Desenhando um triângulo que ultrapassa a borda do papel, dois estudantes inesperadamente provam um teorema matemático de 2.500 anos

O que é especial é que ninguém jamais provou o teorema dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.

No ensino médio, todos nós tivemos que resolver problemas de geometria. E depois de resolvermos problemas de geometria, todos nós já nos deparamos com esta situação pelo menos uma vez: ao desenhar uma figura, ficamos sem papel.

Todos esses casos envolvem um triângulo "mutante", com dois lados excepcionalmente longos, de modo que podem ser desenhados até a borda do papel sem se cruzarem. Como você lidaria com essa situação?

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Alguns alunos — com muita criatividade — continuarão desenhando a forma até o outro lado da folha, que é o verso. Outros pegarão outra folha e a colocarão embaixo da primeira para completar a forma. Ou, se estiver com pressa, você pode desenhar o triângulo flutuando sobre a mesa.

No entanto, algumas pessoas pensarão: Por que você insiste em desenhar esse triângulo "mutante"? Desenhe até o papel acabar e depois pare. Mesmo que você não desenhe a forma inteira no papel, sua solução definitivamente não está correta.

Mas um novo estudo publicado na revista American Mathematical Monthly os fará repensar. Às vezes, os triângulos na parte externa do papel podem esconder segredos matemáticos inesperados.

Especificamente neste caso, com um triângulo "mutante", dois estudantes do ensino médio nos EUA encontraram uma maneira de provar o teorema de Pitágoras, que já foi considerado "impossível" por mais de 2.500 anos, desde que foi declarado.

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Ninguém jamais provou o teorema de Pitágoras dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.

O Teorema de Pitágoras recebeu esse nome em homenagem ao antigo matemático grego Pitágoras (570–495 a.C.), que o provou pela primeira vez, embora haja evidências de que matemáticos de outras civilizações antigas, como Babilônia, Índia, Mesopotâmia e China, também o descobriram independentemente:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Se um triângulo retângulo tem lados de comprimento a e b e a hipotenusa é c, então o Teorema de Pitágoras é expresso pela fórmula:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Se não fosse pelo Teorema de Pitágoras, os antigos egípcios não teriam sido capazes de construir as pirâmides.

Parece uma fórmula simples, mas sem conhecer o Teorema de Pitágoras, os antigos egípcios não teriam sido capazes de construir as pirâmides, os babilônios não teriam sido capazes de calcular a posição das estrelas e os chineses não teriam sido capazes de dividir a terra.

Este teorema também lançou as bases para muitas escolas de matemática, como a geometria sólida, a geometria não euclidiana e a geometria diferencial — sem as quais, ou se fosse provado errado, quase todo o ramo da geometria da matemática conhecido pela humanidade hoje entraria em colapso.

Provar o Teorema de Pitágoras era, portanto, uma tarefa muito importante. Já em 500 a.C., o antigo matemático grego Pitágoras empreendeu essa tarefa e deixou seu nome na história pela primeira vez.

Ele provou o Teorema de Pitágoras usando um método muito simples:

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Desenhe um quadrado com lados de comprimento a + b. Em seguida, em cada vértice, continue desenhando 4 triângulos iguais, com lados a e b. Esses triângulos são todos triângulos retângulos iguais, com hipotenusa c e, juntos, criam um espaço dentro do quadrado com área c ² .

Então, apenas reorganizando as posições desses 4 triângulos, Pitágoras criou dois novos espaços que eram dois quadrados com lados a e b. A área total desses dois espaços era a ² + b ² , que obviamente tinha que ser igual ao espaço original c ² .

Esta é a prova que você encontrará no seu livro didático de matemática do 7º ano do Ensino Fundamental. Mas há outra prova do teorema de Pitágoras que você talvez não tenha aprendido. É a solução que Albert Einstein encontrou quando tinha 11 anos.

Einstein então percebeu que, se deduzisse uma altura AD perpendicular à hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC, obteria dois triângulos retângulos semelhantes a este. Agora, simplesmente desenhando quadrados fora do triângulo retângulo ABC com lados iguais a cada um dos seus lados, Einstein obteria três quadrados com áreas iguais a a ² , b ² e c ² .

Como a razão entre a área de um triângulo retângulo e a área de um quadrado sobre sua hipotenusa é a mesma para triângulos semelhantes, teremos também 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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No entanto, estas são apenas duas das 370 provas do Teorema de Pitágoras que os matemáticos encontraram ao longo dos últimos 2.500 anos. Utilizando álgebra, cálculo e diversos cortes geométricos, este teorema matemático pode ser comprovado por meio de métodos que variam de simples a complexos.

No entanto, em todas essas soluções, não há comprovação por meio de fórmulas trigonométricas. Como o próprio Pitágoras é um teorema fundamental em trigonometria, prová-lo usando trigonometria nos levaria a uma armadilha de falácia lógica, chamada pensamento circular, quando usamos o próprio Teorema de Pitágoras para provar o Teorema de Pitágoras.

Os matemáticos falharam repetidamente nessa tarefa, tanto que em 1927, o matemático americano Elisha Loomis exclamou: " Não há como provar o Teorema de Pitágoras pela trigonometria porque todas as fórmulas trigonométricas básicas devem depender da correção do Teorema de Pitágoras."

Mas, como se viu, Elisha Loomis estava errado.

Quase 100 anos depois, esses dois estudantes do ensino médio encontraram uma maneira de provar o Teorema de Pitágoras usando trigonometria.

Em um novo estudo publicado no periódico American Mathematical Monthly, duas estudantes, Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson, da St. Mary's Academy High School, no Colorado, apresentaram não uma, mas 10 maneiras de provar o Teorema de Pitágoras usando trigonometria.

Ne'Kiya Jackson (esquerda) e Calcea Johnson (direita).

Para poder fazer isso, Jackson e Johnson usaram um triângulo retângulo ABC, como de costume. " Nossa primeira prova começa invertendo o triângulo ABC sobre seu lado AC para formar um triângulo isósceles ABB ", escreveram a dupla no artigo.

Na próxima etapa, eles construirão um triângulo retângulo AB'D, estendendo o lado AB até o ponto D, de modo que, a partir de D, possam traçar uma perpendicular até B'A.

Neste ponto, certifique-se de ter papel suficiente, porque AB'D é um triângulo com um lado excepcionalmente longo e o ponto D provavelmente saltará além da borda do papel.

Então, do ponto B, você traçará uma perpendicular até BB', cortando B'D em E. Então, de E, traçará uma perpendicular até cortar AD em F... E assim por diante indefinidamente, você obterá um número infinito de triângulos semelhantes cujas áreas somadas são iguais à área do triângulo AB'D:

Agora o ponto importante:

Jackson e Johnson descobriram que, como BB' tem comprimento 2a e o triângulo B'EB é semelhante ao triângulo ABC, eles podem calcular o comprimento do lado BE como 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Assim, os lados FG e GH podem ser calculados como 2a ⁴ c/b ⁴ e 2a ⁶ c/b ⁶ …

Então, o comprimento da hipotenusa AD será igual à soma dos segmentos de reta:

No triângulo AB'D, temos:

Das duas fórmulas acima, obtemos a equação:

Em que, usando a soma de uma série convergente básica é:

Imediatamente após sua publicação, a prova do Teorema de Pitágoras de Jackson e Johnson atraiu matemáticos, incluindo Álvaro Lozano-Robledo, da Universidade de Connecticut.

" Parecia algo que eu nunca tinha visto antes", disse Lozano-Robledo. A ideia de preencher um triângulo grande com infinitos triângulos menores e então calcular os comprimentos de seus lados usando uma série convergente foi uma inovação inesperada para um estudante do ensino médio.

O matemático Álvaro Lozano-Robledo, da Universidade de Connecticut, elogiou Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson.

“ Algumas pessoas acham que é preciso passar anos na escola ou em institutos de pesquisa para resolver um novo problema ”, disse Lozano-Robledo. “ Mas isso prova que isso pode ser feito enquanto você ainda está no ensino médio.”

Jackson e Johnson não apenas provaram o Teorema de Pitágoras de uma maneira completamente nova, como sua solução também enfatizou um limite frágil do conceito de trigonometria, eles disseram.

" Alunos do ensino médio podem não perceber que existem duas versões de trigonometria associadas ao mesmo termo. Nesse caso, tentar entender trigonometria é como tentar entender uma imagem com duas imagens diferentes impressas uma sobre a outra ", dizem eles.

A solução surpreendente para o Teorema de Pitágoras veio de Jackson e Johnson, que separaram essas duas variações trigonométricas e usaram outra lei fundamental da trigonometria, a Lei dos Senos. Dessa forma, a dupla evitou os círculos viciosos que matemáticos anteriores, incluindo Elisha Loomis, encontraram ao tentar provar o Teorema de Pitágoras usando o Teorema de Pitágoras.

Ninguém jamais provou o teorema de Pitágoras dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.

"Seus resultados chamaram a atenção de outros estudantes para uma perspectiva nova e promissora ", disse Della Dumbaugh, editora-chefe da American Mathematical Monthly. comentário.

“ Isso também abrirá muitas novas conversas matemáticas ”, diz Lozano-Robledo. “ É quando outros matemáticos podem usar este artigo para generalizar essa prova, generalizar suas ideias ou simplesmente usar essa ideia de outras maneiras.”

Podemos observar que um novo território na matemática foi aberto depois que Jackson e Johnson desenharam o " triângulo " mutante. Um triângulo que se estende além da borda do papel contém em seu interior um laço de triângulos infinitos.

Então, da próxima vez que você estiver resolvendo um problema de geometria e se deparar com uma aresta, tente desenhá-la até a aresta. Quem sabe, você pode acabar descobrindo algo.

Fonte: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Fonte: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm