कागज़ के किनारे से बाहर निकलता हुआ एक त्रिभुज बनाकर, दो छात्रों ने अप्रत्याशित रूप से 2,500 साल पुराने गणितीय सिद्धांत को सिद्ध कर दिया

विशेष बात यह है कि इस प्रमेय को इस तरीके से सिद्ध करने में अभी तक किसी ने सफलता नहीं पाई है, यहां तक ​​कि अल्बर्ट आइंस्टीन ने भी नहीं।

हाई स्कूल में, हम सभी को ज्यामिति के सवाल हल करने पड़े हैं। और एक बार ज्यामिति के सवाल हल करने के बाद, हम सभी को कम से कम एक बार इस स्थिति का सामना करना पड़ा होगा: कोई आकृति बनाते समय, कागज़ खत्म हो जाता है।

ऐसे सभी मामलों में एक "उत्परिवर्ती" त्रिभुज शामिल होता है, जिसकी दो भुजाएँ असामान्य रूप से लंबी होती हैं, ताकि उन्हें बिना काटे कागज़ के किनारे तक खींचा जा सके। आप इस स्थिति से कैसे निपटेंगे?

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कुछ छात्र—बहुत रचनात्मक ढंग से—कागज़ के दूसरी तरफ, यानी कागज़ के पिछले हिस्से पर भी आकृति बनाते रहेंगे। कुछ दूसरे छात्र एक और कागज़ की शीट लेकर उसे पहली शीट के नीचे रखकर आकृति पूरी कर लेंगे। या, अगर आपको जल्दी हो, तो आप मेज़ पर तैरता हुआ त्रिभुज भी बना सकते हैं।

हालाँकि, कुछ लोग सोचेंगे: आप उस "उत्परिवर्ती" त्रिभुज को बनाने पर क्यों ज़ोर दे रहे हैं? बस तब तक बनाते रहिए जब तक कागज़ खत्म न हो जाए, फिर रुक जाइए। अगर आप पूरी आकृति कागज़ पर नहीं भी बनाते, तो भी आपका उपाय निश्चित रूप से सही नहीं है।

लेकिन अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली पत्रिका में प्रकाशित एक नया अध्ययन अब उन्हें दोबारा सोचने पर मजबूर कर देगा। कभी-कभी, कागज़ के बाहर बने त्रिकोण अप्रत्याशित गणितीय रहस्य छिपा सकते हैं।

विशेष रूप से इस मामले में, एक "उत्परिवर्ती" त्रिभुज के साथ, अमेरिका में दो हाई स्कूल के छात्रों ने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का एक तरीका खोज निकाला, जिसे एक समय 2,500 से अधिक वर्षों तक "असंभव" माना जाता था, जब से इसे बताया गया था।

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पाइथागोरस प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करने में अभी तक किसी ने सफलता नहीं पाई है, यहां तक ​​कि अल्बर्ट आइंस्टीन ने भी नहीं।

पाइथागोरस प्रमेय का नाम प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस (570-495 ईसा पूर्व) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार सिद्ध किया था, हालांकि इस बात के प्रमाण हैं कि बेबीलोन, भारत, मेसोपोटामिया और चीन जैसी अन्य प्राचीन सभ्यताओं के गणितज्ञों ने भी स्वतंत्र रूप से इसकी खोज की थी :

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग हमेशा अन्य दो भुजाओं की लंबाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई a और b है और कर्ण c है, तो पाइथागोरस प्रमेय को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

यदि पाइथागोरस प्रमेय न होता तो प्राचीन मिस्रवासी पिरामिडों का निर्माण नहीं कर पाते।

यह एक सरल सूत्र जैसा प्रतीत होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय को जाने बिना, प्राचीन मिस्रवासी पिरामिडों का निर्माण नहीं कर पाते, बेबीलोनवासी तारों की स्थिति की गणना नहीं कर पाते, और चीनी लोग भूमि का विभाजन नहीं कर पाते।

इस प्रमेय ने ठोस ज्यामिति, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति जैसे गणित के कई विद्यालयों की नींव रखी - जिसके बिना, या यदि यह गलत साबित हो जाता, तो आज मानव जाति के लिए ज्ञात गणित की ज्यामिति की लगभग पूरी शाखा ध्वस्त हो जाती।

इसलिए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करना एक अत्यंत महत्वपूर्ण कार्य था। 500 ईसा पूर्व में ही, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने यह कार्य अपने हाथ में लिया और इतिहास में पहली बार अपना नाम दर्ज कराया।

उन्होंने एक बहुत ही सरल विधि का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध किया:

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a+b भुजाओं वाला एक वर्ग बनाएँ। फिर, प्रत्येक कोने पर, a और b भुजाओं वाले चार बराबर त्रिभुज बनाएँ। ये सभी त्रिभुज समान समकोण त्रिभुज हैं, जिनका कर्ण c है और ये मिलकर वर्ग के अंदर क्षेत्रफल c ² वाला एक स्थान बनाते हैं।

फिर, उन चारों त्रिभुजों की स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करके, पाइथागोरस ने दो नए स्थान बनाए, जो a और b भुजाओं वाले दो वर्ग थे। उन दो स्थानों का कुल क्षेत्रफल a ² + b ² था, जो निश्चित रूप से मूल स्थान c ² के बराबर होना चाहिए था।

यह वह प्रमाण है जो आपको मिडिल स्कूल में सातवीं कक्षा की गणित की पाठ्यपुस्तक में मिलेगा। लेकिन पाइथागोरस प्रमेय का एक और प्रमाण है जो शायद आपने नहीं सीखा होगा। यह वह हल है जो अल्बर्ट आइंस्टीन ने 11 साल की उम्र में दिया था।

आइंस्टीन को तब एहसास हुआ कि अगर वह समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण BC पर लंबवत AD ऊँचाई गिराएँ, तो उन्हें समकोण त्रिभुज ABC के समान 2 समकोण त्रिभुज प्राप्त होंगे। अब, समकोण त्रिभुज ABC के बाहर उसकी प्रत्येक भुजा के बराबर भुजाओं वाले वर्ग बनाकर, आइंस्टीन को a ² , b ² और c ² के क्षेत्रफल वाले 3 वर्ग प्राप्त होंगे।

चूँकि समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का उसके कर्ण पर स्थित वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात समान त्रिभुजों के लिए समान होता है, इसलिए हमारे पास 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² भी होगा।

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हालाँकि, ये पाइथागोरस प्रमेय के उन 370 प्रमाणों में से केवल दो हैं जो गणितज्ञों ने पिछले 2,500 वर्षों में खोजे हैं। बीजगणित, कलन से लेकर विभिन्न ज्यामितीय कटों तक, इस गणितीय प्रमेय को सरल से लेकर जटिल तक, सभी विधियों का उपयोग करके सत्य सिद्ध किया जा सकता है।

हालाँकि, इन सभी समाधानों में, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके कोई प्रमाण नहीं दिया जा सकता। चूँकि पाइथागोरस स्वयं त्रिकोणमिति का एक मूलभूत प्रमेय है, इसलिए इसे त्रिकोणमिति का उपयोग करके सिद्ध करना हमें तार्किक भ्रांति के जाल में फँसा देगा, जिसे चक्रीय सोच कहा जाता है, जब हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए स्वयं पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

गणितज्ञ इस कार्य में बार-बार असफल रहे हैं, इतना कि 1927 में अमेरिकी गणितज्ञ एलीशा लूमिस ने कहा था: " त्रिकोणमिति द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का कोई तरीका नहीं है क्योंकि सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को पाइथागोरस प्रमेय की शुद्धता पर निर्भर रहना पड़ता है।"

लेकिन जैसा कि पता चला, एलीशा लूमिस गलत थे।

लगभग 100 वर्ष बाद, इन दो हाई स्कूल के छात्रों ने त्रिकोणमिति का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का तरीका खोज लिया है।

अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली नामक पत्रिका में प्रकाशित एक नए अध्ययन में , कोलोराडो के सेंट मैरीज़ एकेडमी हाई स्कूल के दो छात्रों, नेकिया जैक्सन और कैल्सिया जॉनसन ने त्रिकोणमिति का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक नहीं बल्कि 10 तरीके प्रस्तुत किए हैं।

ने'किया जैक्सन (बाएं) और कैल्सिया जॉनसन (दाएं)।

ऐसा करने में सक्षम होने के लिए, जैक्सन और जॉनसन ने हमेशा की तरह एक समकोण त्रिभुज ABC का इस्तेमाल किया। दोनों ने अपने शोधपत्र में लिखा, " हमारा पहला प्रमाण त्रिभुज ABC को उसकी भुजा AC पर पलटकर एक समद्विबाहु त्रिभुज ABB बनाने से शुरू होता है ।"

अगले चरण में, वे भुजा AB को बिंदु D तक बढ़ाकर एक समकोण त्रिभुज AB'D का निर्माण करेंगे, ताकि D से वे B'A पर लंब खींच सकें।

इस बिंदु पर, सुनिश्चित करें कि आपके पास पर्याप्त कागज है, क्योंकि AB'D एक त्रिभुज है जिसकी एक भुजा असामान्य रूप से लंबी है और बिंदु D संभवतः आपके कागज के किनारे से बाहर निकल आएगा।

फिर, बिंदु B से, आप BB' पर एक लंबवत रेखा छोड़ेंगे, जो B'D को E पर काटेगी। फिर E से, AD को F पर काटने के लिए एक लंबवत रेखा छोड़ेंगे... और इसी तरह अनिश्चित काल तक, आपको समान त्रिभुजों की एक अनंत संख्या मिलेगी, जिनके संयुक्त क्षेत्र त्रिभुज AB'D के क्षेत्रफल के बराबर हैं:

अब महत्वपूर्ण बात:

जैक्सन और जॉनसन ने पाया कि चूँकि BB' की लंबाई 2a है और त्रिभुज B'EB, त्रिभुज ABC के समरूप है, वे भुजा BE की लंबाई 2a ² /b के रूप में परिकलित कर सकते हैं। BF=2A ² c/b ^2। इस प्रकार, भुजाएँ FG, GH की गणना 2a ⁴ c/b ⁴ और 2a ⁶ c/b ⁶ के रूप में की जा सकती है...

तब, कर्ण AD की लंबाई रेखाखंडों के योग के बराबर होगी:

त्रिभुज AB'D में, हमें प्राप्त होता है:

उपरोक्त दो सूत्रों से हमें समीकरण प्राप्त होता है:

जिसमें, मूल अभिसारी श्रृंखला के योग का उपयोग किया जाता है:

प्रकाशन के तुरंत बाद, जैक्सन और जॉनसन के पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण ने गणितज्ञों को आकर्षित किया, जिनमें कनेक्टिकट विश्वविद्यालय के अल्वारो लोज़ानो-रोबल्डो भी शामिल थे।

लोज़ानो-रोबल्डो ने कहा, " यह ऐसा कुछ नहीं था जैसा मैंने पहले कभी देखा था।" एक बड़े त्रिभुज को असंख्य छोटे त्रिभुजों से भरने और फिर एक अभिसारी श्रेणी का उपयोग करके उसकी भुजाओं की लंबाई की गणना करने का विचार एक हाई स्कूल के छात्र के लिए एक अप्रत्याशित नवाचार था।

कनेक्टिकट विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अल्वारो लोज़ानो-रोबल्डो ने नेकिया जैक्सन और कैल्सिया जॉनसन की प्रशंसा की।

लोज़ानो-रोबल्डो ने कहा, " कुछ लोग सोचते हैं कि किसी नई समस्या को हल करने के लिए स्कूल या शोध संस्थानों में सालों बिताने पड़ते हैं । लेकिन इससे साबित होता है कि यह काम हाई स्कूल में रहते हुए भी किया जा सकता है।"

उन्होंने कहा कि जैक्सन और जॉनसन ने न केवल पाइथागोरस प्रमेय को बिल्कुल नए तरीके से सिद्ध किया, बल्कि उनके समाधान ने त्रिकोणमिति की अवधारणा की नाजुक सीमा पर भी जोर दिया।

वे कहते हैं, " हाई स्कूल के छात्रों को शायद यह पता न हो कि एक ही शब्द से जुड़े त्रिकोणमिति के दो संस्करण हैं। उस स्थिति में, त्रिकोणमिति को समझने की कोशिश करना एक चित्र को समझने की कोशिश करने जैसा है, जिसमें दो अलग-अलग छवियां एक-दूसरे के ऊपर छपी हों। "

पाइथागोरस प्रमेय का आश्चर्यजनक समाधान जैक्सन और जॉनसन द्वारा इन दो त्रिकोणमितीय विविधताओं को अलग करने और त्रिकोणमिति के एक अन्य मूलभूत नियम, साइन्स के नियम का उपयोग करने से आया। इस तरह, दोनों ने उन दुष्चक्रों से बचाव किया जिनका सामना एलीशा लूमिस सहित पिछले गणितज्ञों ने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की कोशिश करते समय किया था।

पाइथागोरस प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करने में अभी तक किसी ने सफलता नहीं पाई है, यहाँ तक कि अल्बर्ट आइंस्टीन ने भी नहीं।

अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली की मुख्य संपादक डेला डंबाघ ने कहा , "उनके परिणामों ने अन्य छात्रों का ध्यान एक नए और आशाजनक परिप्रेक्ष्य की ओर आकर्षित किया है ।" टिप्पणी।

लोज़ानो-रोबल्डो कहते हैं, " इससे कई नए गणितीय संवादों का मार्ग भी खुलेगा । तभी अन्य गणितज्ञ इस शोधपत्र का उपयोग उस प्रमाण को सामान्यीकृत करने, अपने विचारों को सामान्यीकृत करने, या बस उस विचार का अन्य तरीकों से उपयोग करने के लिए कर सकते हैं।"

यह देखा जा सकता है कि जैक्सन और जॉनसन द्वारा उत्परिवर्ती " त्रिकोण " बनाने के बाद गणित में एक नई दुनिया खुल गई। कागज़ के किनारे से आगे तक फैले एक त्रिभुज के अंदर अनंत त्रिभुजों का एक चक्र बना हुआ है।

तो अगली बार जब आप कोई ज्यामिति का सवाल हल कर रहे हों और आपको कोई किनारा दिखाई दे, तो उसे किनारे तक खींचने की कोशिश कीजिए। कौन जाने, शायद आपको कोई नई खोज मिल जाए।

स्रोत: साइंसअलर्ट, साइंसन्यूज़, टैंडफोनलाइन

स्रोत: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm