Mi a derivált? Részletes deriváltképletek

A közönséges függvények, trigonometrikus deriváltak, exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjai, valamint másodrendű deriváltak összes deriváltképlete mellett az olvasók egy versen keresztül memorizálhatják a deriváltak kiszámításának képletét.

Gyorsnézet:

• Mi a származék?
• Egy függvény deriváltjának képlete egy pontban
• Közös függvények deriváltjai
• Összeg, különbség, szorzat, hányados deriváltjai
• Összetett függvény deriváltja
• Trigonometrikus függvények deriváltjai
• Az exponenciális függvény deriváltja
• Logaritmikus függvény deriváltja
• Második derivált
• Tippek a deriváltképlet megjegyzéséhez

Mi a származék?

A Math 11 2. kötetének, az „Összetett tudás és életsorok összekapcsolása” című rész szerint a függvények deriváltja a matematika egyik fontos fogalma. A derivált egy függvény változásának sebességét fejezi ki egy pontban vagy egy intervallumban.

Egy függvény deriváltjának képlete egy pontban

Egy függvény egy adott pontbeli deriváltja megmutatja, hogy mennyit változik a függvény az adott pontban.

Közös függvények deriváltjai

Ezek a hatványfüggvények legegyszerűbb alakjai - ezek képezik az alapot a bonyolultabb függvények deriváltjainak későbbi kiszámításához.

Összeg, különbség, szorzat, hányados deriváltjai

Az összegek, különbségek, szorzatok és hányadosok deriváltjai fontos szabályok, amelyek segítenek egyszerű függvényekből összetett kifejezések deriváltjainak kiszámításában. Ahelyett, hogy újra be kellene bizonyítanunk a határértékek definícióját, egyszerűen alkalmazhatjuk ezeket a szabályképleteket a művelet egyszerűsítésére.

Konkrétan, az összeg vagy különbség deriváltja egyenlő a deriváltak összegével vagy különbségével; a szorzat deriváltja a „derivált először, majd szorzás, először összeadás, majd a derivált szorzása” szabályt követi; a hányados deriváltja pedig a „derivált számlálója szorozva a nevezővel, számláló kivonása szorozva a derivált nevezőjével, osztás a nevező négyzetével” szabályt követi. Ezeket a képleteket az alábbiakban világosan, szemléltető példákkal mutatjuk be, hogy a tanulók könnyen megjegyezhessék és alkalmazhassák őket a gyakorlatokban.

Összetett függvény deriváltja

Egy összetett függvény deriváltját akkor használjuk, ha a függvény több egymásba ágyazott függvényrétegből áll. A láncszabály alkalmazásával egy összetett függvény deriváltja egyenlő a külső függvény deriváltjának és a belső függvény deriváltjának szorzatával.

Trigonometrikus függvények deriváltjai

A trigonometrikus függvények deriváltjai segítenek megismerni olyan függvények változásának sebességét, mint a sin(x), cos(x) vagy tan(x), amikor az x értéke változik.

Már a sin(x) és a cos(x) deriváltjainak elsajátításával levezethetjük más trigonometrikus függvények deriváltjait is, mivel ezek mindegyike kifejezhető a sin és a cos alapján (a hányadosszabály segítségével).

A következő szakaszban a sin(x) és a cos(x) deriváltképletét bizonyítjuk. Innen kiindulva más trigonometrikus függvények deriváltjait is kiszámíthatjuk, valamint kiterjeszthetjük a számítást inverz trigonometrikus függvényekre és néhány más speciális képletre is.

Az exponenciális függvény deriváltja

Egy exponenciális függvény deriváltja megmutatja az a ^x (a>0, a≠1) vagy különösen az e ^x alakú függvények változásának sebességét. Ezek közül az e ^x tekinthető a legfontosabb exponenciális függvénynek, mivel a deriváltja egyenlő önmagával.

Logaritmikus függvény deriváltja

Egy logaritmikus függvény deriváltja a log _⁡a (x) alakú függvények (ahol a>0, a≠1) változásának sebességét adja meg, amelyek közül a legfontosabb az ln⁡(x) - az e alapú természetes logaritmus.

Ismerve az ln⁡(x) deriváltképletét, könnyen levezethetjük a log _⁡a (x) deriváltját a bázisváltási képlet segítségével.

Második derivált

A második derivált az első derivált deriváltja, azaz egy függvény deriváltját kétszer egymás után vesszük. Ha az első derivált a függvény változásának sebességét adja meg, akkor a második derivált ugyanezen sebesség változásának sebességét adja meg.

A geometriában a második derivált segít meghatározni egy grafikon görbületét/konkávitását. A fizikában, ha egy függvény a távolságot az idő függvényében ábrázolja, az első derivált a sebesség, a második derivált pedig a gyorsulás.

Tippek a deriváltképlet megjegyzéséhez

- Tanulja meg a képleteket csoportokban, ne pedig külön-külön.

- Mentsd el a képlettáblázatot, hogy azonnal alkalmazni tudd, ha elfelejted.

- Tanuljon származékokat verseken keresztül:

Száz év ezen a világon

Aki lusta a derivatívákat tanulni, az feledékeny.

X n hatványon

Vegyük az első n-hatványú deriváltat.

Ezután a fenti kitevő

Rögtön kivonunk 1-et.

Négyzetgyök x deriváltja, barátom

Szeretettel, barátom, ne feledkezz meg róla.

A számláló az 1 egész szám.

A 2. minta négyzetgyök x-szel együtt leírva a gyorsaság kedvéért.

Két testvér szorzatának származéka

Először megtanítalak, aztán későbbre tartogatlak.

Ezután adj hozzá egy pluszjelet a gyorsaság jelzésére.

Tartsd meg az első testvért, a hátsó testvér származékát.

Ha szeretsz, bármilyen nehéz is, elfogadod.

A derivált és a nevező ugyanaz marad.

Ne felejtsd el a mínuszjelet.

A világegyetem eredete és az anya útja szorosan a nyomukban következik.

Hová kerül a minta négyzet?

Lehoztam, hogy gyorsan megtanuljam a leckét.

A szinusz deriváltja igazán tehetséges.

Kiderült, mert az sosem rossz.

Egy álom származéka

Vondd ki a bűnt, hogy békén maradj.

A szorgalom kárpótol az intelligenciáért

A koszinuszos osztás a tangens derivált.

Csak szorgalmas tanulással lehet valaki büszke.

Bár a temetés nehéz, mégis megvannak a maga származékai.

Vonj ki 1-et, és ne felejtsd el megtenni.

Légy normális ember, ne legyél túl játékos.

E hat x annyira furcsa

A származékát megtartjuk.

Az exponenciális függvényt békén hagyjuk.

Az alapszám közvetlenül utána futott.

Nepe x származék gyorsan

1-et el kell osztani x-szel, ami nem is olyan nehéz.

Az x logaritmus más?

Ne felejtsük el az alapszámunkat.

(Gyűjt)

Forrás: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html