Was ist eine Ableitung? Detaillierte Ableitungsformeln

Zusätzlich zu allen Ableitungsformeln gängiger Funktionen, trigonometrischer Ableitungen, Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie Ableitungen zweiter Ordnung können sich die Leser die Formel zur Berechnung von Ableitungen anhand eines Gedichts einprägen.

Schnellansicht:

• Was ist ein Derivat?
• Formel für die Ableitung einer Funktion an einem Punkt
• Ableitungen gemeinsamer Funktionen
• Ableitungen von Summe, Differenz, Produkt, Quotient
• Ableitung einer zusammengesetzten Funktion
• Ableitungen trigonometrischer Funktionen
• Ableitung der Exponentialfunktion
• Ableitung der logarithmischen Funktion
• Zweite Ableitung
• Tipps zum Merken der Ableitungsformel

Was ist ein Derivat?

Laut Mathematik 11, Band 2, Reihe „Wissen und Leben verbinden“, ist die Ableitung einer Funktion eines der wichtigsten Konzepte der Mathematik. Die Ableitung stellt die Änderungsrate einer Funktion an einem Punkt oder in einem Intervall dar.

Formel für die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gibt an, wie stark sich die Funktion an diesem Punkt ändert.

Ableitungen gemeinsamer Funktionen

Dies sind die einfachsten Formen von Potenzfunktionen – die Grundlage für die spätere Berechnung von Ableitungen komplexerer Funktionen.

Ableitungen von Summe, Differenz, Produkt, Quotient

Ableitungen von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten sind wichtige Regeln, die uns helfen, Ableitungen komplexer Ausdrücke aus einfachen Funktionen zu berechnen. Anstatt die Definition von Grenzwerten erneut beweisen zu müssen, können wir diese Regelformeln einfach anwenden, um die Operation zu vereinfachen.

Konkret ist die Ableitung der Summe oder Differenz gleich der Summe oder Differenz der Ableitungen; die Ableitung des Produkts folgt der Regel „Erst Ableitung, dann Multiplikation, zuerst Addition, dann Multiplikation der Ableitung“; und die Ableitung des Quotienten folgt der Regel „Zähler der Ableitung multipliziert mit Nenner, subtrahiere Zähler multipliziert mit Nenner der Ableitung, dividiere durch das Quadrat des Nenners“. Diese Formeln werden im Folgenden anhand von anschaulichen Beispielen übersichtlich dargestellt, sodass die Schüler sie sich leicht merken und in Übungen anwenden können.

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion wird verwendet, wenn die Funktion aus mehreren verschachtelten Funktionsebenen besteht. Nach der Kettenregel ist die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gleich der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Die Ableitungen trigonometrischer Funktionen helfen uns, die Änderungsrate von Funktionen wie sin(x), cos(x) oder tan(x) zu ermitteln, wenn sich der Wert von x ändert.

Allein durch die Beherrschung der Ableitungen von sin(x) und cos(x) können wir die Ableitungen anderer trigonometrischer Funktionen ableiten, da sie alle auf der Grundlage von sin und cos ausgedrückt werden können (unter Verwendung der Quotientenregel).

Im folgenden Abschnitt beweisen wir die Ableitungsformeln von sin(x) und cos(x). Von dort aus können wir die Ableitungen anderer trigonometrischer Funktionen berechnen und auf inverse trigonometrische Funktionen sowie einige andere spezielle Formeln erweitern.

Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung einer Exponentialfunktion gibt die Änderungsrate von Funktionen der Form a ^x (mit a>0,a≠1) oder insbesondere e ^x an. Unter diesen gilt e ^x als die wichtigste Exponentialfunktion, da ihre Ableitung gleich ihr selbst ist.

Ableitung der logarithmischen Funktion

Die Ableitung einer logarithmischen Funktion gibt die Änderungsrate von Funktionen der Form log _⁡a (x) (mit a>0, a≠1) an, wobei die wichtigste davon ln⁡(x) ist – der natürliche Logarithmus mit der Basis e.

Wenn wir die Ableitungsformel von ln⁡(x) kennen, können wir die Ableitung von log _⁡a (x) mithilfe der Formel zur Basisänderung leicht ableiten.

Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung, d. h. wir bilden die Ableitung einer Funktion zweimal hintereinander. Wenn die erste Ableitung die Änderungsrate der Funktion angibt, dann gibt die zweite Ableitung die Änderungsrate dieser Rate an.

In der Geometrie hilft die zweite Ableitung dabei, die Krümmung/Konkavität eines Graphen zu bestimmen. In der Physik ist die erste Ableitung die Geschwindigkeit und die zweite Ableitung die Beschleunigung, wenn eine Funktion die Entfernung über die Zeit darstellt.

Tipps zum Merken der Ableitungsformel

- Lernen Sie Formeln in Gruppen statt einzeln.

- Speichern Sie die Formeltabelle, damit Sie sie sofort anwenden können, wenn Sie sie vergessen.

- Ableitungen durch Gedichte lernen:

Hundert Jahre auf dieser Welt

Zu faul, Ableitungen zu lernen, ist geistesabwesend.

X mit Potenz n

Wir nehmen die erste n-Potenz-Ableitung.

Dann ist der Exponent oben

Wir ziehen gleich 1 ab.

Ableitung der Quadratwurzel x, mein Freund

In Liebe, mein Freund, vergiss das nicht.

Der Zähler ist die Ganzzahl 1.

Beispiel: 2 Quadratwurzel x, der Schnelligkeit halber zusammengeschrieben.

Ableitung des Produkts zweier Brüder

Ich werde es dir zuerst beibringen und dich für später aufheben.

Fügen Sie dann ein Pluszeichen für Schnelligkeit hinzu

Behalten Sie den vorderen Bruder, das hintere Bruder-Derivat.

Wenn Sie lieben, werden Sie es akzeptieren, egal wie schwierig es ist.

Die Ableitung und der Nenner bleiben gleich.

Vergessen Sie nicht das Minuszeichen.

Dicht dahinter folgen der Ursprung des Universums und der Weg der Mutter.

Wohin kommt das Musterquadrat?

Ich habe es heruntergebracht, um schnell meine Lektion zu lernen.

Die Ableitung des Sinus ist wirklich talentiert.

Es stellt sich heraus, dass cos nie falsch ist.

Die Ableitung eines Traums

Subtrahieren Sie die Sünde, um Sie in Ruhe zu lassen.

Fleiß macht Intelligenz wett

Eine Division durch den Kosinus ist die Tangensableitung.

Nur wer fleißig lernt, kann stolz sein.

Obwohl die Beerdigung schwierig ist, hat sie dennoch ihre Nebeneffekte.

Subtrahieren Sie 1 und denken Sie daran, es zu tun.

Seien Sie ein normaler Mensch und nicht zu verspielt.

E hat x ist so seltsam

Seine Ableitung behalten wir bei.

Wir lassen die Exponentialfunktion unverändert.

Die Basisnummer lief direkt danach.

Nepe x-Derivat schnell

Es ist 1 geteilt durch x, nicht so schwierig.

Ist der Logarithmus von x anders?

Vergessen Sie nicht unsere Basisnummer.

(Sammeln)

Quelle: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html