O que é especial é que ninguém jamais provou o teorema dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.
No ensino médio, todos nós tivemos que resolver problemas de geometria. E depois de resolvermos problemas de geometria, todos nós já nos deparamos com esta situação pelo menos uma vez: enquanto desenhamos uma figura, ficamos sem papel.
Todos esses casos envolvem um triângulo "mutante", com dois lados excepcionalmente longos, de modo que possam ser desenhados até a borda do papel sem se cruzarem. Como você lidaria com essa situação?
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Alguns alunos — com muita criatividade — continuarão desenhando a forma no verso da folha. Outros pegarão outra folha de papel e a colocarão embaixo da primeira para completar a forma. Ou, se você estiver com pressa, pode desenhar o triângulo flutuando sobre a mesa.
No entanto, algumas pessoas pensarão: Por que você insiste em desenhar esse triângulo "mutante"? Desenhe até o papel acabar e pare. Mesmo que você não desenhe a forma inteira no papel, sua solução definitivamente não está correta.
Mas um novo estudo publicado no periódico American Mathematical Monthly vai fazê-los repensar essa ideia. Às vezes, os triângulos na parte externa do papel podem esconder segredos matemáticos inesperados.
Especificamente neste caso, com um triângulo "mutante", dois estudantes do ensino médio nos EUA encontraram uma maneira de provar o teorema de Pitágoras, que foi considerado "impossível" por mais de 2.500 anos, desde que foi enunciado.
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Ninguém jamais provou o teorema de Pitágoras dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.
O Teorema de Pitágoras recebeu esse nome em homenagem ao antigo matemático grego Pitágoras (570–495 a.C.), que foi o primeiro a demonstrá-lo, embora haja evidências de que matemáticos de outras civilizações antigas, como a Babilônia, a Índia, a Mesopotâmia e a China, também o descobriram independentemente:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois catetos. Se um triângulo retângulo tem lados de comprimento a e b e a hipotenusa mede c, então o Teorema de Pitágoras é expresso pela fórmula:
c 2 = a 2 + b 2
Se não fosse pelo Teorema de Pitágoras, os antigos egípcios não teriam conseguido construir as pirâmides.
Parece uma fórmula simples, mas sem o conhecimento do Teorema de Pitágoras, os antigos egípcios não teriam sido capazes de construir as pirâmides, os babilônios não teriam sido capazes de calcular a posição das estrelas e os chineses não teriam sido capazes de dividir a terra.
Este teorema também lançou as bases para muitas escolas da matemática, como a geometria espacial, a geometria não euclidiana e a geometria diferencial – sem as quais, ou se fosse comprovado que estava errado, quase todo o ramo da geometria matemática conhecido pela humanidade hoje entraria em colapso.
Demonstrar o Teorema de Pitágoras era, portanto, uma tarefa muito importante. Já em 500 a.C., o matemático grego Pitágoras assumiu essa tarefa e fez seu nome na história pela primeira vez.
Ele provou o Teorema de Pitágoras usando um método muito simples:
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Desenhe um quadrado com lados de comprimento a+b. Em seguida, em cada canto, continue desenhando 4 triângulos iguais, com lados a e b. Esses triângulos são todos triângulos retângulos iguais, com hipotenusa c e juntos criam um espaço dentro do quadrado com área c 2 .
Então, apenas reorganizando as posições desses 4 triângulos, Pitágoras criou dois novos espaços que eram dois quadrados com lados a e b. A área total desses dois espaços era a² + b² , que, obviamente, tinha que ser igual ao espaço original c² .
Essa é a demonstração que você encontrará no seu livro de matemática do 7º ano do ensino fundamental. Mas existe outra demonstração do teorema de Pitágoras que você talvez não conheça. É a solução que Albert Einstein propôs quando tinha apenas 11 anos.
Einstein então percebeu que se traçasse uma linha AD perpendicular à hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC, obteria 2 triângulos retângulos semelhantes ao triângulo retângulo ABC. Agora, simplesmente desenhando quadrados fora do triângulo retângulo ABC com lados iguais a cada um de seus lados, Einstein obteria 3 quadrados com áreas iguais a a² , b² e c² .
Como a razão entre a área de um triângulo retângulo e a área de um quadrado sobre sua hipotenusa é a mesma para triângulos semelhantes, também teremos 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 .
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No entanto, essas são apenas duas das 370 demonstrações do Teorema de Pitágoras que os matemáticos descobriram nos últimos 2.500 anos. Utilizando álgebra, cálculo e diversos cortes geométricos, esse teorema matemático pode ser comprovado por métodos que variam do simples ao complexo.
No entanto, em todas essas soluções, não há demonstração usando fórmulas trigonométricas. Como o próprio Teorema de Pitágoras é um teorema fundamental da trigonometria, demonstrá-lo usando trigonometria nos levaria a uma armadilha de falácia lógica, chamada pensamento circular, quando usamos o próprio Teorema de Pitágoras para demonstrar o Teorema de Pitágoras.
Os matemáticos falharam repetidamente nessa tarefa, tanto que, em 1927, o matemático americano Elisha Loomis exclamou: " Não há como provar o Teorema de Pitágoras por trigonometria, porque todas as fórmulas trigonométricas básicas dependem da correção do Teorema de Pitágoras."
Mas, como se viu, Elisha Loomis estava errado.
Quase 100 anos depois, esses dois estudantes do ensino médio encontraram uma maneira de provar o Teorema de Pitágoras usando trigonometria.
Em um novo estudo publicado na revista American Mathematical Monthly, duas estudantes, Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson, da St. Mary's Academy High School, no Colorado, apresentaram não uma, mas dez maneiras de provar o Teorema de Pitágoras usando trigonometria.
Ne'Kiya Jackson (à esquerda) e Calcea Johnson (à direita).
Para poder fazer isso, Jackson e Johnson usaram um triângulo retângulo ABC como de costume. " Nossa primeira demonstração começa girando o triângulo ABC sobre seu lado AC para formar um triângulo isósceles ABB ", escreveram os dois no artigo.
Na próxima etapa, eles construirão um triângulo retângulo AB'D, estendendo o lado AB até o ponto D, de modo que a partir de D possam traçar uma perpendicular a B'A.
Neste ponto, certifique-se de ter papel suficiente, pois AB'D é um triângulo com um lado excepcionalmente longo e o ponto D provavelmente ultrapassará a borda do papel.
Então, a partir do ponto B, você traçará uma perpendicular a BB', que interceptará B'D em E. Em seguida, a partir de E, traçará uma perpendicular que interceptará AD em F... E assim por diante, indefinidamente, obtendo-se um número infinito de triângulos semelhantes cujas áreas combinadas são iguais à área do triângulo AB'D.
Agora, o ponto importante:
Jackson e Johnson descobriram que, como BB' tem comprimento 2a e o triângulo B'EB é semelhante ao triângulo ABC, eles podem calcular o comprimento do lado BE como 2a² /b. BF = 2A²c / b² . Assim, os lados FG e GH podem ser calculados como 2a⁴c / b⁴ e 2a⁶c /b⁶, respectivamente .
Então, o comprimento da hipotenusa AD será igual à soma dos segmentos de reta:
No triângulo AB'D, temos:
A partir das duas fórmulas acima, obtemos a equação:
Em que, usando a soma de uma série convergente básica, temos:
Imediatamente após sua publicação, a demonstração do Teorema de Pitágoras por Jackson e Johnson atraiu matemáticos, incluindo Álvaro Lozano-Robledo, da Universidade de Connecticut.
“ Não se parecia com nada que eu já tivesse visto antes”, disse Lozano-Robledo. A ideia de preencher um triângulo grande com infinitos triângulos menores e depois calcular o comprimento de seus lados usando uma série convergente foi uma inovação inesperada para uma estudante do ensino médio.
O matemático Álvaro Lozano-Robledo, da Universidade de Connecticut, elogiou Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson.
“ Algumas pessoas pensam que é preciso passar anos na escola ou em institutos de pesquisa para resolver um novo problema ”, disse Lozano-Robledo. “ Mas isso prova que é possível fazê-lo ainda no ensino médio.”
Jackson e Johnson não apenas provaram o Teorema de Pitágoras de uma maneira completamente nova, como sua solução também enfatizou um limite frágil do conceito de trigonometria, afirmaram eles.
" Os alunos do ensino médio podem não perceber que existem duas versões de trigonometria associadas ao mesmo termo. Nesse caso, tentar entender trigonometria é como tentar entender uma imagem com duas figuras diferentes impressas uma sobre a outra ", afirmam.
A solução surpreendente para o Teorema de Pitágoras surgiu quando Jackson e Johnson separaram essas duas variações trigonométricas e utilizaram outra lei fundamental da trigonometria, a Lei dos Senos. Dessa forma, a dupla evitou os círculos viciosos que matemáticos anteriores, incluindo Elisha Loomis, encontraram ao tentar provar o Teorema de Pitágoras usando o próprio Teorema de Pitágoras.
Ninguém jamais provou o teorema de Pitágoras dessa maneira, nem mesmo Albert Einstein.
"Os resultados obtidos por eles chamaram a atenção de outros estudantes para uma perspectiva nova e promissora ", disse Della Dumbaugh, editora-chefe da revista American Mathematical Monthly. comentário.
“ Isso também abrirá muitas novas discussões matemáticas ”, diz Lozano-Robledo. “ É aí que outros matemáticos poderão usar este artigo para generalizar essa demonstração, generalizar suas ideias ou simplesmente usar essa ideia de outras maneiras.”
Pode-se observar que um novo campo se abriu na matemática depois que Jackson e Johnson desenharam o " triângulo " mutante. Um triângulo que se estende além da borda do papel contém em seu interior um laço de triângulos infinitos.
Então, da próxima vez que você estiver resolvendo um problema de geometria e se deparar com uma aresta, tente desenhá-la até a borda. Quem sabe, você pode acabar fazendo uma descoberta.
Fonte: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline
Fonte: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm
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