Mi a derivált? Részletes deriváltképletek

A közönséges függvények, trigonometrikus deriváltak, exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjai, valamint másodrendű deriváltak összes deriváltképlete mellett az olvasók egy versen keresztül memorizálhatják a deriváltak kiszámításának képletét.

Gyors áttekintés:

• Mi a származék?
• Egy függvény deriváltjának képlete egy pontban
• Közös függvények deriváltjai
• Összegek, különbségek, szorzatok és hányadosok deriváltjai.
• Összetett függvény deriváltja
• Trigonometrikus függvények deriváltjai
• Exponenciális függvény deriváltja
• Logaritmikus függvény deriváltja
• Második derivált
• Tippek a deriváltképletek megjegyzéséhez

Mi a származék?

A Math 11 tankönyv 2. kötetének, a „Tudás és élet összekapcsolása” sorozatnak a szerint a függvények deriváltja a matematika egyik fontos fogalma. A derivált egy függvény változásának sebességét jelenti egy pontban vagy egy intervallumban.

Egy függvény deriváltjának képlete egy pontban

Egy függvény egy pontbeli deriváltja jelzi a függvény változásának mértékét az adott pontban.

Közös függvények deriváltjai

Ezek a hatványfüggvények legegyszerűbb formái – amelyek később számos összetettebb függvény deriváltjainak kiszámításához szolgálnak alapul.

Összegek, különbségek, szorzatok és hányadosok deriváltjai.

Az összegek, különbségek, szorzatok és hányadosok deriváltjai fontos szabályok, amelyek segítenek kiszámítani az egyszerű függvények komplex kifejezéseinek deriváltjait. Ahelyett, hogy újra egy határérték definíciójából kellene bizonyítanunk őket, egyszerűen alkalmazhatjuk ezeket a képleteket és szabályokat a folyamat egyszerűsítésére.

Konkrétan egy összeg vagy különbség deriváltja egyenlő a deriváltjai összegével vagy különbségével; egy szorzat deriváltja a „derivált először, majd szorzás; összeadás először, majd derivált” szabályt követi; és egy hányados deriváltja a „számláló deriváltja szorozva a nevezővel, kivonás számláló szorozva a nevezővel, deriváltja osztás a nevezővel négyzetre emelve” szabályt követi. Ezeket a képleteket az alábbiakban világosan bemutatjuk, szemléltető példákkal illusztrálva, hogy a tanulók könnyen megjegyezhessék és alkalmazhassák őket a gyakorlatokban.

Összetett függvény deriváltja

Egy összetett függvény deriváltját akkor használjuk, ha a függvény több beágyazott függvényből áll. A láncszabály alkalmazásával az összetett függvény deriváltja egyenlő a külső függvény deriváltjának és a belső függvény deriváltjának szorzatával.

Trigonometrikus függvények deriváltjai

A trigonometrikus függvények deriváltjai segítenek megérteni az olyan függvények változásának sebességét, mint a sin(x), cos(x) vagy tan(x) az x értékének változásával.

A sin(x) és cos(x) deriváltjainak elsajátításával levezethetjük más trigonometrikus függvények deriváltjait is, mivel ezek mindegyike kifejezhető sin és cos segítségével (a hányadosszabály segítségével).

A következő szakaszban a sin(x) és a cos(x) deriváltképleteit bizonyítjuk. Innen kiindulva más trigonometrikus függvények deriváltjait is kiszámíthatjuk, valamint kiterjeszthetjük ezt inverz trigonometrikus függvényekre és néhány más speciális képletre.

Exponenciális függvény deriváltja

Egy exponenciális függvény deriváltja megmutatja az a ^x (a>0, a≠1) vagy különösen az e ^x alakú függvények változásának sebességét. Ezek közül az e ^x tekinthető a legfontosabb exponenciális függvénynek, mivel a deriváltja egyenlő önmagával.

Logaritmikus függvény deriváltja

Egy logaritmikus függvény deriváltja a _log⁡a (x) alakú függvények változásának sebességét jelzi (ahol a>0, a≠1), amelyek közül a legfontosabb az ln⁡(x) - az e alapú természetes logaritmus.

Ismerve az ln(x) deriváltképletét, könnyen levezethetjük a _log⁡a (x) deriváltját az alapképlet megváltoztatásával.

Második derivált

A második derivált az első derivált deriváltja; vagyis egy függvény deriváltját kétszer egymás után vesszük. Ha az első derivált a függvény változásának sebességét adja meg, akkor a második derivált ugyanezen sebesség változásának sebességét adja meg.

A geometriában a második derivált segít meghatározni egy grafikon görbületét/konkávitását. A fizikában, ha egy függvény a távolságot az idő függvényében ábrázolja, akkor az első derivált a sebesség, míg a második derivált a gyorsulás.

Tippek a deriváltképletek megjegyzéséhez

- A képleteket csoportosan, ne pedig egyénileg tanuljuk meg.

- Őrizd meg a receptlapot, hogy azonnal használhasd, ha elfelejtenéd.

- Ismerje meg a származékos műveket a költészeten keresztül:

Száz év az emberi világban

A derivatíva olyan dolog, amiben a lusta diákok, akik ezt tanulmányozzák, talán nem túl jók.

X kitevőjű (en) n

Először a deriváltat vesszük n hatványára.

Aztán ott van a fenti kitevő.

Csak kivonunk ebből 1-et.

Az x gyök deriváltja, barátom.

Emlékezz erre a szerelemre, barátom, ne feledd!

A halál az 1-es szám, amely változatlan marad.

Például írd össze a két négyzetgyököt x a sebességhez.

Két testvér szorzatának származéka

Előbb megtanítalak, és későbbre tartogatlak.

Ezután adj hozzá egy pluszjelet a dolgok felgyorsításához.

Az első testvért tartsuk meg a jelenlegi állapotában, a második testvért pedig a derivált után.

Ha igazán szeretsz valakit, akkor bármilyen nehézséget elviselsz.

Az anya erénye változatlan marad.

Ne felejtsd el a mínuszjelet!

A halál forrása, az anyaság útja szorosan követi.

Hová megy a nevező négyzete?

Vigyük le a földszintre, hogy gyorsabban megjegyezhessük.

A szinusz deriváltja valóban lenyűgöző.

Kiderült, hogy a koszinusz soha nem téves.

A derivált koszinusza olyan szép, mint egy álom.

Kivéve a szinuszt, ami teljesen összezavar.

A kemény munka kompenzálja az intelligencia hiányát.

Az egyik osztva a koszinusz négyzetével, a tangens deriváltja.

Csak szorgalmas tanulással érhet el az ember dicsőséget.

Bár a temetés nehéz, mégis kötelességtudattal jár.

Vonj ki egyet a számból, és ne felejtsd el megtenni.

Légy jó ember, ne légy túl könnyelmű.

Az X sapka tényleg furcsa.

A származéka, egyelőre változatlanul hagyjuk.

Az exponenciális függvényt úgy hagyjuk, ahogy van.

Az alap Nepe-szám közvetlenül utána következik.

Nepe x származék gyorsan

Csak 1-et kell osztani x-szel, egyáltalán nem nehéz.

Mi a különbség az x logaritmus és a logaritmus között?

Ne feledkezzünk meg hazánk alapszámáról sem.

(Gyűjt)

Forrás: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html