Σχεδιάζοντας ένα τρίγωνο που ξεχειλίζει από την άκρη του χαρτιού, δύο φοιτητές αποδεικνύουν απροσδόκητα ένα μαθηματικό θεώρημα 2.500 ετών.

Αυτό που είναι ξεχωριστό είναι ότι κανείς δεν έχει αποδείξει ποτέ το θεώρημα με αυτόν τον τρόπο, ούτε καν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν.

Στο λύκειο, όλοι μας έχουμε κληθεί να λύσουμε γεωμετρικά προβλήματα. Και αφού έχουμε λύσει γεωμετρικά προβλήματα, όλοι έχουμε αντιμετωπίσει αυτήν την κατάσταση τουλάχιστον μία φορά: Ενώ σχεδιάζαμε ένα σχήμα, μας τελειώνει το χαρτί.

Όλες αυτές οι περιπτώσεις περιλαμβάνουν ένα «μεταλλαγμένο» τρίγωνο, με δύο ασυνήθιστα μακριές πλευρές, έτσι ώστε να μπορούν να σχεδιαστούν μέχρι την άκρη του χαρτιού χωρίς να τέμνονται. Πώς θα χειριζόσασταν αυτήν την κατάσταση;

Εικονογραφημένη φωτογραφία.

Μερικοί μαθητές—πολύ δημιουργικά—θα συνεχίσουν να σχεδιάζουν το σχήμα στην άλλη πλευρά του χαρτιού, που είναι το πίσω μέρος του χαρτιού. Άλλοι θα πάρουν ένα άλλο φύλλο χαρτιού και θα το τοποθετήσουν κάτω από το πρώτο για να ολοκληρώσουν το σχήμα. Ή, αν έχετε κάποια δυσκολία, μπορείτε να σχεδιάσετε το τρίγωνο που αιωρείται στο τραπέζι.

Ωστόσο, μερικοί άνθρωποι θα σκεφτούν: Γιατί επιμένεις να σχεδιάζεις αυτό το «μεταλλαγμένο» τρίγωνο; Απλώς ζωγραφίζεις μέχρι να τελειώσει το χαρτί και μετά σταμάτα. Ακόμα κι αν δεν σχεδιάσεις ολόκληρο το σχήμα στο χαρτί, η λύση σου σίγουρα δεν είναι σωστή.

Αλλά μια νέα μελέτη στο περιοδικό American Mathematical Monthly θα τους κάνει τώρα να το ξανασκεφτούν. Μερικές φορές, τα τρίγωνα στο εξωτερικό του χαρτιού μπορούν να κρύβουν απροσδόκητα μαθηματικά μυστικά.

Συγκεκριμένα σε αυτή την περίπτωση, με ένα «μεταλλαγμένο» τρίγωνο, δύο μαθητές λυκείου στις ΗΠΑ βρήκαν έναν τρόπο να αποδείξουν το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο κάποτε θεωρούνταν «αδύνατο» για περισσότερα από 2.500 χρόνια, από τότε που διατυπώθηκε.

Εικονογραφημένη φωτογραφία.

Κανείς δεν έχει αποδείξει ποτέ το Πυθαγόρειο θεώρημα με αυτόν τον τρόπο, ούτε καν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα (570–495 π.Χ.) που το απέδειξε πρώτος, αν και υπάρχουν ενδείξεις ότι μαθηματικοί σε άλλους αρχαίους πολιτισμούς όπως η Βαβυλώνα, η Ινδία, η Μεσοποταμία και η Κίνα το ανακάλυψαν επίσης ανεξάρτητα:

Ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των άλλων δύο πλευρών. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους a και b και η υποτείνουσα είναι c, τότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα εκφράζεται από τον τύπο:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Αν δεν υπήρχε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να χτίσουν τις πυραμίδες.

Φαίνεται σαν ένας απλός τύπος, αλλά χωρίς να γνωρίζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα ήταν σε θέση να χτίσουν τις πυραμίδες, οι Βαβυλώνιοι δεν θα ήταν σε θέση να υπολογίσουν τη θέση των αστεριών και οι Κινέζοι δεν θα ήταν σε θέση να μοιράσουν τη γη.

Αυτό το θεώρημα έθεσε επίσης τα θεμέλια για πολλές σχολές μαθηματικών, όπως η στερεά γεωμετρία, η μη Ευκλείδεια γεωμετρία και η διαφορική γεωμετρία - χωρίς τις οποίες, ή αν αποδεικνυόταν λανθασμένο, σχεδόν ολόκληρος ο κλάδος της γεωμετρίας των μαθηματικών που είναι γνωστός στην ανθρωπότητα σήμερα θα κατέρρεε.

Η απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος ήταν επομένως ένα πολύ σημαντικό έργο. Ήδη από το 500 π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας ανέλαβε αυτό το έργο και άφησε το όνομά του στην ιστορία για πρώτη φορά.

Απέδειξε το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιώντας μια πολύ απλή μέθοδο:

Εικονογραφημένη φωτογραφία.

Σχεδιάστε ένα τετράγωνο με μήκη πλευρών a+b. Στη συνέχεια, σε κάθε γωνία, συνεχίστε να σχεδιάζετε 4 ίσα τρίγωνα, με πλευρές a και b. Αυτά τα τρίγωνα είναι όλα ίσα ορθογώνια τρίγωνα, με υποτείνουσα c και μαζί δημιουργούν ένα κενό μέσα στο τετράγωνο με εμβαδόν ^c2 .

Στη συνέχεια, απλώς αναδιατάσσοντας τις θέσεις αυτών των 4 τριγώνων, ο Πυθαγόρας δημιούργησε δύο νέους χώρους, οι οποίοι ήταν δύο τετράγωνα με πλευρές a και b. Το συνολικό εμβαδόν αυτών των δύο χώρων ήταν a ² + b ² , το οποίο φυσικά έπρεπε να είναι ίσο με τον αρχικό χώρο c ² .

Αυτή είναι η απόδειξη που θα βρείτε στο βιβλίο μαθηματικών της 7ης τάξης στο γυμνάσιο. Υπάρχει όμως και μια άλλη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος που ίσως να μην έχετε μάθει. Είναι η λύση που βρήκε ο Άλμπερτ Αϊνστάιν όταν ήταν 11 ετών.

Ο Αϊνστάιν συνειδητοποίησε στη συνέχεια ότι αν έριχνε ένα υψόμετρο AD κάθετο στην υποτείνουσα BC του ορθογώνιου τριγώνου ABC, θα έπαιρνε 2 ορθογώνια τρίγωνα όμοια με το ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Τώρα, απλώς σχεδιάζοντας έξω από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC τετράγωνα με πλευρές ίσες με κάθε μία από τις πλευρές του, ο Αϊνστάιν θα έπαιρνε 3 τετράγωνα με εμβαδόν ίσο με ^a2 , ^b2 και ^c2 .

Δεδομένου ότι η αναλογία του εμβαδού ενός ορθογώνιου τριγώνου προς το εμβαδόν ενός τετραγώνου στην υποτείνουσα του είναι η ίδια για όμοια τρίγωνα, θα έχουμε επίσης 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Εικονογραφημένη φωτογραφία.

Ωστόσο, αυτές είναι μόνο δύο από τις 370 αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος που έχουν βρει οι μαθηματικοί τα τελευταία 2.500 χρόνια. Από τη χρήση άλγεβρας, λογισμού έως διάφορες γεωμετρικές τομές, αυτό το μαθηματικό θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί αληθές χρησιμοποιώντας μεθόδους που κυμαίνονται από εύκολες έως σύνθετες.

Ωστόσο, σε όλες αυτές τις λύσεις, δεν υπάρχει απόδειξη χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους. Δεδομένου ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα στην τριγωνομετρία, η απόδειξή του χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία θα μας οδηγούσε σε μια παγίδα λογικής πλάνης, που ονομάζεται κυκλική σκέψη, όταν χρησιμοποιούμε το ίδιο το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Οι μαθηματικοί έχουν επανειλημμένα αποτύχει σε αυτό το έργο, σε τέτοιο βαθμό που το 1927, ο Αμερικανός μαθηματικός Ελίσα Λούμις αναφώνησε: « Δεν υπάρχει τρόπος να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα με τριγωνομετρία, επειδή όλοι οι βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι πρέπει να βασίζονται στην ορθότητα του Πυθαγορείου Θεωρήματος».

Αλλά όπως αποδείχθηκε, ο Ελίσα Λούμις έκανε λάθος.

Σχεδόν 100 χρόνια αργότερα, αυτοί οι δύο μαθητές λυκείου βρήκαν έναν τρόπο να αποδείξουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.

Σε μια νέα μελέτη που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό American Mathematical Monthly, δύο μαθητές, ο Ne'Kiya Jackson και ο Calcea Johnson από το Λύκειο St. Mary's Academy στο Κολοράντο, παρουσίασαν όχι έναν αλλά 10 τρόπους για να αποδείξουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.

Νε'Κίγια Τζάκσον (αριστερά) και Καλσέα Τζόνσον (δεξιά).

Για να μπορέσετε να το κάνετε αυτό, Οι Τζάκσον και Τζόνσον χρησιμοποίησαν ως συνήθως ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC. « Η πρώτη μας απόδειξη ξεκινά αναστρέφοντας το τρίγωνο ABC πάνω από την πλευρά AC του για να σχηματιστεί ένα ισοσκελές τρίγωνο ABB », έγραψαν οι δύο στην εργασία.

Στο επόμενο βήμα, θα κατασκευάσουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο AB'D, επεκτείνοντας την πλευρά AB στο σημείο D έτσι ώστε από το D να μπορούν να ρίχνουν μια κάθετο στο B'A.

Σε αυτό το σημείο, βεβαιωθείτε ότι έχετε αρκετό χαρτί, επειδή το AB'D είναι ένα τρίγωνο με ασυνήθιστα μεγάλη πλευρά και το σημείο D πιθανότατα θα ξεπηδήσει πέρα ​​από την άκρη του χαρτιού σας.

Στη συνέχεια, από το σημείο Β, θα ρίξετε μια κάθετο στο BB', τέμνοντας το B'D στο E. Στη συνέχεια, από το E, θα ρίξετε μια κάθετο για να τέμνει το AD στο F... Και ούτω καθεξής επ' αόριστον, θα λάβετε έναν άπειρο αριθμό ομοίων τριγώνων των οποίων τα συνδυασμένα εμβαδά είναι ίσα με το εμβαδόν του τριγώνου AB'D:

Τώρα το σημαντικό σημείο:

Οι Τζάκσον και Τζόνσον διαπίστωσαν ότι επειδή το BB' έχει μήκος 2a και το τρίγωνο B'EB είναι παρόμοιο με το τρίγωνο ABC, μπορούν να υπολογίσουν το μήκος της πλευράς BE ως 2a ² /b. BF=2A ² c/b ^2. Έτσι, οι πλευρές FG, GH μπορούν να υπολογιστούν ως 2a ⁴ c/b ⁴ και 2a ⁶ c/b ⁶ …

Στη συνέχεια, το μήκος της υποτείνουσας AD θα είναι ίσο με το άθροισμα των τμημάτων της γραμμής:

Στο τρίγωνο AB'D έχουμε:

Από τους δύο παραπάνω τύπους, παίρνουμε την εξίσωση:

Στην οποία, χρησιμοποιώντας το άθροισμα μιας βασικής συγκλίνουσας σειράς, η σχέση είναι:

Αμέσως μετά τη δημοσίευσή της, η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος από τους Τζάκσον και Τζόνσον προσέλκυσε το ενδιαφέρον μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Άλβαρο Λοζάνο-Ρομπλέντο, από το Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ.

« Δεν έμοιαζε με τίποτα που είχα ξαναδεί», είπε ο Lozano-Robledo. Η ιδέα της πλήρωσης ενός μεγάλου τριγώνου με άπειρα πολλά μικρότερα τρίγωνα και στη συνέχεια του υπολογισμού των μηκών των πλευρών του χρησιμοποιώντας μια συγκλίνουσα σειρά ήταν μια απροσδόκητη καινοτομία για έναν μαθητή λυκείου.

Ο μαθηματικός Álvaro Lozano-Robledo του Πανεπιστημίου του Κονέκτικατ επαίνεσε τη Ne'Kiya Jackson και την Calcea Johnson.

« Κάποιοι πιστεύουν ότι κάποιος πρέπει να περάσει χρόνια στο σχολείο ή σε ερευνητικά ιδρύματα για να λύσει ένα νέο πρόβλημα », είπε ο Lozano-Robledo. « Αλλά αυτό αποδεικνύει ότι μπορεί να γίνει ενώ είσαι ακόμα στο λύκειο».

Οι Τζάκσον και Τζόνσον όχι μόνο απέδειξαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα με έναν εντελώς νέο τρόπο, αλλά η λύση τους τόνισε επίσης ένα εύθραυστο όριο της έννοιας της τριγωνομετρίας, είπαν.

« Οι μαθητές λυκείου μπορεί να μην συνειδητοποιούν ότι υπάρχουν δύο εκδοχές της τριγωνομετρίας που συνδέονται με τον ίδιο όρο. Σε αυτή την περίπτωση, η προσπάθεια κατανόησης της τριγωνομετρίας είναι σαν να προσπαθείς να κατανοήσεις μια εικόνα με δύο διαφορετικές εικόνες τυπωμένες η μία πάνω στην άλλη », λένε.

Η εκπληκτική λύση στο Πυθαγόρειο Θεώρημα προήλθε από τους Τζάκσον και Τζόνσον, οι οποίοι διαχωρίζουν αυτές τις δύο τριγωνομετρικές παραλλαγές και χρησιμοποιούν έναν άλλο θεμελιώδη νόμο της τριγωνομετρίας, τον Νόμο των Ημιτόνων. Με αυτόν τον τρόπο, το δίδυμο απέφυγε τους φαύλους κύκλους που αντιμετώπισαν προηγούμενοι μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Ελίσα Λούμις, όταν προσπάθησαν να αποδείξουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Κανείς δεν έχει αποδείξει ποτέ το Πυθαγόρειο θεώρημα με αυτόν τον τρόπο, ούτε καν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν.

«Τα αποτελέσματά τους έχουν επιστήσει την προσοχή άλλων φοιτητών σε μια νέα και πολλά υποσχόμενη προοπτική », δήλωσε η Ντέλα Ντάμπαου, αρχισυντάκτρια του American Mathematical Monthly. σχόλιο.

« Θα ανοίξει επίσης πολλές νέες μαθηματικές συζητήσεις », λέει ο Lozano-Robledo. « Τότε είναι που άλλοι μαθηματικοί θα μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτήν την εργασία για να γενικεύσουν αυτήν την απόδειξη, να γενικεύσουν τις ιδέες τους ή απλώς να χρησιμοποιήσουν αυτήν την ιδέα με άλλους τρόπους».

Μπορεί να φανεί ότι μια νέα εποχή στα μαθηματικά άνοιξε αφότου οι Τζάκσον και Τζόνσον σχεδίασαν το μεταλλαγμένο « τρίγωνο ». Ένα τρίγωνο που εκτείνεται πέρα ​​από την άκρη του χαρτιού περιέχει μέσα του μια θηλιά από ατελείωτα τρίγωνα.

Έτσι, την επόμενη φορά που λύνετε ένα γεωμετρικό πρόβλημα και συναντήσετε μια ακμή, δοκιμάστε να την σχεδιάσετε μέχρι την άκρη. Ποιος ξέρει, μπορεί να κάνετε μια ανακάλυψη.

Πηγή: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Πηγή: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm