Was ist eine Ableitung? Detaillierte Ableitungsformeln

Zusätzlich zu allen Ableitungsformeln für gebräuchliche Funktionen, trigonometrischen Ableitungen, Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie Ableitungen zweiter Ordnung können sich die Leser die Formel zur Berechnung von Ableitungen anhand eines Gedichts einprägen.

Kurzübersicht:

• Was ist eine Ableitung?
• Formel für die Ableitung einer Funktion an einem Punkt
• Ableitungen von gemeinsamen Funktionen
• Ableitungen von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten.
• Ableitung einer zusammengesetzten Funktion
• Ableitungen trigonometrischer Funktionen
• Ableitung einer Exponentialfunktion
• Ableitung einer logarithmischen Funktion
• Zweite Ableitung
• Tipps zum Merken von Ableitungsformeln

Was ist eine Ableitung?

Laut dem Mathematikbuch für die 11. Klasse, Band 2 der Reihe „Connecting Knowledge and Life“, ist die Ableitung einer Funktion eines der wichtigsten Konzepte der Mathematik. Die Ableitung beschreibt die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt oder in einem bestimmten Intervall.

Formel für die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gibt das Ausmaß der Änderung der Funktion an diesem Punkt an.

Ableitungen von gemeinsamen Funktionen

Dies sind die einfachsten Formen von Potenzfunktionen – die Grundlage für die Berechnung von Ableitungen für viele komplexere Funktionen später.

Ableitungen von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten.

Die Ableitungen von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten sind wichtige Regeln, die uns helfen, die Ableitungen komplexer Ausdrücke aus einfachen Funktionen zu berechnen. Anstatt sie erneut anhand der Definition eines Grenzwerts zu beweisen, können wir diese Formeln und Regeln einfach anwenden, um den Prozess zu vereinfachen.

Genauer gesagt, ist die Ableitung einer Summe oder Differenz gleich der Summe oder Differenz ihrer Ableitungen; die Ableitung eines Produkts folgt der Regel „erst Ableitung, dann Multiplikation; zuerst Addition, dann Ableitung“; und die Ableitung eines Quotienten folgt der Regel „Zählerableitung multipliziert mit Nenner, Subtraktion von Zähler multipliziert mit Nennerableitung, Division durch Nenner²“. Diese Formeln werden im Folgenden anhand von Beispielen anschaulich dargestellt, um den Lernenden das Einprägen und Anwenden in Übungen zu erleichtern.

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion wird verwendet, wenn die Funktion aus mehreren verschachtelten Funktionen gebildet wird. Gemäß der Kettenregel ist die Ableitung der zusammengesetzten Funktion gleich der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Die Ableitungen trigonometrischer Funktionen helfen uns, die Änderungsrate von Funktionen wie sin(x), cos(x) oder tan(x) zu verstehen, wenn sich der Wert von x ändert.

Durch die Beherrschung der Ableitungen von sin(x) und cos(x) können wir die Ableitungen anderer trigonometrischer Funktionen herleiten, da diese alle mithilfe der Quotientenregel durch sin und cos ausgedrückt werden können.

Im folgenden Abschnitt beweisen wir die Ableitungsformeln für sin(x) und cos(x). Darauf aufbauend können wir Ableitungen für andere trigonometrische Funktionen berechnen und dies auf inverse trigonometrische Funktionen sowie einige weitere Spezialformeln erweitern.

Ableitung einer Exponentialfunktion

Die Ableitung einer Exponentialfunktion gibt die Änderungsrate von Funktionen der Form a ^x (mit a>0, a≠1) oder insbesondere e ^x an. Unter diesen gilt e ^x als die wichtigste Exponentialfunktion, da ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Die Ableitung einer Logarithmusfunktion gibt die Änderungsrate von Funktionen der Form _log⁡a (x) (mit a>0, a≠1) an, wobei die wichtigste davon ln⁡(x) - der natürliche Logarithmus zur Basis e ist.

Kennt man die Ableitungsformel für ln(x), kann man mithilfe der Basiswechselformel leicht die Ableitung von _log⁡a (x) herleiten.

Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung; das heißt, wir bilden die Ableitung einer Funktion zweimal hintereinander. Wenn die erste Ableitung die Änderungsrate der Funktion angibt, dann gibt die zweite Ableitung die Änderungsrate dieser Änderungsrate an.

In der Geometrie hilft die zweite Ableitung, die Krümmung bzw. Konkavität eines Graphen zu bestimmen. In der Physik entspricht die erste Ableitung einer Funktion, die den Weg als Funktion der Zeit darstellt, der Geschwindigkeit, während die zweite Ableitung die Beschleunigung angibt.

Tipps zum Merken von Ableitungsformeln

- Formeln lernt man am besten in Gruppen statt einzeln.

- Bewahren Sie das Rezeptblatt auf, damit Sie es sofort verwenden können, falls Sie es vergessen.

- Lerne Ableitungen anhand von Gedichten kennen:

Hundert Jahre in der Menschenwelt

Die Ableitung ist etwas, worin faule Studenten, die sich damit beschäftigen, möglicherweise nicht sehr gut sind.

X mit Exponent (en) n

Wir bilden zuerst die Ableitung zur Potenz n.

Dann gibt es noch den Exponenten oben.

Wir ziehen einfach 1 davon ab.

Die Ableitung von Wurzel x, mein Freund.

Vergiss diese Liebe nicht, mein Freund.

Der Tod ist die Zahl 1, die unverändert bleibt.

Zum Beispiel kann man die beiden Quadratwurzeln von x zusammen schreiben, um die Geschwindigkeit zu berechnen.

Abgeleitet vom Produkt zweier Brüder

Ich bringe es dir zuerst bei und hebe dir das Üben für später auf.

Füge dann ein Pluszeichen hinzu, um den Vorgang zu beschleunigen.

Den ersten Bruder behalte ich unverändert bei, den zweiten Bruder nach der Ableitung.

Wer jemanden wirklich liebt, erträgt jede Schwierigkeit.

Die Tugend der Mutter bleibt unverändert.

Vergiss das Minuszeichen nicht!

Der Ursprung des Todes, der Weg der Mutterschaft folgt dicht dahinter.

Wohin kommt das Quadrat des Nenners?

Lass uns damit nach unten gehen, damit wir es uns schneller einprägen können.

Die Sinusableitung ist wirklich erstaunlich.

Es stellt sich heraus, dass der Kosinus niemals falsch ist.

Der Kosinus der Ableitung ist so schön wie ein Traum.

Außer der Sinusrechnung, die einen völlig ratlos zurücklässt.

Fleiß gleicht mangelnde Intelligenz aus.

Eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus ist die Ableitung des Tangens.

Nur durch fleißiges Studium kann man Ruhm erlangen.

Auch wenn die Beerdigung schwierig ist, birgt sie dennoch ein Gefühl der Pflicht in sich.

Ziehe eins von der Zahl ab und denk daran, es zu tun.

Sei ein guter Mensch, sei nicht zu leichtfertig.

Der Hut X ist wirklich seltsam.

Die abgeleitete Form lassen wir vorerst unverändert.

Wir lassen die Exponentialfunktion unverändert.

Die Basis-Nepe-Zahl folgt unmittelbar.

Nepe x Derivat schnell

Es ist einfach 1 geteilt durch x, überhaupt nicht schwierig.

Worin besteht der Unterschied zwischen Logarithmus x und Logarithmus?

Vergessen wir nicht die Grundzahl unseres Landes.

(Sammeln)

Quelle: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html