Indem sie ein Dreieck zeichnen, das über den Rand des Papiers hinausragt, beweisen 2 Schüler unerwartet einen 2.500 Jahre alten mathematischen Satz

Das Besondere daran ist, dass niemand, nicht einmal Albert Einstein, den Satz jemals auf diese Weise bewiesen hat.

In der High School mussten wir alle räumliche Geometrieprobleme lösen. Und jeder ist schon einmal in diese Situation geraten, wenn er ein Geometrieproblem gelöst hat: Während er eine Form zeichnet, geht ihm das Papier aus.

In allen derartigen Fällen handelt es sich um ein „mutiertes“ Dreieck mit zwei ungewöhnlich langen Seiten, so dass sich die Seiten selbst dann nicht schneiden, wenn man sie bis zum Rand des Papiers zeichnet. Wie würden Sie in dieser Situation damit umgehen?

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Einige Schüler – sehr kreativ – zeichnen das Bild in einer anderen Dimension weiter, nämlich auf der Rückseite des Papiers. Andere nehmen ein weiteres Blatt Papier und legen es unter das alte Blatt, um mit dem Zeichnen fortzufahren und die Form zu vervollständigen. Oder wenn die Situation zu dringend ist, können Sie ein Dreieck zeichnen, das auf dem Tisch schwebt.

Manche Leute werden jedoch argumentieren: Warum müssen wir stur dieses „mutierte“ Dreieck zeichnen? Zeichnen Sie einfach, bis das Papier aufgebraucht ist, und hören Sie dann auf. Auch wenn Sie nicht die gesamte Form auf das Papier zeichnen, ist Ihre Lösung auf keinen Fall richtig.

Doch eine neue Studie in der Fachzeitschrift American Mathematical Monthly bringt sie nun zum Umdenken. Manchmal kann der dreieckige Teil außerhalb des Papiers unerwartete mathematische Geheimnisse verbergen.

Genau in diesem Fall haben zwei Highschool-Schüler in den USA mithilfe eines „mutierten“ Dreiecks einen Weg gefunden, den Satz des Pythagoras zu beweisen, der seit seiner Aufstellung vor über 2.500 Jahren als „unmöglich“ galt.

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Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

Der Satz des Pythagoras ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Pythagoras (570–495 v. Chr.) benannt, der ihn erstmals bewies. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass Mathematiker in anderen antiken Zivilisationen wie Babylon, Indien, Mesopotamien und China ihn ebenfalls unabhängig voneinanderentdeckten :

Dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypothenuse immer gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Wenn ein rechtwinkliges Dreieck zwei Seiten der Länge a und b hat und die Hypothenuse c ist, dann wird der Satz des Pythagoras durch die Formel ausgedrückt:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Ohne den Satz des Pythagoras hätten die alten Ägypter die Pyramiden nicht bauen können.

Es scheint eine einfache Formel zu sein, aber ohne die Kenntnis des Satzes des Pythagoras hätten die alten Ägypter die Pyramiden nicht bauen können, die Babylonier hätten die Position der Sterne nicht berechnen können und die Chinesen wären nicht in der Lage gewesen, das Land aufzuteilen.

Dieser Satz legte auch den Grundstein für viele Schulen der Mathematik, wie etwa die Stereometrie, die nichteuklidische Geometrie und die Differentialgeometrie. Ohne diesen Satz oder wenn er sich als falsch erweisen würde, würde fast der gesamte Zweig der Geometrie der Mathematik, wie er der Menschheit heute bekannt ist, zusammenbrechen.

Der Beweis, dass der Satz des Pythagoras wahr ist, ist daher eine sehr wichtige Aufgabe. Deshalb nahm sich der antike griechische Mathematiker Pythagoras bereits 500 v. Chr. dieser Aufgabe an und machte sich damit erstmals einen Namen in der Geschichte.

Er bewies den Satz des Pythagoras mit einer sehr einfachen Methode:

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Zeichnen Sie ein Quadrat mit den Seitenlängen a+b. Zeichnen Sie dann an jeder Ecke vier gleich große Dreiecke mit den Seiten a und b. Diese Dreiecke sind alle gleich große rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenuse c und bilden zusammen einen Raum innerhalb eines Quadrats mit der Fläche c ² .

Dann schuf Pythagoras durch einfaches Umordnen der Positionen dieser vier Dreiecke zwei neue Räume, nämlich zwei Quadrate mit den Seiten a und b. Die Gesamtfläche der beiden Räume beträgt a ² + b ² , was natürlich gleich der ursprünglichen Fläche c ² sein muss.

Diesen Beweis finden Sie in einem Mathematiklehrbuch der 7. Klasse der Mittelschule. Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit, den Satz des Pythagoras zu beweisen, die Sie vielleicht noch nicht kennen. Auf diese Lösung kam Albert Einstein, als er erst 11 Jahre alt war.

Einstein erkannte dann, dass er zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich dem rechtwinkligen Dreieck ABC erhalten würde, wenn er eine Höhe AD senkrecht zur Hypothenuse BC des rechtwinkligen Dreiecks ABC absenken würde. Indem Einstein nun einfach außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks ABC Quadrate zeichnet, deren Seiten jeweils seine Seiten sind, erhält er drei Quadrate mit Flächen gleich a ² , b ² und c ² .

Da das Verhältnis der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zur Fläche eines Quadrats auf seiner Hypothenuse bei ähnlichen Dreiecken gleich ist, gilt auch 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Dies sind jedoch nur zwei der 370 Beweise für den Satz des Pythagoras, die Mathematiker in den letzten 2.500 Jahren gefunden haben. Die Wahrheit dieses mathematischen Theorems kann mithilfe von Algebra, Differential- und Integralrechnung sowie verschiedenen geometrischen Schnitten mit Methoden von einfach bis komplex bewiesen werden.

Allerdings gibt es bei all diesen Lösungen keinen Beweis mithilfe trigonometrischer Formeln. Da Pythagoras selbst ein grundlegender Satz der Trigonometrie ist, würde uns ein Beweis mithilfe der Trigonometrie in die Falle eines logischen Fehlschlusses, eines sogenannten Zirkelschlusses, führen, wenn wir den Satz des Pythagoras selbst verwenden, um den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Mathematiker sind bei dieser Aufgabe wiederholt gescheitert, und zwar so oft, dass der amerikanische Mathematiker Elisha Loomis im Jahr 1927 ausrief: „ Es gibt keine Möglichkeit, den Satz des Pythagoras durch Trigonometrie zu beweisen, da alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf der Richtigkeit des Satzes des Pythagoras beruhen müssen.“

Doch wie sich herausstellte, lag Elisha Loomis falsch.

Fast 100 Jahre später haben diese beiden Highschool-Schüler einen Weg gefunden, den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

In einer neuen Studie, die in der Zeitschrift American Mathematical Monthly veröffentlicht wurde, präsentierten zwei Studentinnen, Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson von der St. Mary's Academy in Colorado, nicht einen, sondern zehn Beweise des Satzes des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie.

Ne'Kiya Jackson (links) und Calcea Johnson (rechts).

Um dies tun zu können, Jackson und Johnson verwendeten wie üblich ein rechtwinkliges Dreieck ABC. „ Unser erster Beweis beginnt damit, dass wir das Dreieck ABC um seine Seite AC drehen, um ein gleichschenkliges Dreieck ABB‘ zu bilden “, schrieb das Duo in dem Artikel.

Im nächsten Schritt konstruieren sie ein rechtwinkliges Dreieck AB'D, indem sie die Seite AB bis zum Punkt D verlängern, sodass sie von D aus eine Senkrechte zu B'A ziehen können.

Stellen Sie an dieser Stelle sicher, dass Sie genügend Papier haben, da AB'D ein Dreieck mit einer ungewöhnlich langen Seite ist und Punkt D höchstwahrscheinlich über den Rand Ihres Papiers hinausragt.

Dann legen Sie vom Punkt B eine Senkrechte zu BB' ab, die B'D bei E schneidet. Dann legen Sie von E eine Senkrechte ab, die AD bei F schneidet... Und so weiter bis ins Unendliche, Sie erhalten unzählige ähnliche Dreiecke, deren kombinierte Flächen gleich der Fläche des Dreiecks AB'D sind:

Nun zum wichtigen Punkt:

Jackson und Johnson stellten fest, dass sie die Länge der Seite BE mit 2a ² /b berechnen konnten, da BB' die Länge 2a hat und das Dreieck B'EB dem Dreieck ABC ähnelt. BF=2A ² c/b ² . Somit können die Kanten FG, GH mit 2a ⁴ c/b ⁴ und 2a ⁶ c/b ⁶ … berechnet werden.

Dann ist die Länge der Hypothenuse AD gleich der Summe der Liniensegmente:

Im Dreieck AB'D haben wir:

Aus den beiden obigen Formeln erhalten wir die Gleichung:

Dabei gilt unter Verwendung der Summe einer grundlegenden konvergenten Reihe:

Unmittelbar nach seiner Veröffentlichung zog Jacksons und Johnsons Beweis des Satzes des Pythagoras das Interesse von Mathematikern auf sich, darunter Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut.

„ Es sah anders aus als alles, was ich je zuvor gesehen hatte“, sagte Lozano-Robledo. Die Idee, ein großes Dreieck mit unendlich vielen kleineren Dreiecken zu füllen und dann dessen Seitenlängen mithilfe einer konvergenten Reihe zu berechnen, ist für einen Gymnasiasten eine unerwartete Neuerung.

Der Mathematiker Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut lobt Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson.

„ Manche Leute glauben, dass man Jahre an der Universität oder in Forschungsinstituten verbringen muss, um ein neues Problem zu lösen “, sagt Lozano-Robledo. „ Aber diese Lösung beweist, dass es sogar in der High School möglich ist.“

Jackson und Johnson hätten den Satz des Pythagoras nicht nur auf eine völlig neue Art und Weise bewiesen, ihre Lösung habe auch eine heikle Grenze des Konzepts der Trigonometrie hervorgehoben, sagten sie.

„ Oberstufenschülern ist möglicherweise nicht bewusst, dass es für denselben Begriff zwei Versionen der Trigonometrie gibt. In diesem Fall ist der Versuch, Trigonometrie zu verstehen, wie der Versuch, ein Bild zu verstehen, bei dem zwei verschiedene, übereinander gedruckte Bilder vorhanden sind “, sagen sie.

Die überraschende Lösung des Satzes des Pythagoras gelang Jackson und Johnson, indem sie diese beiden trigonometrischen Varianten trennten und ein weiteres Grundgesetz der Trigonometrie anwandten: den Sinussatz. Auf diese Weise vermied das Duo den Teufelskreis, in den frühere Mathematiker, darunter Elisha Loomis, gerieten, als sie versuchten, den Satz des Pythagoras mithilfe des Satzes des Pythagoras selbst zu beweisen.

Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

„Ihre Ergebnisse haben die Aufmerksamkeit anderer Studenten auf eine neue und vielversprechende Perspektive gelenkt “, sagte Della Dumbaugh, Chefredakteurin von American Mathematical Monthly. Kommentar.

„ Es wird auch viele neue mathematische Gespräche eröffnen “, sagt Lozano-Robledo. „ Dann können andere Mathematiker dieses Papier verwenden, um diesen Beweis zu verallgemeinern, ihre Ideen zu verallgemeinern oder diese Idee einfach auf andere Weise zu verwenden.“

Man kann erkennen, dass ein neues Land in der Mathematik eröffnet wurde, nachdem Jackson und Johnson das mutierte „ Dreieck “ gezeichnet hatten. Ein Dreieck, das über den Rand des Papiers hinausragt, enthält eine Schleife aus endlosen Dreiecken.

Wenn Sie also das nächste Mal bei der Lösung eines Geometrieproblems auf eine Kante stoßen, versuchen Sie, diese ganz durchzuzeichnen. Wer weiß, vielleicht machen Sie eine neue Entdeckung.

Quelle: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Quelle: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm