Нарисовав треугольник, выходящий за край бумаги, двое студентов неожиданно доказали математическую теорему, которой 2500 лет.

Примечательно то, что никто никогда не доказал эту теорему таким образом, даже Альберт Эйнштейн.

В старших классах школы нам всем приходилось решать задачи по пространственной геометрии. И каждый, решив геометрическую задачу, хотя бы раз сталкивался с такой ситуацией: во время рисования фигуры у вас заканчивается бумага.

Во всех подобных случаях речь идет о «мутировавшем» треугольнике с двумя необычно длинными сторонами, так что даже если нарисовать его до самого края бумаги, они все равно не пересекутся. Как бы вы поступили в этой ситуации?

Иллюстрация фото.

Некоторые ученики — очень креативные — продолжат рисовать изображение в другом измерении, то есть на обратной стороне листа. Другие берут еще один лист бумаги и кладут его под старый лист, чтобы продолжить рисовать и завершить форму. Или, если ситуация слишком срочная, вы можете нарисовать треугольник, плавающий на столе.

Однако некоторые люди возразят: почему мы должны упрямо рисовать этот «мутантный» треугольник? Просто рисуйте, пока не закончится бумага, а затем остановитесь. Даже если вы не нарисуете всю фигуру на бумаге, ваше решение определенно неверно.

Но новое исследование в журнале American Mathematical Monthly теперь заставит их задуматься. Иногда треугольная часть за пределами бумаги может скрывать неожиданные математические загадки.

Конкретно в этом случае, с помощью «мутантного» треугольника, двое старшеклассников в США нашли способ доказать теорему Пифагора, которая считалась «невозможной» на протяжении более 2500 лет с момента ее формулировки.

Иллюстрация фото.

Никто никогда не доказал теорему Пифагора таким образом, даже Альберт Эйнштейн.

Теорема Пифагора названа в честь древнегреческого математика Пифагора (570–495 гг. до н. э.), который впервые ее доказал, хотя есть свидетельства того, что математики других древних цивилизаций, таких как Вавилон, Индия, Месопотамия и Китай, также независимо друг от друга открыли ее:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы всегда равен сумме квадратов длин двух других катетов. Если прямоугольный треугольник имеет две стороны длиной a и b, а гипотенуза равна c, то теорема Пифагора выражается формулой:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Если бы не теорема Пифагора, древние египтяне не смогли бы построить пирамиды.

Кажется, что это простая формула, но без знания теоремы Пифагора древние египтяне не смогли бы построить пирамиды, вавилоняне не смогли бы рассчитать положение звезд, а китайцы не смогли бы разделить землю.

Эта теорема также заложила основу многих школ математики, таких как стереометрия, неевклидова геометрия и дифференциальная геометрия, без которых или если бы они были признаны неверными, почти вся известная человечеству сегодня ветвь геометрии математики рухнула бы.

Поэтому доказательство истинности теоремы Пифагора является очень важной задачей. Поэтому еще в 500 году до нашей эры древнегреческий математик Пифагор взялся за эту задачу и впервые внес свой вклад в историю.

Он доказал теорему Пифагора очень простым методом:

Иллюстрация фото.

Начертите квадрат со стороной a+b. Затем в каждом углу продолжайте рисовать 4 равных треугольника со сторонами a и b. Все эти треугольники являются равными прямоугольными треугольниками с гипотенузой c и вместе образуют пространство внутри квадрата площадью c ² .

Затем, просто переставив местами эти четыре треугольника, Пифагор создал два новых пространства, которые представляли собой два квадрата со сторонами a и b. Общая площадь двух пространств равна a ² + b ² , что, конечно, должно быть равно исходному пространству c ² .

Это доказательство вы найдете в учебнике математики для 7-го класса средней школы. Но есть еще один способ доказать теорему Пифагора, о котором вы, возможно, не знали. Такое решение пришло в голову Альберту Эйнштейну, когда ему было всего 11 лет.

Затем Эйнштейн понял, что если он опустит высоту AD перпендикулярно гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC, то он получит два прямоугольных треугольника, подобных прямоугольному треугольнику ABC. Теперь, просто нарисовав вне прямоугольного треугольника ABC квадраты, стороны которых равны каждой из его сторон, Эйнштейн получит 3 квадрата с площадями, равными a ² , b ² и c ² .

Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, одинаково для подобных треугольников, то мы также будем иметь 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Иллюстрация фото.

Однако это всего лишь два из 370 доказательств теоремы Пифагора, которые математики нашли за последние 2500 лет. От использования алгебры и исчисления до различных геометрических сечений — эту математическую теорему можно доказать истинностью, используя методы от простых до сложных.

Однако во всех этих решениях нет доказательств с использованием тригонометрических формул. Поскольку теорема Пифагора сама по себе является фундаментальной теоремой в тригонометрии, доказательство ее с помощью тригонометрии привело бы нас в ловушку логической ошибки, называемой круговым мышлением, когда мы используем саму теорему Пифагора для доказательства теоремы Пифагора.

Математики неоднократно терпели неудачу в решении этой задачи, настолько, что в 1927 году американский математик Элиша Лумис воскликнул: « Невозможно доказать теорему Пифагора с помощью тригонометрии, поскольку все основные тригонометрические формулы должны основываться на правильности теоремы Пифагора».

Но, как оказалось, Элиша Лумис ошибался.

Почти 100 лет спустя эти двое старшеклассников нашли способ доказать теорему Пифагора с помощью тригонометрии.

В новом исследовании, опубликованном в журнале American Mathematical Monthly, двое студентов, Не'Кия Джексон и Кальсеа Джонсон из Академии Святой Марии в Колорадо, представили не одно, а десять доказательств теоремы Пифагора с использованием тригонометрии.

Не'Кия Джексон (слева) и Кальсеа Джонсон (справа).

Чтобы иметь возможность сделать это, Джексон и Джонсон, как обычно, использовали прямоугольный треугольник ABC. « Наше первое доказательство начинается с переворота треугольника ABC относительно его стороны AC, в результате чего получается равнобедренный треугольник ABB' », — написали ученые в статье.

На следующем этапе они построят прямоугольный треугольник AB'D, продолжив сторону AB до точки D так, чтобы из точки D можно было опустить перпендикуляр на B'A.

На этом этапе убедитесь, что у вас достаточно бумаги, поскольку AB'D — это треугольник с необычно длинной стороной, и точка D, скорее всего, будет выступать за край бумаги.

Затем из точки B опустите перпендикуляр на BB', пересекающий B'D в точке E. Затем из точки E опустите перпендикуляр на отрезок AD в точке F... И так до бесконечности, вы получите бесчисленное множество подобных треугольников, суммарная площадь которых равна площади треугольника AB'D:

Теперь важный момент:

Джексон и Джонсон обнаружили, что поскольку сторона BB' имеет длину 2a, а треугольник B'EB подобен треугольнику ABC, они могут вычислить длину стороны BE, которая составит 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Таким образом, ребра FG, GH можно рассчитать по формулам 2a ⁴ c/b ⁴ и 2a ⁶ c/b ⁶ …

Тогда длина гипотенузы AD будет равна сумме отрезков:

В треугольнике AB'D имеем:

Из двух приведенных выше формул получаем уравнение:

В котором, используя сумму базового сходящегося ряда, имеем:

Сразу после публикации доказательство теоремы Пифагора Джексона и Джонсона привлекло внимание математиков, в том числе Альваро Лосано-Робледо из Университета Коннектикута.

« Это было не похоже ни на что, что я когда-либо видел», — сказал Лосано-Робледо. Идея заполнить большой треугольник бесконечным числом меньших треугольников, а затем вычислить длины его сторон с помощью сходящегося ряда является неожиданным новшеством для ученика старших классов.

Математик Альваро Лозано-Робледо из Университета Коннектикута похвалил Не'Кию Джексон и Кальчу Джонсон.

« Некоторые думают, что для решения новой проблемы нужно потратить годы в академической среде или исследовательских институтах », — говорит Лосано-Робледо. « Но это решение доказывает, что это можно сделать даже в старших классах школы».

Джексон и Джонсон не только доказали теорему Пифагора совершенно новым способом, но и подчеркнули тонкую границу концепции тригонометрии, заявили они.

« Учащиеся старших классов могут не осознавать, что существуют две версии тригонометрии, связанные с одним и тем же термином. В этом случае попытка понять тригонометрию подобна попытке понять картинку с двумя разными изображениями, напечатанными друг на друге », — говорят они.

Удивительное решение теоремы Пифагора было получено Джексоном и Джонсоном, которые разделили эти две тригонометрические вариации и использовали другой фундаментальный закон тригонометрии — закон синусов. Таким образом, дуэт избежал порочного круга, с которым столкнулись предыдущие математики, включая Элишу Лумиса, когда они пытались доказать теорему Пифагора, используя саму теорему Пифагора.

Никто никогда не доказал теорему Пифагора таким образом, даже Альберт Эйнштейн.

«Их результаты привлекли внимание других студентов к новой и многообещающей перспективе », — сказала Делла Дамбо, главный редактор American Mathematical Monthly. комментарий.

« Это также откроет много новых тем для разговоров на математические темы », — говорит Лосано-Робледо. « Вот тогда другие математики смогут использовать эту статью, чтобы обобщить это доказательство, обобщить свои идеи или просто использовать эту идею другими способами».

Видно, что после того, как Джексон и Джонсон нарисовали мутантный « треугольник », в математике открылась новая область. Треугольник, выходящий из края бумаги, содержит петлю из бесконечных треугольников.

Так что в следующий раз, когда вы будете решать геометрическую задачу и наткнетесь на ребро, попробуйте нарисовать его насквозь. Кто знает, может быть, вы сделаете новое открытие.

Источник: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline.

Источник: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm