Mi a derivált? Részletes deriváltképletek

Mi a származék?

A Math 11 2. kötetének, az „Összetett tudás és életsorok összekapcsolása” című rész szerint a függvények deriváltja a matematika egyik fontos fogalma. A derivált egy függvény változásának sebességét fejezi ki egy pontban vagy egy intervallumban.

Egy függvény deriváltjának képlete egy pontban

Egy függvény egy adott pontbeli deriváltja megmutatja, hogy mennyit változik a függvény az adott pontban.

Közös függvények deriváltjai

Ezek a hatványfüggvények legegyszerűbb alakjai - ezek képezik az alapot a bonyolultabb függvények deriváltjainak későbbi kiszámításához.

Összeg, különbség, szorzat, hányados deriváltjai

Az összegek, különbségek, szorzatok és hányadosok deriváltjai fontos szabályok, amelyek segítenek egyszerű függvényekből összetett kifejezések deriváltjainak kiszámításában. Ahelyett, hogy újra be kellene bizonyítanunk a határértékek definícióját, egyszerűen alkalmazhatjuk ezeket a szabályképleteket a művelet egyszerűsítésére.

Konkrétan, az összeg vagy különbség deriváltja egyenlő a deriváltak összegével vagy különbségével; a szorzat deriváltja a „derivált először, majd szorzás, először összeadás, majd a derivált szorzása” szabályt követi; a hányados deriváltja pedig a „derivált számlálója szorozva a nevezővel, számláló kivonása szorozva a derivált nevezőjével, osztás a nevező négyzetével” szabályt követi. Ezeket a képleteket az alábbiakban világosan, szemléltető példákkal mutatjuk be, hogy a tanulók könnyen megjegyezhessék és alkalmazhassák őket a gyakorlatokban.

Az összeg-szorzat-hányados függvény 3 függvénye.PNG

Összetett függvény deriváltja

Egy összetett függvény deriváltját akkor használjuk, ha a függvény több egymásba ágyazott függvényrétegből áll. A láncszabály alkalmazásával egy összetett függvény deriváltja egyenlő a külső függvény deriváltjának és a belső függvény deriváltjának szorzatával.

Trigonometrikus függvények deriváltjai

A trigonometrikus függvények deriváltjai segítenek megismerni olyan függvények változásának sebességét, mint a sin(x), cos(x) vagy tan(x), amikor az x értéke változik.

Már a sin(x) és a cos(x) deriváltjainak elsajátításával levezethetjük más trigonometrikus függvények deriváltjait is, mivel ezek mindegyike kifejezhető a sin és a cos alapján (a hányadosszabály segítségével).

A következő szakaszban a sin(x) és a cos(x) deriváltképletét bizonyítjuk. Innen kiindulva más trigonometrikus függvények deriváltjait is kiszámíthatjuk, valamint kiterjeszthetjük a számítást inverz trigonometrikus függvényekre és néhány más speciális képletre is.

Trigonometrikus függvények 5 tengelye.PNG

Az exponenciális függvény deriváltja

Egy exponenciális függvény deriváltja megmutatja az a ^x (a>0, a≠1) vagy különösen az e ^x alakú függvények változásának sebességét. Ezek közül az e ^x tekinthető a legfontosabb exponenciális függvénynek, mivel a deriváltja egyenlő önmagával.

Logaritmikus függvény deriváltja

Egy logaritmikus függvény deriváltja a log _⁡a (x) alakú függvények (ahol a>0, a≠1) változásának sebességét adja meg, amelyek közül a legfontosabb az ln⁡(x) - az e alapú természetes logaritmus.

Ismerve az ln⁡(x) deriváltképletét, könnyen levezethetjük a log _⁡a (x) deriváltját a bázisváltási képlet segítségével.

Második derivált

A második derivált az első derivált deriváltja, azaz egy függvény deriváltját kétszer egymás után vesszük. Ha az első derivált a függvény változásának sebességét adja meg, akkor a második derivált ugyanezen sebesség változásának sebességét adja meg.

A geometriában a második derivált segít meghatározni egy grafikon görbületét/konkávitását. A fizikában, ha egy függvény a távolságot az idő függvényében ábrázolja, az első derivált a sebesség, a második derivált pedig a gyorsulás.