Dva studenti nakreslí trojúhelník přesahující okraj papíru a nečekaně dokážou 2 500 let starou matematickou větu.

Zvláštní je, že tuto větu nikdy nikdo tímto způsobem nedokázal, dokonce ani Albert Einstein.

Na střední škole jsme všichni museli řešit geometrické příklady. A jakmile jsme už geometrické příklady řešili, všichni jsme se alespoň jednou setkali s touto situací: Při kreslení útvaru nám došel papír.

Všechny takové případy zahrnují „mutantní“ trojúhelník se dvěma neobvykle dlouhými stranami, takže je lze nakreslit až k okraji papíru, aniž by se protínaly. Jak byste tuto situaci řešili?

Ilustrační fotografie.

Někteří studenti – velmi kreativně – pokračují v kreslení tvaru na druhou stranu papíru, což je zadní strana papíru. Jiní si vezmou další list papíru a vloží ho pod první, aby tvar dokončili. Nebo, pokud máte nouzi, můžete nakreslit trojúhelník plovoucí na stole.

Někteří lidé si ale budou říkat: Proč trváte na kreslení toho „mutantního“ trojúhelníku? Kreslete jen tak, dokud vám nedojde papír, a pak přestaňte. I když na papír nenakreslíte celý tvar, vaše řešení rozhodně není správné.

Nová studie v časopise American Mathematical Monthly je ale donutí znovu se zamyslet. Trojúhelníky na vnější straně papíru mohou někdy skrývat nečekaná matematická tajemství.

Konkrétně v tomto případě, s „mutantním“ trojúhelníkem, našli dva středoškoláci v USA způsob, jak dokázat Pythagorovu větu, která byla kdysi považována za „nemožnou“ po více než 2 500 let od doby, kdy byla vyslovena.

Ilustrační fotografie.

Nikdo nikdy nedokázal Pythagorovu větu tímto způsobem, ani Albert Einstein.

Pythagorova věta je pojmenována po starořeckém matematikovi Pythagorovi (570–495 př. n. l.), který ji jako první dokázal, ačkoli existují důkazy, že ji nezávisle na sobě objevili i matematici v jiných starověkých civilizacích, jako je Babylon, Indie, Mezopotámie a Čína:

Že v pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina přepony vždy rovna součtu druhých mocnin délek zbývajících dvou stran. Pokud má pravoúhlý trojúhelník strany o délce a a b a přepona je c, pak se Pythagorova věta vyjadřuje vzorcem:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Nebýt Pythagorovy věty, staří Egypťané by nebyli schopni postavit pyramidy.

Zdá se to jako jednoduchý vzorec, ale bez znalosti Pythagorovy věty by staří Egypťané nebyli schopni postavit pyramidy, Babyloňané by nebyli schopni vypočítat polohu hvězd a Číňané by nebyli schopni rozdělit zemi.

Tato věta také položila základy mnoha matematických škol, jako je geometrie prostorů, neeuklidovská geometrie a diferenciální geometrie - bez nich, nebo pokud by se ukázalo, že jsou mylné, by se zhroutila téměř celá větev geometrie matematiky známá lidstvu dnes.

Dokázání Pythagorovy věty bylo proto velmi důležitým úkolem. Již v roce 500 př. n. l. se tohoto úkolu ujal starověký řecký matematik Pythagoras a poprvé se zapsal do historie.

Pythagorovu větu dokázal velmi jednoduchou metodou:

Ilustrační fotografie.

Nakreslete čtverec o délkách stran a + b. Poté v každém rohu nakreslete 4 stejné trojúhelníky se stranami a a b. Tyto trojúhelníky jsou všechny stejné pravoúhlé trojúhelníky s přeponou c a dohromady tvoří uvnitř čtverce prostor o obsahu c ² .

Pak Pythagoras pouhým přeskupením poloh těchto 4 trojúhelníků vytvořil dva nové prostory, kterými byly dva čtverce se stranami a a b. Celková plocha těchto dvou prostorů byla ^a² + ^b² , která se samozřejmě musela rovnat původnímu prostoru ^c² .

Toto je důkaz, který najdete v učebnici matematiky pro 7. třídu na druhém stupni základní školy. Existuje však i další důkaz Pythagorovy věty, který jste se možná nenaučili. Je to řešení, na které přišel Albert Einstein, když mu bylo 11 let.

Einstein si pak uvědomil, že kdyby spustil výšku AD kolmo k přeponě BC pravoúhlého trojúhelníku ABC, získal by 2 pravoúhlé trojúhelníky podobné pravoúhlému trojúhelníku ABC. Nyní, pouhým nakreslením čtverců mimo pravoúhlý trojúhelník ABC se stranami rovnými každé z jeho stran, by Einstein získal 3 čtverce s plochami rovnými ^a² , ^b² a ^c² .

Protože poměr obsahu pravoúhlého trojúhelníku k obsahu čtverce na jeho přeponě je stejný pro podobné trojúhelníky, budeme mít také ^𝑐² = ^𝑎² + ^𝑏² .

Ilustrační fotografie.

Toto jsou však jen dva z 370 důkazů Pythagorovy věty, které matematici našli za posledních 2 500 let. Od použití algebry, kalkulu až po různé geometrické řezy, tuto matematickou větu lze dokázat pomocí metod od jednoduchých až po složité.

Avšak ve všech těchto řešeních neexistuje důkaz pomocí trigonometrických vzorců. Protože Pythagorova věta sama o sobě je základní větou v trigonometrii, její dokazování pomocí trigonometrie by nás při použití samotné Pythagorovy věty k jejímu dokázání zavedlo do pasti logického klamu, zvaného kruhové myšlení.

Matematici v tomto úkolu opakovaně selhávali, a to natolik, že v roce 1927 americký matematik Elisha Loomis zvolal: „ Neexistuje způsob, jak dokázat Pythagorovu větu trigonometrií, protože všechny základní trigonometrické vzorce se musí spoléhat na správnost Pythagorovy věty.“

Ale jak se ukázalo, Elisha Loomis se mýlil.

Téměř o 100 let později tito dva středoškoláci našli způsob, jak dokázat Pythagorovu větu pomocí trigonometrie.

V nové studii publikované v časopise American Mathematical Monthly představily dvě studentky, Ne'Kiya Jackson a Calcea Johnson ze střední školy St. Mary's Academy High School v Coloradu, ne jeden, ale deset způsobů, jak dokázat Pythagorovu větu pomocí trigonometrie.

Ne'Kiya Jackson (vlevo) a Calcea Johnson (vpravo).

Abych to mohl/a udělat, Jackson a Johnson jako obvykle použili pravoúhlý trojúhelník ABC. „ Náš první důkaz začíná převrácením trojúhelníku ABC přes jeho stranu AC, čímž vznikne rovnoramenný trojúhelník ABB ,“ napsali oba v článku.

V dalším kroku sestrojí pravoúhlý trojúhelník AB'D prodloužením strany AB do bodu D tak, aby z bodu D mohli spustit kolmici k bodu B'A.

V tomto bodě se ujistěte, že máte dostatek papíru, protože AB'D je trojúhelník s neobvykle dlouhou stranou a bod D s největší pravděpodobností přesáhne okraj papíru.

Pak z bodu B spustíte kolmici k bodu BB', která protne bod B'D v bodě E. Pak z bodu E spustíte kolmici k bodu řezu AD v bodě F... A tak dále donekonečna, získáte nekonečný počet podobných trojúhelníků, jejichž součet ploch se rovná ploše trojúhelníku AB'D:

A teď ten důležitý bod:

Jackson a Johnson zjistili, že jelikož BB' má délku 2a a trojúhelník B'EB je podobný trojúhelníku ABC, mohou vypočítat délku strany BE jako 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Strany FG a GH lze tedy vypočítat jako 2a ⁴ c/b ⁴ a 2a ⁶ c/b ⁶ …

Délka přepony AD pak bude rovna součtu úseček:

V trojúhelníku AB'D máme:

Z výše uvedených dvou vzorců dostaneme rovnici:

Ve kterém, s využitím součtu základní konvergentní řady, platí:

Ihned po zveřejnění přilákal Jacksonův a Johnsonův důkaz Pythagorovy věty matematiky, včetně Álvara Lozana-Robleda z University of Connecticut.

„ Vypadalo to jako nic, co jsem kdy předtím viděl,“ řekl Lozano-Robledo. Myšlenka vyplnit velký trojúhelník nekonečně mnoha menšími trojúhelníky a poté vypočítat délky jeho stran pomocí konvergentní řady byla pro středoškoláka nečekanou inovací.

Matematik Álvaro Lozano-Robledo z University of Connecticut ocenil Ne'Kiya Jackson a Calcea Johnson.

„ Někteří lidé si myslí, že někdo musí strávit roky ve škole nebo ve výzkumných ústavech, aby vyřešil nový problém ,“ řekl Lozano-Robledo. „ Ale tohle dokazuje, že to lze udělat ještě na střední škole.“

Jackson a Johnson nejenže dokázali Pythagorovu větu zcela novým způsobem, ale jejich řešení také zdůraznilo křehkou hranici konceptu trigonometrie, uvedli.

„ Studenti středních škol si možná neuvědomují, že k jednomu pojmu jsou přiřazeny dvě verze trigonometrie. V takovém případě je snaha porozumět trigonometrii jako snaha porozumět obrázku se dvěma různými obrázky vytištěnými na sobě ,“ říkají.

Překvapivé řešení Pythagorovy věty přišlo od Jacksona a Johnsona, kteří oddělili tyto dvě trigonometrické variace a použili další základní trigonometrický zákon, sinusovou větu. Tímto způsobem se dvojice vyhnula začarovaným kruhům, s nimiž se setkávali předchozí matematici, včetně Elishy Loomise, když se pokoušeli dokázat Pythagorovu větu pomocí Pythagorovy věty.

Nikdo nikdy nedokázal Pythagorovu větu tímto způsobem, ani Albert Einstein.

„Jejich výsledky upoutaly pozornost ostatních studentů na novou a slibnou perspektivu ,“ řekla Della Dumbaugh, šéfredaktorka časopisu American Mathematical Monthly. komentář.

„ Otevře to také spoustu nových matematických diskusí ,“ říká Lozano-Robledo. „ Tehdy mohou ostatní matematici tento článek využít k zobecnění daného důkazu, zobecnění svých myšlenek nebo jednoduše k použití dané myšlenky jinými způsoby.“

Je vidět, že poté, co Jackson a Johnson nakreslili mutantní „ trojúhelník “, se v matematice otevřela nová oblast. Trojúhelník přesahující okraj papíru obsahuje uvnitř smyčku nekonečných trojúhelníků.

Takže až příště budete řešit geometrický problém a narazíte na hranu, zkuste ji nakreslit až k ní. Kdo ví, třeba uděláte nějaký objev.

Zdroj: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Zdroj: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm