Hva er en derivat? Detaljerte derivatformler

Hva er derivat?

I følge Matematikk 11, bind 2, Kobling av kunnskap og livsrekker, er den deriverte av en funksjon et av de viktigste begrepene i matematikk. Den deriverte representerer endringsraten til en funksjon i et punkt eller et intervall.

Formel for derivasjon av en funksjon i et punkt

Den deriverte av en funksjon i et punkt forteller hvor mye funksjonen endrer seg i det punktet.

Derivater av vanlige funksjoner

Dette er de enkleste formene for potensfunksjoner – grunnlaget for å beregne deriverte for mer komplekse funksjoner senere.

Derivater av sum, differanse, produkt, kvotient

Deriverte tall av summer, differanser, produkter og kvotienter er viktige regler som hjelper oss å beregne deriverte tall av komplekse uttrykk fra enkle funksjoner. I stedet for å måtte bevise definisjonen av grenser på nytt, kan vi ganske enkelt bruke disse regelformlene for å forenkle operasjonen.

Mer spesifikt er den deriverte av summen eller differansen lik summen eller differansen av de deriverte; den deriverte av produktet følger regelen «deriverte først, deretter multiplikasjon, addisjon først, deretter multiplikasjon av den deriverte»; og den deriverte av kvotienten følger regelen «teller av deriverte multiplisert med nevner, subtraher teller multiplisert med nevner av deriverte, divider med kvadrat av nevner». Disse formlene vil bli presentert tydelig nedenfor, med illustrerende eksempler, slik at elevene enkelt kan huske og anvende dem i øvelser.

3 funksjoner av sum-produkt-kvotient-funksjonen.PNG

Derivasjon av sammensatt funksjon

Derivasjonen av en sammensatt funksjon brukes når funksjonen er bygd opp av flere nestede lag med funksjoner. Ved å bruke kjederegelen er derivasjonen av en sammensatt funksjon lik derivasjonen av den ytre funksjonen, multiplisert med derivasjonen av den indre funksjonen.

Deriverte av trigonometriske funksjoner

Derivasjonene av trigonometriske funksjoner hjelper oss å vite endringsraten til funksjoner som sin(x), cos(x) eller tan(x) når verdien av x endres.

Bare ved å mestre derivasjonene av sin(x) og cos(x), kan vi utlede derivasjonene av andre trigonometriske funksjoner, fordi de alle kan uttrykkes basert på sin og cos (ved å bruke kvotientregelen).

I den følgende delen skal vi bevise den deriverte formelen for sin(x) og cos(x). Derfra kan vi beregne deriverte for andre trigonometriske funksjoner, samt utvide til inverse trigonometriske funksjoner og noen andre spesialformler.

5 akser med trigonometriske funksjoner.PNG

Derivasjon av eksponensiell funksjon

Den deriverte av en eksponensiell funksjon forteller oss endringsraten til funksjoner på formen ^ax (med a>0, a≠1) eller spesielt ^ex . Blant dem regnes ^ex som den viktigste eksponensielle funksjonen fordi den deriverte er lik seg selv.

Derivasjon av logaritmisk funksjon

Den deriverte av en logaritmisk funksjon forteller endringsraten til funksjoner på formen log _⁡a (x) (med a>0, a≠1), hvorav den viktigste er ln⁡(x) - den naturlige logaritmen med grunntall e.

Når vi kjenner den deriverte formelen til ln⁡(x), kan vi enkelt utlede den deriverte av log _⁡a (x) ved å bruke formelen for basisendring.

7 funksjoner av logaritmiske funksjoner.PNG

Andre deriverte

Den andre deriverte er deriverte av den første deriverte, det vil si at vi tar deriverte av en funksjon to ganger på rad. Hvis den første deriverte forteller oss endringsraten til funksjonen, forteller den andre deriverte oss endringsraten til den samme raten.

I geometri bidrar den andre deriverte til å bestemme krumningen/konkaviteten til en graf. I fysikk, hvis en funksjon representerer avstand over tid, er den første deriverte hastigheten, og den andre deriverte er akselerasjonen.