অন্তরজ কী? অন্তরজের বিস্তারিত সূত্রাবলী।

সাধারণ ফাংশনগুলোর সকল অন্তরজের সূত্র, ত্রিকোণমিতিক অন্তরজ, সূচকীয় ও লগারিদমিক ফাংশনের অন্তরজ এবং দ্বিতীয় অন্তরজের পাশাপাশি, পাঠকরা একটি কবিতার মাধ্যমে অন্তরজ গণনার সূত্রটিও মুখস্থ করতে পারেন।

সংক্ষিপ্ত বিবরণ:

• ডেরিভেটিভ কী?
• কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের অন্তরজের সূত্র
• সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ
• যোগফল, বিয়োগফল, গুণফল এবং ভাগফলের অন্তরজ।
• একটি যৌগিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
• ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
• একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ
• একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ
• ডেরিভেটিভ সূত্র মনে রাখার টিপস

ডেরিভেটিভ কী?

'কানেক্টিং নলেজ অ্যান্ড লাইফ' ​​সিরিজের অংশ, 'ম্যাথ ১১' পাঠ্যপুস্তকের দ্বিতীয় খণ্ড অনুসারে, কোনো ফাংশনের অন্তরজ গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি ধারণা। অন্তরজ কোনো একটি বিন্দু বা ব্যবধিতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হারকে প্রকাশ করে।

কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের অন্তরজের সূত্র

কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের অন্তরজ ঐ বিন্দুতে ফাংশনটির পরিবর্তনের মাত্রা নির্দেশ করে।

সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এগুলো হলো ঘাত ফাংশনের সরলতম রূপ – যা পরবর্তীতে আরও অনেক জটিল ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ভিত্তি তৈরি করে।

যোগফল, বিয়োগফল, গুণফল এবং ভাগফলের অন্তরজ।

যোগফল, বিয়োগফল, গুণফল এবং ভাগফলের অন্তরজ হলো এমন গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম যা আমাদের সরল ফাংশন থেকে জটিল রাশির অন্তরজ নির্ণয় করতে সাহায্য করে। সীমার সংজ্ঞা থেকে এগুলো পুনরায় প্রমাণ করার পরিবর্তে, আমরা প্রক্রিয়াটিকে সহজ করার জন্য কেবল এই সূত্র এবং নিয়মগুলো প্রয়োগ করতে পারি।

বিশেষভাবে, কোনো যোগফল বা বিয়োগফলের ডেরিভেটিভ হলো তার ডেরিভেটিভগুলোর যোগফল বা বিয়োগফলের সমান; কোনো গুণফলের ডেরিভেটিভ "প্রথমে ডেরিভেটিভ, তারপর গুণ; প্রথমে যোগ, তারপর ডেরিভেটিভ" এই নিয়মটি অনুসরণ করে; এবং কোনো ভাগফলের ডেরিভেটিভ "লবের ডেরিভেটিভকে হর দিয়ে গুণ, লবের ডেরিভেটিভকে হরের ডেরিভেটিভ দিয়ে গুণ, লবের ডেরিভেটিভকে হরের ডেরিভেটিভ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ, এবং হরের বর্গ দিয়ে ভাগ" এই নিয়মটি অনুসরণ করে। শিক্ষার্থীদের সহজে মনে রাখতে এবং অনুশীলনীতে প্রয়োগ করতে সাহায্য করার জন্য, এই সূত্রগুলো দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণসহ নিচে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা হবে।

একটি যৌগিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

যখন কোনো যৌগিক ফাংশন একাধিক অন্তঃস্থ ফাংশন দ্বারা গঠিত হয়, তখন তার অন্তরজ ব্যবহৃত হয়। শৃঙ্খল নিয়ম প্রয়োগ করে, যৌগিক ফাংশনটির অন্তরজ হলো বাইরের ফাংশনের অন্তরজ এবং ভেতরের ফাংশনের অন্তরজের গুণফলের সমান।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর অন্তরজ আমাদেরকে x-এর মান পরিবর্তনের সাথে সাথে sin(x), cos(x), বা tan(x)-এর মতো ফাংশনগুলোর পরিবর্তনের হার বুঝতে সাহায্য করে।

sin(x) এবং cos(x)-এর অন্তরজ আয়ত্ত করার মাধ্যমে আমরা অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর অন্তরজ নির্ণয় করতে পারি, কারণ সেগুলোকে (ভাগফলের নিয়ম ব্যবহার করে) sin এবং cos-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়।

পরবর্তী অংশে, আমরা sin(x) এবং cos(x) এর অন্তরজের সূত্রগুলো প্রমাণ করব। সেখান থেকে, আমরা অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে পারব এবং এটিকে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও কিছু অন্যান্য বিশেষ সূত্র পর্যন্ত প্রসারিত করতে পারব।

একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

একটি সূচকীয় ফাংশনের অন্তরজ আমাদের a ^x (যেখানে a>0, a≠1) বা বিশেষত e ^x আকারের ফাংশনগুলির পরিবর্তনের হার সম্পর্কে বলে। এদের মধ্যে, e ^x-কে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূচকীয় ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয় কারণ এর অন্তরজ এর নিজের সমান।

একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ _log⁡a (x) (যেখানে a>0, a≠1) আকারের ফাংশনগুলোর পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে, যার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো ln⁡(x) - অর্থাৎ e-ভিত্তিক স্বাভাবিক লগারিদম।

ln(x)-এর অন্তরজের সূত্রটি জানা থাকলে, আমরা ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র ব্যবহার করে সহজেই _log⁡a (x)-এর অন্তরজ নির্ণয় করতে পারি।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হলো প্রথম ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ; অর্থাৎ, আমরা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ পরপর দুইবার নিই। যদি প্রথম ডেরিভেটিভ আমাদের ফাংশনটির পরিবর্তনের হার বলে দেয়, তাহলে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভও সেই একই হারের পরিবর্তনের হার বলে দেয়।

জ্যামিতিতে, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ একটি লেখচিত্রের বক্রতা/অবতলতা নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। পদার্থবিজ্ঞানে, যদি কোনো ফাংশন সময়ের সাপেক্ষে দূরত্বকে প্রকাশ করে, তবে প্রথম ডেরিভেটিভটি হলো বেগ এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি হলো ত্বরণ।

ডেরিভেটিভ সূত্র মনে রাখার টিপস

এককভাবে শেখার পরিবর্তে দলবদ্ধভাবে সূত্রগুলো শিখুন।

রেসিপি শিটটি সংরক্ষণ করুন, যাতে ভুলে গেলে সাথে সাথে ব্যবহার করতে পারেন।

কবিতার মাধ্যমে ব্যুৎপন্ন শব্দ সম্পর্কে জানুন:

মানব জগতে একশ বছর

অন্তরজ এমন একটি বিষয় যা অলস ছাত্ররা, যারা এটি অধ্যয়ন করে, তারা হয়তো খুব একটা ভালো পারে না।

সূচক (en) n সহ X

আমরা প্রথমে n ঘাতে অন্তরজ নিই।

তারপর উপরে থাকা সূচকটি তো আছেই।

আমরা সেখান থেকে ১ বিয়োগ করি।

মূল x-এর অন্তরজ, বন্ধু।

সেই ভালোবাসাটা মনে রেখো, বন্ধু, ভুলে যেও না।

মৃত্যু হলো ১ নম্বর, যা অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, গতি বের করার জন্য x-এর দুটি বর্গমূল একসাথে লিখুন।

দুই ভাইয়ের গুণফলের ডেরিভেটিভ

আমি তোমাকে প্রথমে শেখাবো, আর পরের জন্য রেখে দেবো।

তারপর আরও দ্রুত ফলাফলের জন্য একটি যোগ চিহ্ন যোগ করুন।

প্রথম ভাইটিকে অপরিবর্তিত রাখুন এবং দ্বিতীয় ভাইটিকে ডেরিভেটিভের পর রাখুন।

যদি তুমি কাউকে সত্যিই ভালোবাসো, তবে যেকোনো প্রতিকূলতা সহ্য করতে পারো।

মায়ের সদ্গুণ অপরিবর্তিত থাকে।

বিয়োগ চিহ্নটা ভুলবেন না!

মৃত্যুর উৎস, মাতৃত্বের পথ তার ঠিক পরেই আসে।

হরের বর্গটি কোথায় বসবে?

চলো এটা নিচে নিয়ে যাই, যাতে আমরা আরও দ্রুত মুখস্থ করতে পারি।

সাইন ডেরিভেটিভ সত্যিই আশ্চর্যজনক।

দেখা যায় যে, কোসাইন কখনো ভুল হয় না।

ডেরিভেটিভের কোসাইন স্বপ্নের মতো সুন্দর।

সাইন ছাড়া, যা আপনাকে একাই হতবিহ্বল করে দেয়।

কঠোর পরিশ্রম বুদ্ধিমত্তার অভাব পূরণ করে।

এককে কোসাইন স্কয়ার দিয়ে ভাগ করলে ট্যানজেন্টের ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়।

শুধুমাত্র অধ্যবসায়ী অধ্যয়নের মাধ্যমেই গৌরব অর্জন করা যায়।

যদিও অন্ত্যেষ্টিক্রিয়া কষ্টকর, তবুও এর সাথে এক ধরনের কর্তব্যবোধ জড়িত থাকে।

সংখ্যাটি থেকে এক বিয়োগ করুন এবং এটি করতে মনে রাখবেন।

ভালো মানুষ হও, অতিরিক্ত চঞ্চল হয়ো না।

টুপি X সত্যিই অদ্ভুত।

এর থেকে উদ্ভূত এই বিষয়টি আমরা আপাতত অপরিবর্তিত রাখছি।

আমরা সূচকীয় ফাংশনটি অপরিবর্তিত রাখি।

এর পরেই মূল নেপে নম্বরটি আসে।

নেপে এক্স ডেরিভেটিভ দ্রুত

এটা তো শুধু ১ কে x দিয়ে ভাগ, এটা মোটেও কঠিন কিছু না।

লগারিদম x এবং লগারিদমের মধ্যে পার্থক্য কী?

আমরা যেন আমাদের দেশের ভিত্তি সংখ্যাটি ভুলে না যাই।

(সংগ্রহ করুন)

উৎস: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html