Durch das Zeichnen eines Dreiecks, das über den Rand des Papiers hinausragt, beweisen 2 Schüler unerwartet einen 2.500 Jahre alten mathematischen Theorem

Das Besondere daran ist, dass niemand, nicht einmal Albert Einstein, den Satz jemals auf diese Weise bewiesen hat.

In der Schule mussten wir alle schon Geometrieaufgaben lösen. Und wenn wir Geometrieaufgaben gelöst haben, ist uns allen mindestens einmal diese Situation begegnet: Beim Zeichnen einer Figur geht uns das Papier aus.

In allen diesen Fällen handelt es sich um ein „mutiertes“ Dreieck mit zwei ungewöhnlich langen Seiten, sodass sie sich, egal wie weit man sie zeichnet, immer noch nicht schneiden. Wie würden Sie mit dieser Situation umgehen?

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Manche Schüler zeichnen die Form – sehr kreativ – auf der Rückseite des Papiers weiter. Andere nehmen ein weiteres Blatt Papier und legen es unter das erste, um die Form zu vervollständigen. Oder, wenn es schnell gehen muss, kann man das Dreieck auch schwebend auf dem Tisch zeichnen.

Manche Leute werden sich jedoch fragen: Warum bestehst du darauf, dieses „mutierte“ Dreieck zu zeichnen? Zeichne einfach, bis das Papier aufgebraucht ist, und hör dann auf. Selbst wenn du nicht die ganze Form aufs Papier zeichnen kannst, ist deine Lösung definitiv nicht korrekt.

Doch eine neue Studie in der Fachzeitschrift American Mathematical Monthly bringt sie nun zum Umdenken: Manchmal können die Dreiecke auf der Außenseite eines Blattes Papier unerwartete mathematische Geheimnisse verbergen.

Genau in diesem Fall haben zwei Highschool-Schüler in den USA mithilfe eines „mutierten“ Dreiecks einen Weg gefunden, den Satz des Pythagoras zu beweisen, der seit seiner Aufstellung vor über 2.500 Jahren als „unmöglich“ galt.

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Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

Der Satz des Pythagoras ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Pythagoras (570–495 v. Chr.) benannt, der ihn erstmals bewies. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass Mathematiker in anderen antiken Zivilisationen wie Babylon, Indien, Mesopotamien und China ihn ebenfalls unabhängig voneinanderentdeckten :

Dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypothenuse immer gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Wenn ein rechtwinkliges Dreieck Seiten der Längen a und b und Hypothenuse c hat, dann wird der Satz des Pythagoras durch die Formel ausgedrückt:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Ohne den Satz des Pythagoras hätten die alten Ägypter die Pyramiden nicht bauen können.

Es scheint eine einfache Formel zu sein, aber ohne die Kenntnis des Satzes des Pythagoras hätten die alten Ägypter die Pyramiden nicht bauen können, die Babylonier hätten die Position der Sterne nicht berechnen können und die Chinesen wären nicht in der Lage gewesen, das Land aufzuteilen.

Dieser Satz legte auch den Grundstein für viele Schulen der Mathematik, wie etwa die Stereometrie, die nichteuklidische Geometrie und die Differentialgeometrie. Ohne diesen Satz oder wenn er sich als falsch erweisen würde, würde fast der gesamte Zweig der Geometrie der Mathematik, wie er der Menschheit heute bekannt ist, zusammenbrechen.

Der Beweis des Satzes des Pythagoras war daher eine sehr wichtige Aufgabe. Bereits 500 v. Chr. nahm sich der antike griechische Mathematiker Pythagoras dieser Aufgabe an und machte sich damit erstmals einen Namen in der Geschichte.

Er bewies den Satz des Pythagoras mit einer sehr einfachen Methode:

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Zeichne ein Quadrat mit den Seitenlängen a+b. Zeichne dann an jeder Ecke vier gleich große Dreiecke mit den Seitenlängen a und b. Diese Dreiecke sind alle gleich große rechtwinklige Dreiecke mit der Hypothenuse c und bilden zusammen einen Raum innerhalb des Quadrats mit der Fläche c ² .

Dann schuf Pythagoras durch einfaches Umordnen der Positionen dieser vier Dreiecke zwei neue Räume, nämlich zwei Quadrate mit den Seiten a und b. Die Gesamtfläche dieser beiden Räume beträgt a ² + b ² , was natürlich der ursprünglichen Fläche c ² entsprechen muss.

Diesen Beweis finden Sie in Mathematikbüchern der siebten Klasse. Es gibt aber noch einen weiteren Beweis für den Satz des Pythagoras, den Sie vielleicht noch nicht kennen. Albert Einstein erfand ihn bereits im Alter von elf Jahren.

Einstein erkannte dann, dass er, wenn er eine Höhe AD senkrecht zur Hypothenuse BC des rechtwinkligen Dreiecks ABC absenkte, zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich dem rechtwinkligen Dreieck ABC erhalten würde. Indem er nun außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks ABC Quadrate mit Seiten gleicher Länge wie seine Seiten zeichnete, erhielt Einstein drei Quadrate mit Flächen gleich a ² , b ² und c ² .

Da das Verhältnis der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zur Fläche eines Quadrats auf seiner Hypothenuse bei ähnlichen Dreiecken dasselbe ist, gilt auch 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Dies sind jedoch nur zwei der 370 Beweise für den Satz des Pythagoras, die Mathematiker in den letzten 2.500 Jahren gefunden haben. Mithilfe von Algebra, Infinitesimalrechnung und verschiedenen geometrischen Schnitten lässt sich die Wahrheit dieses mathematischen Theorems mit Methoden von einfach bis komplex beweisen.

Für all diese Lösungen gibt es jedoch keinen Beweis mit trigonometrischen Formeln. Da Pythagoras selbst ein fundamentaler Satz der Trigonometrie ist, würde uns ein trigonometrischer Beweis in die Falle eines logischen Fehlschlusses führen, der als Zirkelschluss bezeichnet wird, wenn wir den Satz des Pythagoras selbst zum Beweis des Satzes des Pythagoras verwenden.

Mathematiker sind bei dieser Aufgabe wiederholt gescheitert, und zwar so oft, dass der amerikanische Mathematiker Elisha Loomis im Jahr 1927 ausrief: „ Es gibt keine Möglichkeit, den Satz des Pythagoras durch Trigonometrie zu beweisen, da alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf der Richtigkeit des Satzes des Pythagoras beruhen müssen.“

Doch wie sich herausstellte, lag Elisha Loomis falsch.

Fast 100 Jahre später haben diese beiden Highschool-Schüler einen Weg gefunden, den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

In einer neuen Studie, die in der Zeitschrift American Mathematical Monthly veröffentlicht wurde, stellten zwei Schülerinnen, Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson von der St. Mary's Academy High School in Colorado, nicht nur eine, sondern zehn Möglichkeiten vor, den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

Ne'Kiya Jackson (links) und Calcea Johnson (rechts).

Um dies tun zu können, Jackson und Johnson verwendeten wie üblich ein rechtwinkliges Dreieck ABC. „ Unser erster Beweis beginnt damit, dass wir das Dreieck ABC über seine Seite AC umdrehen, um ein gleichschenkliges Dreieck ABB‘ zu bilden “, schrieben die beiden in der Arbeit.

Im nächsten Schritt konstruieren sie ein rechtwinkliges Dreieck AB'D, indem sie die Seite AB bis zum Punkt D verlängern, sodass sie von D aus eine Senkrechte zu B'A ziehen können.

Stellen Sie an dieser Stelle sicher, dass Sie genügend Papier haben, da AB'D ein Dreieck mit einer ungewöhnlich langen Seite ist und Punkt D höchstwahrscheinlich über den Rand Ihres Papiers hinausragt.

Dann legen Sie vom Punkt B eine Senkrechte zu BB' ab, die B'D bei E schneidet. Dann legen Sie von E eine Senkrechte ab, die AD bei F schneidet... Und so weiter bis ins Unendliche, Sie erhalten unzählige ähnliche Dreiecke, deren kombinierte Flächen gleich der Fläche des Dreiecks AB'D sind:

Nun zum wichtigen Punkt:

Jackson und Johnson fanden heraus, dass sie die Länge der Seite BE als 2a ² /b berechnen konnten, da BB' die Länge 2a hat und das Dreieck B'EB dem Dreieck ABC ähnelt. BF=2A ² c/b ² . Somit können die Seiten FG, GH als 2a ⁴ c/b ⁴ und 2a ⁶ c/b ⁶ … berechnet werden.

Dann ist die Länge der Hypothenuse AD gleich der Summe der Liniensegmente:

Im Dreieck AB'D haben wir:

Aus den beiden obigen Formeln können wir die Gleichung aufstellen:

Dabei gilt unter Verwendung der Summe einer grundlegenden konvergenten Reihe:

Unmittelbar nach seiner Veröffentlichung zog Jacksons und Johnsons Beweis des Satzes des Pythagoras das Interesse von Mathematikern auf sich, darunter Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut.

„ So etwas hatte ich noch nie zuvor gesehen“, sagte Lozano-Robledo. Die Idee, ein großes Dreieck mit unendlich vielen kleineren Dreiecken zu füllen und dann die Länge seiner Seiten mithilfe einer konvergenten Reihe zu berechnen, war für einen Highschool-Schüler eine unerwartete Innovation.

Der Mathematiker Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut lobte Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson.

„ Manche Leute glauben, man müsse Jahre in der Schule oder in Forschungsinstituten verbringen, um ein neues Problem zu lösen “, sagte Lozano-Robledo. „ Aber das hier beweist, dass es schon in der High School möglich ist.“

Jackson und Johnson hätten den Satz des Pythagoras nicht nur auf eine völlig neue Art und Weise bewiesen, ihre Lösung habe auch eine heikle Grenze des Konzepts der Trigonometrie hervorgehoben, sagten sie.

„ Oberstufenschülern ist möglicherweise nicht bewusst, dass es für denselben Begriff zwei Versionen der Trigonometrie gibt. In diesem Fall ist der Versuch, Trigonometrie zu verstehen, wie der Versuch, ein Bild zu verstehen, bei dem zwei verschiedene, übereinander gedruckte Bilder vorhanden sind “, sagen sie.

Die überraschende Lösung des Satzes des Pythagoras gelang Jackson und Johnson, indem sie diese beiden trigonometrischen Varianten trennten und ein weiteres Grundgesetz der Trigonometrie, den Sinussatz, anwandten. Auf diese Weise vermieden die beiden den Teufelskreis, in den frühere Mathematiker, darunter Elisha Loomis, geraten waren, als sie versuchten, den Satz des Pythagoras mithilfe des Satzes des Pythagoras zu beweisen.

Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

„Ihre Ergebnisse haben die Aufmerksamkeit anderer Studenten auf eine neue und vielversprechende Perspektive gelenkt “, sagte Della Dumbaugh, Chefredakteurin von American Mathematical Monthly. Kommentar.

„ Es wird auch viele neue mathematische Diskussionen eröffnen “, sagte Lozano-Robledo. „ Dann können andere Mathematiker dieses Papier nutzen, um diesen Beweis zu verallgemeinern, ihre Ideen zu verallgemeinern oder diese Idee einfach auf andere Weise zu nutzen.“

Man kann erkennen, dass ein neues Land in der Mathematik eröffnet wurde, nachdem Jackson und Johnson das mutierte „ Dreieck “ gezeichnet hatten. Ein Dreieck, das über den Rand des Papiers hinausragt, enthält im Inneren eine Schleife endloser Dreiecke.

Wenn Sie also das nächste Mal bei der Lösung eines Geometrieproblems auf eine Kante stoßen, versuchen Sie, diese bis zum Rand zu zeichnen. Wer weiß, vielleicht machen Sie ja eine Entdeckung.

Quelle: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Quelle: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm