ایک مثلث کھینچتے ہوئے جو کاغذ کے کنارے سے گزرتا ہے، دو طالب علم غیر متوقع طور پر 2500 سال پرانے ریاضیاتی تھیوریم کو ثابت کرتے ہیں

خاص بات یہ ہے کہ کسی نے بھی اس تھیوریم کو اس طرح ثابت نہیں کیا، یہاں تک کہ البرٹ آئن سٹائن نے بھی نہیں۔

ہائی اسکول میں، ہم سب کو جیومیٹری کے مسائل کو حل کرنا پڑا ہے۔ اور ایک بار جب ہم جیومیٹری کے مسائل کو حل کر لیتے ہیں، تو ہم سب کو کم از کم ایک بار اس صورتحال کا سامنا کرنا پڑا ہے: تصویر بناتے وقت، ہمارے پاس کاغذ ختم ہو جاتا ہے۔

اس طرح کے تمام معاملات میں ایک "متغیر" مثلث شامل ہوتا ہے، جس کے دو غیر معمولی طور پر لمبے اطراف ہوتے ہیں، تاکہ انہیں قطع کیے بغیر کاغذ کے کنارے تک کھینچا جا سکے۔ آپ اس صورت حال کو کیسے سنبھالیں گے؟

مثالی تصویر۔

کچھ طالب علم - بہت تخلیقی طور پر - کاغذ کے دوسری طرف، جو کہ کاغذ کا پچھلا حصہ ہے، شکل بنانا جاری رکھیں گے۔ دوسرے کاغذ کی ایک اور شیٹ لیں گے اور شکل کو مکمل کرنے کے لیے اسے پہلے والے کے نیچے رکھیں گے۔ یا، اگر آپ ایک چوٹکی میں ہیں، تو آپ میز پر تیرتے ہوئے مثلث کو کھینچ سکتے ہیں۔

تاہم، کچھ لوگ سوچیں گے: آپ اس "متغیر" مثلث کو ڈرائنگ پر کیوں اصرار کرتے ہیں؟ بس اس وقت تک کھینچیں جب تک کہ کاغذ ختم نہ ہو جائے، پھر رک جائیں۔ یہاں تک کہ اگر آپ کاغذ پر پوری شکل نہیں کھینچتے ہیں، تو آپ کا حل یقینی طور پر درست نہیں ہے۔

لیکن جرنل امریکن میتھمیٹیکل منتھلی میں ایک نئی تحقیق اب انہیں دوبارہ سوچنے پر مجبور کر دے گی۔ بعض اوقات، کاغذ کے باہر تکون غیر متوقع ریاضیاتی راز چھپا سکتے ہیں۔

خاص طور پر اس معاملے میں، ایک "میوٹنٹ" مثلث کے ساتھ، امریکہ میں ہائی اسکول کے دو طالب علموں نے پائیتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنے کا ایک طریقہ تلاش کیا، جسے ایک بار 2,500 سال سے زیادہ عرصے تک "ناممکن" سمجھا جاتا تھا، کیونکہ یہ بیان کیا گیا تھا۔

مثالی تصویر۔

کسی نے بھی پائتھاگورین تھیوریم کو اس طرح ثابت نہیں کیا، یہاں تک کہ البرٹ آئن سٹائن نے بھی نہیں۔

Pythagorean Theorem کا نام قدیم یونانی ریاضی دان Pythagoras (570-495 BC) کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے سب سے پہلے ثابت کیا، حالانکہ اس بات کے شواہد موجود ہیں کہ دیگر قدیم تہذیبوں جیسے بابل، ہندوستان، میسوپوٹیمیا اور چین کے ریاضی دانوں نے بھی اسے آزادانہ طور پر دریافت کیا :

کہ ایک دائیں مثلث میں، فرضی کا مربع ہمیشہ دوسرے دو اطراف کی لمبائی کے مربعوں کے مجموعہ کے برابر ہوتا ہے۔ اگر ایک دائیں مثلث کی لمبائی a اور b کے اطراف ہیں اور hypotenuse c ہے، تو Pythagorean Theorem کو فارمولے سے ظاہر کیا جاتا ہے:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

اگر یہ Pythagorean Theorem نہ ہوتا تو قدیم مصری اہرام کی تعمیر نہ کر پاتے۔

یہ ایک سادہ سا فارمولہ لگتا ہے، لیکن پائتھاگورین تھیوریم کو جانے بغیر، قدیم مصری اہرام تعمیر نہ کر پاتے، بابل کے لوگ ستاروں کی پوزیشن کا حساب نہیں لگا پاتے، اور چینی زمین کو تقسیم کرنے کے قابل نہ ہوتے۔

اس نظریہ نے ریاضی کے بہت سے اسکولوں کی بنیاد بھی رکھی جیسے ٹھوس جیومیٹری، غیر یوکلیڈین جیومیٹری اور تفریق جیومیٹری - جس کے بغیر، یا اگر یہ غلط ثابت ہوا تو، ریاضی کی جیومیٹری کی تقریباً پوری شاخ جو آج بنی نوع انسان کو معلوم ہے منہدم ہو جائے گی۔

اس لیے پائتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنا ایک بہت اہم کام تھا۔ 500 قبل مسیح میں قدیم یونانی ریاضی دان پائتھاگورس نے اس کام کا بیڑا اٹھایا اور تاریخ میں پہلی بار اپنا نام درج کرایا۔

اس نے بہت آسان طریقہ استعمال کرتے ہوئے پائیتھاگورین تھیوریم کو ثابت کیا:

مثالی تصویر۔

سائیڈ کی لمبائی a+b کے ساتھ ایک مربع کھینچیں۔ پھر، ہر کونے پر، اطراف a اور b کے ساتھ 4 مساوی مثلث کھینچنا جاری رکھیں۔ یہ مثلث تمام مساوی دائیں مثلث ہیں، فرضی c کے ساتھ اور مل کر مربع کے اندر ایک جگہ بناتے ہیں جس کا رقبہ c ² ہے۔

پھر، صرف ان 4 مثلثوں کی پوزیشنوں کو دوبارہ ترتیب دے کر، پائتھاگورس نے دو نئی خالی جگہیں بنائیں جو کہ دو مربع تھے جن کے اطراف a اور b تھے۔ ان دو خالی جگہوں کا کل رقبہ ایک ² + b ² تھا، جو یقیناً اصل جگہ c ² کے برابر ہونا چاہیے۔

یہ وہ ثبوت ہے جو آپ کو مڈل اسکول میں اپنی 7ویں جماعت کی ریاضی کی نصابی کتاب میں ملے گا۔ لیکن پائتھاگورین تھیوریم کا ایک اور ثبوت ہے جو آپ نے نہیں سیکھا ہوگا۔ یہ وہ حل ہے جو البرٹ آئن سٹائن نے اس وقت نکالا جب وہ 11 سال کے تھے۔

آئن سٹائن کو پھر احساس ہوا کہ اگر اس نے دائیں مثلث ABC کے فرضی BC پر کھڑا ایک اونچائی AD کو گرا دیا، تو اسے دائیں مثلث ABC کی طرح 2 دائیں تکون ملیں گے۔ اب، صرف دائیں مثلث ABC مربعوں کے باہر ڈرائنگ کرنے سے اس کے اطراف میں سے ہر ایک کے برابر اطراف، آئن سٹائن کو 3 مربع ملے گا جن کے رقبہ a ² ، b ² اور c ² کے برابر ہیں۔

چونکہ دائیں مثلث کے رقبے کا اس کے فرضی پر مربع کے رقبے کا تناسب اسی طرح کے مثلث کے لیے ایک جیسا ہے، اس لیے ہمارے پاس بھی 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² ہوگا۔

مثالی تصویر۔

تاہم، یہ پیتھاگورین تھیوریم کے 370 ثبوتوں میں سے صرف دو ہیں جو ریاضی دانوں کو پچھلے 2500 سالوں میں ملے ہیں۔ الجبرا، کیلکولس کے استعمال سے لے کر مختلف ہندسی کٹوتیوں تک، اس ریاضیاتی تھیوریم کو آسان سے پیچیدہ تک کے طریقوں سے درست ثابت کیا جا سکتا ہے۔

تاہم، ان تمام حلوں میں، مثلثی فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے کوئی ثبوت نہیں ہے۔ چونکہ پائیتھاگورس بذات خود مثلثیات کا ایک بنیادی نظریہ ہے، اس لیے مثلثیات کا استعمال کرتے ہوئے اسے ثابت کرنا ہمیں منطقی غلط فہمی کے جال میں لے جائے گا، جسے سرکلر سوچ کہا جاتا ہے، جب ہم خود پائتھاگورین تھیوریم کو پائتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔

ریاضی دان اس کام میں بار بار ناکام رہے ہیں، یہاں تک کہ 1927 میں امریکی ریاضی دان الیشا لومس نے کہا: " مثلثی کے ذریعے پائیتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے کیونکہ تمام بنیادی مثلثی فارمولوں کو پائتھاگورین تھیوریم کی درستگی پر انحصار کرنا چاہیے۔"

لیکن جیسا کہ پتہ چلا، الیشا لومس غلط تھا۔

تقریباً 100 سال بعد، ہائی اسکول کے ان دو طلباء نے مثلثیات کا استعمال کرتے ہوئے پائیتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنے کا ایک طریقہ تلاش کیا ہے۔

جرنل امریکن میتھمیٹیکل منتھلی میں شائع ہونے والی ایک نئی تحقیق میں، کولوراڈو کے سینٹ میریز اکیڈمی ہائی اسکول سے تعلق رکھنے والے دو طالب علم، Ne'Kiya Jackson اور Calcea Johnson نے مثلثیات کا استعمال کرتے ہوئے Pythagorean Theorem کو ثابت کرنے کے لیے ایک نہیں بلکہ 10 طریقے پیش کیے ہیں۔

Ne'Kiya Jackson (بائیں) اور Calcea Johnson (دائیں)۔

ایسا کرنے کے قابل ہونے کے لیے، جیکسن اور جانسن نے معمول کے مطابق دائیں مثلث ABC کا استعمال کیا۔ " ہمارا پہلا ثبوت مثلث ABC کو اس کے سائیڈ AC پر پلٹ کر ایک isosceles triangle ABB بناتا ہے ،" دونوں نے کاغذ میں لکھا۔

اگلے مرحلے میں، وہ ایک دائیں مثلث AB'D بنائیں گے، طرف AB کو پوائنٹ D تک بڑھاتے ہوئے تاکہ D سے وہ B'A پر کھڑا ہو سکے۔

اس مقام پر، یقینی بنائیں کہ آپ کے پاس کافی کاغذ ہے، کیونکہ AB'D ایک مثلث ہے جس کا ایک غیر معمولی طور پر لمبا رخ ہے اور نقطہ D ممکنہ طور پر آپ کے کاغذ کے کنارے سے باہر نکل جائے گا۔

پھر، پوائنٹ B سے، آپ BB پر ایک کھڑا چھوڑیں گے، B'D کو E پر کاٹیں گے۔ پھر E سے، F پر AD کو کاٹنے کے لیے ایک کھڑا چھوڑیں گے... اور اسی طرح غیر معینہ مدت تک، آپ کو ملتے جلتے مثلثوں کی لامحدود تعداد ملے گی جن کے مشترکہ علاقے مثلث AB'D کے رقبہ کے برابر ہیں:

اب اہم نکتہ:

جیکسن اور جانسن نے پایا کہ چونکہ BB' کی لمبائی 2a ہے اور مثلث B'EB مثلث ABC سے ملتی جلتی ہے، اس لیے وہ سائیڈ BE کی لمبائی 2a ² /b شمار کر سکتے ہیں۔ BF=2A ² c/b ² ۔ اس طرح، اطراف FG، GH کا حساب لگایا جا سکتا ہے 2a ⁴ c/b ⁴ اور 2a ⁶ c/b ⁶ …

پھر، hypotenuse AD کی لمبائی لائن سیگمنٹس کے مجموعے کے برابر ہوگی:

مثلث AB'D میں، ہمارے پاس ہے:

مندرجہ بالا دو فارمولوں سے، ہم مساوات حاصل کرتے ہیں:

جس میں، ایک بنیادی کنورجینٹ سیریز کا مجموعہ استعمال کرنا ہے:

اس کی اشاعت کے فوراً بعد، جیکسن اور جانسن کے پائتھاگورین تھیوریم کے ثبوت نے کنیکٹی کٹ یونیورسٹی کے الوارو لوزانو-روبلڈو سمیت ریاضی دانوں کو راغب کیا۔

" ایسا لگتا تھا کہ میں نے پہلے کبھی نہیں دیکھا تھا،" لوزانو-روبلڈو نے کہا۔ ایک بڑے مثلث کو لامحدود بہت سے چھوٹے مثلثوں سے بھرنے اور پھر کنورجنٹ سیریز کا استعمال کرتے ہوئے اس کی سائیڈ کی لمبائی کا حساب لگانا ہائی اسکول کے طالب علم کے لیے ایک غیر متوقع اختراع تھی۔

یونیورسٹی آف کنیکٹی کٹ کے ریاضی دان الوارو لوزانو-روبلڈو نے Ne'Kiya Jackson اور Calcea Johnson کی تعریف کی۔

لوزانو-روبلڈو نے کہا، " کچھ لوگ سوچتے ہیں کہ کسی کو نئے مسئلے کو حل کرنے کے لیے اسکول یا تحقیقی اداروں میں سال گزارنے پڑتے ہیں ۔" " لیکن یہ ثابت کرتا ہے کہ یہ اس وقت بھی کیا جا سکتا ہے جب آپ ابھی ہائی اسکول میں ہیں۔"

انہوں نے کہا کہ جیکسن اور جانسن نے نہ صرف پائتھاگورین تھیوریم کو بالکل نئے طریقے سے ثابت کیا، بلکہ ان کے حل نے مثلثیات کے تصور کی ایک نازک حد پر بھی زور دیا۔

" ہائی اسکول کے طالب علموں کو یہ احساس نہیں ہوسکتا ہے کہ مثلث کے دو ورژن ایک ہی اصطلاح سے منسلک ہیں۔ اس صورت میں، مثلث کو سمجھنے کی کوشش کرنا ایک دوسرے کے اوپر چھپی ہوئی دو مختلف تصاویر والی تصویر کو سمجھنے کی کوشش کے مترادف ہے ،" وہ کہتے ہیں۔

پائتھاگورین تھیوریم کا حیران کن حل جیکسن اور جانسن نے ان دو مثلثی تغیرات کو الگ کرتے ہوئے اور مثلثیات کے ایک اور بنیادی قانون، لا آف سائنز کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا۔ اس طرح، جوڑی نے ان شیطانی حلقوں سے گریز کیا جن کا سامنا سابقہ ​​ریاضی دانوں بشمول الیشا لومس کو ہوا جب انہوں نے پائیتھاگورین تھیوریم کو ثابت کرنے کی کوشش کی۔

کسی نے بھی پائتھاگورین تھیوریم کو اس طرح ثابت نہیں کیا، یہاں تک کہ البرٹ آئن سٹائن نے بھی نہیں۔

"ان کے نتائج نے دوسرے طلباء کی توجہ ایک نئے اور امید افزا تناظر کی طرف مبذول کرائی ہے ،" امریکی ریاضی کے ماہنامہ کی چیف ایڈیٹر ڈیلا ڈمباؤ نے کہا۔ تبصرہ

لوزانو-روبلڈو کا کہنا ہے کہ " یہ بہت سی نئی ریاضیاتی گفتگو کو بھی کھولے گا ۔ " یہ تب ہوتا ہے جب دوسرے ریاضی دان اس کاغذ کو اس ثبوت کو عام کرنے، اپنے خیالات کو عام کرنے، یا اس خیال کو دوسرے طریقوں سے استعمال کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔"

یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ جیکسن اور جانسن کے اتپریورتی " مثلث " کھینچنے کے بعد ریاضی میں ایک نئی زمین کھل گئی تھی۔ کاغذ کے کنارے سے باہر پھیلی ہوئی مثلث لامتناہی مثلثوں کے ایک لوپ کے اندر ہوتی ہے۔

اس لیے اگلی بار جب آپ جیومیٹری کا مسئلہ حل کر رہے ہوں اور آپ کو ایک کنارہ نظر آئے تو اسے کنارے تک کھینچنے کی کوشش کریں۔ کون جانتا ہے، آپ صرف ایک دریافت کر سکتے ہیں.

ماخذ: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

ماخذ: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-2024103006590.34m