Indem sie ein Dreieck zeichnen, das über den Rand des Papiers hinausragt, beweisen zwei Studenten unerwartet einen 2.500 Jahre alten mathematischen Lehrsatz.

Das Besondere daran ist, dass noch nie jemand diesen Satz auf diese Weise bewiesen hat, nicht einmal Albert Einstein.

In der Oberstufe mussten wir alle Geometrieaufgaben lösen. Und sobald wir Geometrieaufgaben gelöst haben, sind wir alle mindestens einmal in diese Situation geraten: Beim Zeichnen einer Figur geht uns das Papier aus.

Alle diese Fälle beinhalten ein „mutiertes“ Dreieck mit zwei ungewöhnlich langen Seiten, sodass diese bis zum Rand des Papiers gezeichnet werden können, ohne sich zu schneiden. Wie würden Sie in dieser Situation vorgehen?

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Manche Schüler zeichnen die Form – sehr kreativ – auf die Rückseite des Papiers weiter. Andere nehmen ein weiteres Blatt Papier und legen es unter das erste, um die Form zu vervollständigen. Oder, wenn es schnell gehen muss, kann man das Dreieck auch einfach auf den Tisch zeichnen.

Manche werden sich jedoch fragen: Warum zeichnest du unbedingt dieses „mutierte“ Dreieck? Zeichne doch einfach, bis das Papier voll ist, und hör dann auf. Selbst wenn du nicht die ganze Form auf das Papier zeichnest, ist deine Lösung definitiv falsch.

Doch eine neue Studie im Fachjournal „American Mathematical Monthly“ wird sie nun zum Umdenken bewegen. Manchmal verbergen die Dreiecke auf der Außenseite des Papiers unerwartete mathematische Geheimnisse.

Konkret ging es in diesem Fall um ein „mutiertes“ Dreieck. Zwei Highschool-Schüler in den USA fanden einen Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen, der seit seiner Formulierung mehr als 2.500 Jahre lang als „unmöglich“ galt.

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Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

Der Satz des Pythagoras ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Pythagoras (570–495 v. Chr.) benannt, der ihn als Erster bewies, obwohl es Hinweise darauf gibt, dass Mathematiker in anderen antiken Zivilisationen wie Babylon, Indien, Mesopotamien und China ihn unabhängig voneinander entdeckten :

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse stets gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten. Hat ein rechtwinkliges Dreieck die Seitenlängen a und b und die Hypotenuse die Länge c, so lautet der Satz des Pythagoras:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Ohne den Satz des Pythagoras hätten die alten Ägypter die Pyramiden nicht bauen können.

Es scheint eine einfache Formel zu sein, aber ohne die Kenntnis des Satzes des Pythagoras hätten die alten Ägypter nicht die Pyramiden bauen können, die Babylonier nicht die Position der Sterne berechnen können und die Chinesen nicht das Land aufteilen können.

Dieser Satz legte auch den Grundstein für viele Schulen der Mathematik, wie etwa die Raumgeometrie, die nichteuklidische Geometrie und die Differentialgeometrie – ohne ihn oder sollte er sich als falsch erweisen, würde fast der gesamte Zweig der Geometrie, den die Menschheit heute kennt, zusammenbrechen.

Der Beweis des Satzes von Pythagoras war daher eine sehr wichtige Aufgabe. Bereits um 500 v. Chr. nahm sich der antike griechische Mathematiker Pythagoras dieser Aufgabe an und schrieb damit erstmals Geschichte.

Er bewies den Satz des Pythagoras mit einer sehr einfachen Methode:

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Zeichne ein Quadrat mit den Seitenlängen a + b. Zeichne dann an jeder Ecke vier gleich große Dreiecke mit den Seitenlängen a und b. Diese Dreiecke sind alle rechtwinklig, mit der Hypotenuse c, und bilden zusammen innerhalb des Quadrats einen Raum mit der Fläche ^c² .

Indem Pythagoras die Positionen dieser vier Dreiecke neu anordnete, schuf er zwei neue Räume, nämlich zwei Quadrate mit den Seitenlängen a und b. Die Gesamtfläche dieser beiden Räume betrug ^a² + ^b² , was natürlich gleich der ursprünglichen Fläche ^c² sein musste.

Dies ist der Beweis, den Sie in Ihrem Mathematikbuch der 7. Klasse finden werden. Es gibt aber noch einen anderen Beweis für den Satz des Pythagoras, den Sie vielleicht noch nicht kennen. Es ist die Lösung, die Albert Einstein im Alter von 11 Jahren fand.

Einstein erkannte, dass er durch das Fallenlassen einer Höhe AD senkrecht zur Hypotenuse BC des rechtwinkligen Dreiecks ABC zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke erhalten würde. Indem er nun außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks ABC Quadrate mit Seitenlängen gleich denen seiner Seiten zeichnete, erhielt er drei Quadrate mit den Flächeninhalten ^a² , ^b² und ^c² .

Da das Verhältnis der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zur Fläche eines Quadrats über seiner Hypotenuse bei ähnlichen Dreiecken gleich ist, gilt auch 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

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Dies sind jedoch nur zwei der 370 Beweise des Satzes von Pythagoras, die Mathematiker in den letzten 2500 Jahren gefunden haben. Von Algebra und Analysis bis hin zu verschiedenen geometrischen Schnitten lässt sich dieser mathematische Satz mit Methoden beweisen, die von einfach bis komplex reichen.

Allerdings fehlt in all diesen Lösungsansätzen der Beweis mithilfe trigonometrischer Formeln. Da der Satz des Pythagoras selbst ein fundamentaler Satz der Trigonometrie ist, würde ein trigonometrischer Beweis zu einem logischen Fehlschluss führen, dem sogenannten Zirkelschluss, bei dem man den Satz des Pythagoras selbst zum Beweis des Satzes des Pythagoras heranzieht.

Mathematiker sind bei dieser Aufgabe wiederholt gescheitert, so sehr, dass der amerikanische Mathematiker Elisha Loomis 1927 ausrief: „ Es gibt keine Möglichkeit, den Satz des Pythagoras mit Trigonometrie zu beweisen, da alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf der Richtigkeit des Satzes des Pythagoras beruhen müssen.“

Doch wie sich herausstellte, hatte Elisha Loomis unrecht.

Fast 100 Jahre später haben diese beiden Gymnasiasten einen Weg gefunden, den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

In einer neuen Studie, die in der Fachzeitschrift American Mathematical Monthly veröffentlicht wurde, präsentierten zwei Schülerinnen, Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson von der St. Mary's Academy High School in Colorado, nicht nur einen, sondern gleich zehn Wege, den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

Ne'Kiya Jackson (links) und Calcea Johnson (rechts).

Um dies tun zu können, Jackson und Johnson verwendeten wie üblich ein rechtwinkliges Dreieck ABC. „ Unser erster Beweis beginnt damit, dass wir das Dreieck ABC an seiner Seite AC spiegeln, wodurch ein gleichschenkliges Dreieck ABB entsteht “, schrieben die beiden in ihrer Arbeit.

Im nächsten Schritt konstruieren sie ein rechtwinkliges Dreieck AB'D, indem sie die Seite AB bis zum Punkt D verlängern, sodass sie von D aus das Lot auf B'A fällen können.

Stellen Sie an dieser Stelle sicher, dass Sie genügend Papier haben, denn AB'D ist ein Dreieck mit einer ungewöhnlich langen Seite, und der Punkt D wird höchstwahrscheinlich über den Rand Ihres Papiers hinausragen.

Dann fällt man von Punkt B aus das Lot auf BB', das B'D in E schneidet. Dann fällt man von E aus das Lot, das AD in F schneidet... Und so weiter unendlich lange, bis man unendlich viele ähnliche Dreiecke erhält, deren Gesamtfläche gleich der Fläche des Dreiecks AB'D ist.

Nun zum Wichtigsten:

Jackson und Johnson stellten fest, dass die ^Seite BB' die Länge 2a hat und das Dreieck B'EB dem Dreieck ABC ähnlich ist. Daher lässt sich die Länge der Seite BE als ^2a² /b berechnen. Somit ergeben sich für die Seiten FG und GH ^{die Längen 2a⁴c / b⁴} bzw. ^2a⁶c / ^b⁶ .

Dann ist die Länge der Hypotenuse AD gleich der Summe der Strecken:

Im Dreieck AB'D gilt:

Aus den beiden obigen Formeln ergibt sich die Gleichung:

Dabei wird die Summe einer grundlegenden konvergenten Reihe verwendet:

Unmittelbar nach ihrer Veröffentlichung zog der Beweis des Satzes von Pythagoras durch Jackson und Johnson Mathematiker an, darunter Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut.

„ So etwas hatte ich noch nie gesehen“, sagte Lozano-Robledo. Die Idee, ein großes Dreieck mit unendlich vielen kleineren Dreiecken zu füllen und dann dessen Seitenlängen mithilfe einer konvergenten Reihe zu berechnen, war eine unerwartete Innovation für eine Gymnasiastin.

Der Mathematiker Álvaro Lozano-Robledo von der University of Connecticut lobte Ne'Kiya Jackson und Calcea Johnson.

„ Manche Leute glauben, dass man Jahre in der Schule oder in Forschungsinstituten verbringen muss, um ein neues Problem zu lösen “, sagte Lozano-Robledo. „ Aber das beweist, dass es auch schon während der Schulzeit möglich ist.“

Jackson und Johnson haben nicht nur den Satz des Pythagoras auf eine völlig neue Weise bewiesen, sondern ihre Lösung hat auch eine fragile Grenze des Trigonometriebegriffs hervorgehoben, sagten sie.

„ Schüler der Oberstufe sind sich möglicherweise nicht bewusst, dass zwei Varianten der Trigonometrie mit demselben Begriff verbunden sind. In diesem Fall ist der Versuch, die Trigonometrie zu verstehen, so, als versuche man, ein Bild zu verstehen, auf dem zwei verschiedene Bilder übereinander gedruckt sind “, sagen sie.

Die überraschende Lösung des Satzes von Pythagoras gelang Jackson und Johnson, indem sie diese beiden trigonometrischen Variationen trennten und ein weiteres fundamentales Gesetz der Trigonometrie, den Sinussatz, anwandten. Dadurch umgingen die beiden die Zirkelschlüsse, in die frühere Mathematiker, darunter Elisha Loomis, geraten waren, als sie versuchten, den Satz von Pythagoras mithilfe des Satzes von Pythagoras zu beweisen.

Niemand hat den Satz des Pythagoras jemals auf diese Weise bewiesen, nicht einmal Albert Einstein.

„Ihre Ergebnisse haben die Aufmerksamkeit anderer Studenten auf eine neue und vielversprechende Perspektive gelenkt “, sagte Della Dumbaugh, Chefredakteurin des American Mathematical Monthly. Kommentar.

„ Das wird auch viele neue mathematische Diskussionen anstoßen “, sagt Lozano-Robledo. „ Dann können andere Mathematiker diese Arbeit nutzen, um den Beweis zu verallgemeinern, ihre Ideen zu verallgemeinern oder die Idee einfach auf andere Weise anzuwenden.“

Man kann erkennen, dass mit der Zeichnung des ungewöhnlichen „ Dreiecks “ durch Jackson und Johnson ein neues Gebiet in der Mathematik erschlossen wurde. Ein Dreieck, das über den Rand des Papiers hinausragt, enthält im Inneren eine Schleife aus unendlich vielen Dreiecken.

Wenn du also das nächste Mal eine Geometrieaufgabe löst und auf eine Kante stößt, versuche, sie bis zur Kante zu zeichnen. Wer weiß, vielleicht machst du dabei eine Entdeckung.

Quelle: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Quelle: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm