הבעיה של מציאת החתול מאחורי הדלת

[מודעה_1]

בעיית המתמטיקה לכיתה ה' מבקשת מהקורא לחשב את מספר הדלתות שיש לפתוח כדי למצוא את החתול, בידיעה שאחרי כל פתיחה של הדלת הריקה, החתול יעבור לדלת אחרת.

נוֹשֵׂא:

במסדרון ישר יש חמש דלתות בצד אחד. מאחורי אחת הדלתות נמצא חתול. המשימה שלכם היא למצוא את החתול על ידי פתיחת הדלת הנכונה. אתם יכולים לפתוח רק דלת אחת בכל יום. אם החתול שם, אתם מנצחים.

אם החתול לא נמצא שם, הדלת תיסגר, ותצטרכו לחכות עד למחרת לפני שתוכלו לפתוח אותה שוב. החתול נמצא בתנועה מתמדת, ובכל לילה הוא עובר לשבת מאחורי דלת אחרת. הדלת שאליה הוא עובר תהיה הדלת שמשמאל או מימין למקום בו הוא נמצא כרגע.

כמה ימים אתה צריך לוודא שאתה מוצא את החתול?

הבעיה היא שתצטרכו למצוא אסטרטגיה שתבטיח שתתפוס את החתול במספר קבוע של ימים, ללא קשר לדלת מאחוריה הוא מתחיל ולאן הוא עובר בלילה. המפתח לפתרון הבעיה הוא להתחיל עם מספר קטן יותר של דלתות, למצוא את התבנית, ולאחר מכן להגדיל את מספר הדלתות.

נתחיל עם המקרה שבו יש רק שלוש דלתות. אם תפתחו את הדלת האמצעית יומיים ברציפות, מובטח לכם לתפוס את החתול, כי אם החתול לא נמצא מאחורי הדלת האמצעית ביום הראשון, הוא חייב להיות מאחורי אחת משתי דלתות הקצה. ואם הוא נמצא מאחורי אחת מדלתות הקצה ביום הראשון, אין לו ברירה אלא לעבור לדלת האמצעית ביום השני.

אם יש ארבע דלתות, תוכלו לתפוס את החתול תוך ארבעה ימים. תוכלו למצוא את ההסבר בתשובה למטה, אך לפני כן, נסו להסביר זאת בעצמכם. זכרו, החתול זז רק לדלת שנמצאת מיד מימינו או שמאלו ויכול לחזור לדלת שמאחוריה היה קודם. האמינו שתרגישו מאושר כשתמצאו את ההסבר.

>>>תשובה

וו קוק בה קאן

מורה למתמטיקה, בית הספר ארכימדס, האנוי

[מודעה_2]
קישור למקור