideró “imposible” durante más de 2.500 años, desde que fue enunciado.

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Nadie ha demostrado jamás el teorema de Pitágoras de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

El teorema de Pitágoras recibe su nombre del antiguo matemático griego Pitágoras (570–495 a. C.), quien lo demostró por primera vez, aunque hay evidencia de que los matemáticos de otras civilizaciones antiguas como Babilonia, India, Mesopotamia y China también lodescubrieron de forma independiente:

Que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa siempre es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si un triángulo rectángulo tiene dos lados de longitud a y b, y la hipotenusa es c, entonces el Teorema de Pitágoras se expresa mediante la fórmula:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Si no fuera por el Teorema de Pitágoras, los antiguos egipcios no habrían podido construir las pirámides.

Parece una fórmula sencilla, pero sin conocer el Teorema de Pitágoras, los antiguos egipcios no habrían podido construir las pirámides, los babilonios no habrían podido calcular la posición de las estrellas y los chinos no habrían podido dividir la tierra.

Este teorema también sentó las bases para muchas escuelas de matemáticas, como la geometría sólida, la geometría no euclidiana y la geometría diferencial, sin las cuales, o si se demostrara que era errónea, casi toda la rama de la geometría de las matemáticas conocida hoy por la humanidad colapsaría.

Demostrar que el Teorema de Pitágoras es verdadero es, por tanto, una tarea muy importante. Por ello, ya en el año 500 a. C., el antiguo matemático griego Pitágoras se encargó de esta tarea y se hizo un nombre en la historia.

Demostró el Teorema de Pitágoras utilizando un método muy simple:

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Dibuja un cuadrado con lados de longitud a+b. Luego, en cada esquina, continúa dibujando 4 triángulos iguales, con lados a y b. Estos triángulos son todos triángulos rectángulos iguales, con hipotenusa c y juntos crean un espacio dentro de un cuadrado con área c ² .

Luego, simplemente reordenando las posiciones de esos cuatro triángulos, Pitágoras creó dos nuevos espacios, que eran dos cuadrados con lados a y b. El área total de los dos espacios es a ² + b ² , que por supuesto debe ser igual al espacio original c ² .

Esta es la prueba que encontrarás en un libro de texto de matemáticas de séptimo grado en la escuela secundaria. Pero hay otra forma de demostrar el teorema de Pitágoras que quizás no hayas aprendido. Ésta fue la solución que se le ocurrió a Albert Einstein cuando tenía sólo 11 años.

Einstein se dio cuenta entonces de que si dejaba caer una altura AD perpendicular a la hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC, obtendría dos triángulos rectángulos similares al triángulo rectángulo ABC. Ahora, con sólo dibujar fuera del triángulo rectángulo ABC cuadrados cuyos lados sean cada uno de sus lados, Einstein obtendrá 3 cuadrados con áreas iguales a a ² , b ² y c ² .

Como la razón del área de un triángulo rectángulo al área de un cuadrado sobre su hipotenusa es la misma para triángulos semejantes, también tendremos 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Sin embargo, éstas son sólo dos de las 370 pruebas del Teorema de Pitágoras que los matemáticos han encontrado en los últimos 2.500 años. Desde el uso del álgebra y el cálculo hasta varios cortes geométricos, este teorema matemático se puede demostrar como verdadero utilizando métodos que van desde los más simples a los más complejos.

Sin embargo, en todas estas soluciones no existe prueba alguna mediante fórmulas trigonométricas. Dado que Pitágoras en sí es un teorema fundamental en trigonometría, demostrarlo usando trigonometría nos llevaría a una trampa de falacia lógica, llamada pensamiento circular, cuando usamos el propio Teorema de Pitágoras para demostrar el Teorema de Pitágoras.

Los matemáticos han fracasado repetidamente en esta tarea, tanto que en 1927, el matemático estadounidense Elisha Loomis exclamó: " No hay forma de demostrar el Teorema de Pitágoras mediante trigonometría porque todas las fórmulas trigonométricas básicas deben basarse en la corrección del Teorema de Pitágoras".

Pero resultó que Elisha Loomis estaba equivocado.

Casi 100 años después, estos dos estudiantes de secundaria encontraron una manera de demostrar el Teorema de Pitágoras usando trigonometría.

En un nuevo estudio publicado en la revista American Mathematical Monthly, dos estudiantes, Ne'Kiya Jackson y Calcea Johnson de la Academia St. Mary's en Colorado, presentaron no una sino diez pruebas del Teorema de Pitágoras usando trigonometría.

Ne'Kiya Jackson (izquierda) y Calcea Johnson (derecha).

Para poder hacer esto, Jackson y Johnson utilizaron un triángulo rectángulo ABC como de costumbre. " Nuestra primera prueba comienza volteando el triángulo ABC sobre su lado AC para formar un triángulo isósceles ABB' ", escribió el dúo en el artículo.

En el siguiente paso, construirán un triángulo rectángulo AB'D, extendiendo el lado AB hasta el punto D, de modo que desde D puedan trazar una perpendicular a B'A.

En este punto, asegúrate de tener suficiente papel, porque AB'D es un triángulo con un lado inusualmente largo y el punto D probablemente sobresaldrá del borde del papel.

Luego, desde el punto B, trazarás una perpendicular a BB', cortando a B'D en E. Luego, desde E, trazarás una perpendicular para cortar a AD en F... Y así hasta el infinito, obtendrás innumerables triángulos semejantes cuyas áreas combinadas son iguales al área del triángulo AB'D:

Ahora el punto importante:

Jackson y Johnson descubrieron que como BB' tiene una longitud de 2a y el triángulo B'EB es similar al triángulo ABC, pudieron calcular que la longitud del lado BE es 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Por tanto, las aristas FG, GH se pueden calcular mediante 2a ⁴ c/b ⁴ y 2a ⁶ c/b ⁶ …

Entonces, la longitud de la hipotenusa AD será igual a la suma de los segmentos de recta:

En el triángulo AB'D, tenemos:

De las dos fórmulas anteriores, obtenemos la ecuación:

En el cual, utilizando la suma de una serie convergente básica se obtiene:

Inmediatamente después de su publicación, la prueba del Teorema de Pitágoras de Jackson y Johnson atrajo a matemáticos, entre ellos Álvaro Lozano-Robledo, de la Universidad de Connecticut.

“ No se parecía a nada que hubiera visto antes”, dijo Lozano-Robledo. La idea de llenar un triángulo grande con infinitos triángulos más pequeños y luego calcular las longitudes de sus lados utilizando una serie convergente es una innovación inesperada para un estudiante de secundaria.

El matemático Álvaro Lozano-Robledo de la Universidad de Connecticut elogia a Ne'Kiya Jackson y Calcea Johnson.

“ Algunas personas piensan que alguien tiene que pasar años en el mundo académico o en institutos de investigación para resolver un problema nuevo ”, dice Lozano-Robledo. " Pero esta solución demuestra que se puede hacer incluso cuando estás en la escuela secundaria".

Jackson y Johnson no sólo demostraron el Teorema de Pitágoras de una manera completamente nueva, sino que su solución también subrayó un límite delicado del concepto de trigonometría, dijeron.

" Los estudiantes de secundaria pueden no darse cuenta de que hay dos versiones de trigonometría asociadas al mismo término. En ese caso, tratar de comprender la trigonometría es como tratar de comprender una imagen con dos imágenes diferentes impresas una encima de la otra ", dicen.

La sorprendente solución al Teorema de Pitágoras provino de Jackson y Johnson, quienes separaron estas dos variaciones trigonométricas y utilizaron otra ley fundamental de la trigonometría: la Ley de los Senos. De esta manera, el dúo evitó los círculos viciosos que encontraron los matemáticos anteriores, incluido Elisha Loomis, cuando intentaron demostrar el Teorema de Pitágoras utilizando el propio Teorema de Pitágoras.

Nadie ha demostrado jamás el teorema de Pitágoras de esta manera, ni siquiera Albert Einstein.

"Sus resultados han atraído la atención de otros estudiantes hacia una perspectiva nueva y prometedora ", dijo Della Dumbaugh, editora en jefe de American Mathematical Monthly. comentario.

“ También abrirá muchas nuevas conversaciones matemáticas ”, dice Lozano-Robledo. " Es entonces cuando otros matemáticos pueden usar este artículo para generalizar esa prueba, generalizar sus ideas o simplemente usar esa idea de otras maneras".

Se puede ver que un nuevo terreno en las matemáticas se abrió después de que Jackson y Johnson dibujaron el " triángulo " mutante. Un triángulo que se extiende desde el borde del papel contiene un bucle de triángulos infinitos.

Así que la próxima vez que estés resolviendo un problema de geometría y te encuentres con un borde, intenta dibujarlo a lo largo de todo su recorrido. Quién sabe, quizás puedas hacer un nuevo descubrimiento.

Fuente: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Fuente: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm