Нарисовав треугольник, выходящий за край бумаги, двое студентов неожиданно доказали 2500-летнюю математическую теорему.

Примечательно то, что никто никогда не доказал эту теорему таким образом, даже Альберт Эйнштейн.

В старших классах школы каждому из нас приходилось решать геометрические задачи. И, решая геометрические задачи, мы все хотя бы раз сталкивались с такой ситуацией: во время рисования фигуры у нас заканчивалась бумага.

Во всех подобных случаях речь идёт о «мутантном» треугольнике с двумя необычно длинными сторонами, так что, как бы вы их ни рисовали, они всё равно не пересекаются. Как бы вы поступили в такой ситуации?

Иллюстрация фото.

Некоторые ученики, проявив большую изобретательность, продолжают рисовать фигуру в другом измерении, то есть на обратной стороне листа. Другие берут ещё один лист бумаги и подкладывают его под первый, чтобы завершить фигуру. Или, если вам не хватает времени, можно нарисовать треугольник, парящий на столе.

Однако некоторые подумают: « Зачем ты так упорно рисуешь этот «мутантный» треугольник? Просто рисуй, пока не кончится бумага, а потом остановись. Даже если ты не можешь нарисовать всю фигуру на бумаге, твоё решение определённо неверное».

Но новое исследование, опубликованное в журнале American Mathematical Monthly, заставит их переосмыслить свои взгляды. Иногда треугольники на внешней стороне листа бумаги могут скрывать неожиданные математические секреты.

Конкретно в этом случае, с помощью «мутантного» треугольника, два ученика старших классов в США нашли способ доказать теорему Пифагора, которая считалась «невозможной» на протяжении более 2500 лет с момента ее формулировки.

Иллюстрация фото.

Никто и никогда не доказал теорему Пифагора таким способом, даже Альберт Эйнштейн.

Теорема Пифагора названа в честь древнегреческого математика Пифагора (570–495 до н. э.), который впервые доказал её, хотя есть свидетельства того, что математики других древних цивилизаций, таких как Вавилон, Индия, Месопотамия и Китай, также независимо открыли её:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы всегда равен сумме квадратов длин двух других катетов. Если стороны прямоугольного треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза — c, то теорема Пифагора выражается формулой:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Если бы не теорема Пифагора, древние египтяне не смогли бы построить пирамиды.

Казалось бы, простая формула, но без знания теоремы Пифагора древние египтяне не смогли бы построить пирамиды, вавилоняне не смогли бы рассчитать положение звезд, а китайцы не смогли бы разделить землю.

Эта теорема также заложила основу для многих школ математики, таких как стереометрия, неевклидова геометрия и дифференциальная геометрия, — без которых или если бы они были признаны неверными, почти вся известная человечеству сегодня область геометрии математики развалилась бы.

Доказательство теоремы Пифагора было поэтому чрезвычайно важной задачей. Ещё в 500 году до нашей эры древнегреческий математик Пифагор взялся за эту задачу и впервые внёс свой вклад в историю.

Он доказал теорему Пифагора очень простым методом:

Иллюстрация фото.

Начертите квадрат со сторонами a+b. Затем в каждом углу начертите четыре равных треугольника со сторонами a и b. Все эти треугольники — равные прямоугольные треугольники с гипотенузой c, и вместе они образуют пространство внутри квадрата площадью ^c² .

Затем, просто переставив эти четыре треугольника, Пифагор создал два новых пространства, представляющих собой два квадрата со сторонами a и b. Общая площадь этих двух пространств равна ^a² + ^b² , что, конечно же, должно быть равно исходному пространству ^c² .

Это доказательство вы найдёте в учебнике математики для 7-го класса средней школы. Но есть и другое доказательство теоремы Пифагора, которое вы, возможно, не знали. Его придумал Альберт Эйнштейн, когда ему было всего 11 лет.

Затем Эйнштейн понял, что если опустить высоту AD, перпендикулярную гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC, то получится два прямоугольных треугольника, подобных прямоугольному треугольнику ABC. Теперь, просто начертив вне прямоугольного треугольника ABC квадраты со сторонами, равными каждой из его сторон, Эйнштейн получил бы три квадрата с площадями, равными ^a² , ^b² и ^c² .

Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, одинаково для подобных треугольников, то мы также будем иметь 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Иллюстрация фото.

Однако это лишь два из 370 доказательств теоремы Пифагора, найденных математиками за последние 2500 лет. Эта математическая теорема может быть доказана как с помощью алгебры и исчисления, так и с помощью различных геометрических сечений, используя как простые, так и сложные методы.

Однако во всех этих решениях нет доказательства с помощью тригонометрических формул. Поскольку сама теорема Пифагора является фундаментальной теоремой тригонометрии, её доказательство с помощью тригонометрии привело бы нас к ловушке логической ошибки, называемой «циклическим мышлением», когда мы используем саму теорему Пифагора для доказательства теоремы Пифагора.

Математики неоднократно терпели неудачу в решении этой задачи, настолько, что в 1927 году американский математик Элиша Лумис воскликнул: « Невозможно доказать теорему Пифагора с помощью тригонометрии, поскольку все основные тригонометрические формулы должны основываться на справедливости теоремы Пифагора».

Но, как оказалось, Элиша Лумис ошибался.

Почти 100 лет спустя эти два старшеклассника нашли способ доказать теорему Пифагора с помощью тригонометрии.

В новом исследовании, опубликованном в журнале American Mathematical Monthly, двое учеников, Не'Кия Джексон и Кальсеа Джонсон из средней школы St. Mary's Academy High School в Колорадо, представили не один, а 10 способов доказательства теоремы Пифагора с помощью тригонометрии.

Не'Кия Джексон (слева) и Кальцея Джонсон (справа).

Чтобы иметь возможность сделать это, Джексон и Джонсон, как обычно, использовали прямоугольный треугольник ABC. « Наше первое доказательство начинается с переворота треугольника ABC относительно его стороны AC, в результате чего получается равнобедренный треугольник ABB» , — написали учёные в статье.

На следующем этапе они построят прямоугольный треугольник AB'D, продолжив сторону AB до точки D так, чтобы из точки D можно было опустить перпендикуляр на B'A.

На этом этапе убедитесь, что у вас достаточно бумаги, поскольку AB'D — треугольник с необычно длинной стороной, и точка D, скорее всего, будет выступать за край бумаги.

Затем из точки B опустите перпендикуляр на BB', пересекающий B'D в точке E. Затем из точки E опустите перпендикуляр на отрезок AD в точке F... И так до бесконечности, вы получите бесчисленное множество подобных треугольников, общая площадь которых равна площади треугольника AB'D:

А теперь важный момент:

Джексон и Джонсон обнаружили, что, поскольку BB' имеет длину 2a, а треугольник B'EB подобен треугольнику ABC, они могут вычислить длину стороны BE как 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Таким образом, стороны FG, GH можно вычислить как 2a ⁴ c/b ⁴ и 2a ⁶ c/b ⁶ …

Тогда длина гипотенузы AD будет равна сумме отрезков:

В треугольнике AB'D имеем:

Из двух приведенных выше формул можно установить уравнение:

В котором, используя сумму базового сходящегося ряда, имеем:

Сразу после публикации доказательство теоремы Пифагора, предложенное Джексоном и Джонсоном, привлекло внимание математиков, в том числе Альваро Лосано-Робледо из Университета Коннектикута.

« Это было похоже на что-то, чего я никогда раньше не видел», — сказал Лосано-Робледо. Идея заполнить большой треугольник бесконечным числом меньших треугольников, а затем вычислить длину его сторон с помощью сходящегося ряда стала неожиданным новшеством для старшеклассника.

Математик Альваро Лозано-Робледо из Университета Коннектикута похвалил Не'Кию Джексон и Кальчу Джонсон.

« Некоторые думают, что для решения новой проблемы нужно провести годы в школе или исследовательском институте , — сказал Лосано-Робледо. — Но это доказывает, что это можно сделать, ещё учась в школе».

По их словам, Джексон и Джонсон не только доказали теорему Пифагора совершенно новым способом, их решение также подчеркнуло деликатную границу концепции тригонометрии.

« Ученики старших классов могут не осознавать, что существуют две версии тригонометрии, связанные с одним и тем же термином. В этом случае попытка понять тригонометрию подобна попытке понять картину, на которой два разных изображения напечатаны друг на друга », — говорят они.

Удивительное решение теоремы Пифагора было получено Джексоном и Джонсоном, которые разделили эти два тригонометрических закона и использовали другой фундаментальный закон тригонометрии – закон синусов. Таким образом, дуэт избежал порочного круга, с которым столкнулись предыдущие математики, включая Элишу Лумиса, пытаясь доказать теорему Пифагора с помощью теоремы Пифагора.

Никто и никогда не доказал теорему Пифагора таким способом, даже Альберт Эйнштейн.

«Их результаты привлекли внимание других студентов к новой и многообещающей перспективе », — сказала Делла Дамбо, главный редактор American Mathematical Monthly. комментарий.

« Это также откроет путь для множества новых математических дискуссий », — сказал Лосано-Робледо. « Тогда другие математики смогут использовать эту работу, чтобы обобщить это доказательство, обобщить свои идеи или просто использовать эту идею другими способами».

Видно, что после того, как Джексон и Джонсон нарисовали мутантный « треугольник », в математике открылась новая область. Треугольник, выходящий за край бумаги, содержит внутри замкнутую петлю из бесконечных треугольников.

Так что в следующий раз, когда будете решать геометрическую задачу и наткнётесь на ребро, попробуйте провести его до самого края. Кто знает, может быть, вас ждёт открытие.

Источник: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline.

Источник: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm