מהי נגזרת? נוסחאות נגזרת מפורטות

מהי נגזרת?

לפי מתמטיקה 11, כרך 2, חיבור בין ידע לחיים, נגזרת של פונקציה היא אחד המושגים החשובים במתמטיקה. הנגזרת מייצגת את קצב השינוי של פונקציה בנקודה או בטווח מסוים.

נוסחה לנגזרת של פונקציה בנקודה

הנגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת קובעת כמה הפונקציה משתנה באותה נקודה.

נגזרות של פונקציות משותפות

אלו הן הצורות הפשוטות ביותר של פונקציות חזקה - הבסיס לחישוב נגזרות עבור פונקציות מורכבות יותר בהמשך.

נגזרות של סכום, הפרש, מכפלה, מנת

נגזרות של סכומים, הפרשים, מכפלות ומכפלות הן כללים חשובים שעוזרים לנו לחשב נגזרות של ביטויים מורכבים מפונקציות פשוטות. במקום להוכיח שוב את הגדרת הגבולות, נוכל פשוט ליישם את נוסחאות הכלל הללו כדי לפשט את הפעולה.

באופן ספציפי, הנגזרת של הסכום או ההפרש שווה לסכום או להפרש של הנגזרות; נגזרת המכפלה פועלת לפי הכלל "נגזרת ראשונה, אחר כך כפל, חיבור ראשונה, אחר כך כפל הנגזרת"; ונגזרת המנה פועלת לפי הכלל "מונה של נגזרת כפול מכנה, חיסור מונה כפול מכנה של נגזרת, חילוק בריבוע של מכנה". נוסחאות אלו יוצגו בבירור להלן, עם דוגמאות להמחשה, כך שהתלמידים יוכלו לזכור אותן בקלות וליישם אותן בתרגילים.

3 פונקציות של פונקציית סכום-מכפלה-מנה.PNG

נגזרת של פונקציה מורכבת

הנגזרת של פונקציה מורכבת משמשת כאשר הפונקציה מורכבת מכמה שכבות של פונקציות מקוננות. בהחלת כלל השרשרת, הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית, מוכפלת בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות עוזרות לנו לדעת את קצב השינוי של פונקציות כמו sin(x), cos(x) או tan(x) כאשר ערכה של x משתנה.

רק על ידי שליטה בנגזרות של sin(x) ו-cos(x), נוכל להסיק את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות אחרות, מכיוון שניתן לבטא את כולן על סמך sin ו-cos (באמצעות כלל המנה).

בסעיף הבא נוכיח את נוסחת הנגזרת של sin(x) ו-cos(x). משם נוכל לחשב נגזרות עבור פונקציות טריגונומטריות אחרות, וכן להרחיב את הנוסחה לפונקציות טריגונומטריות הפוכות ונוסחאות מיוחדות אחרות.

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

הנגזרת של פונקציה אקספוננציאלית מציין את קצב השינוי של פונקציות מהצורה ^ax (עם a>0, a≠1) או במיוחד ^ex . מביניהן, ^ex נחשבת לפונקציה האקספוננציאלית החשובה ביותר מכיוון שהנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה.

נגזרת של פונקציה לוגריתמית

הנגזרת של פונקציה לוגריתמית משקפת את קצב השינוי של פונקציות מהצורה log _⁡a (x) (עם a>0, a≠1), שהחשובה שבהן היא ln⁡(x) - הלוגריתם הטבעי עם בסיס e.

בידיעה של נוסחת הנגזרת של ln⁡(x), נוכל בקלות להסיק את הנגזרת של log _⁡a (x) באמצעות נוסחת שינוי הבסיס.

נגזרת שנייה

הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה, כלומר, אנו לוקחים את הנגזרת של פונקציה פעמיים ברציפות. אם הנגזרת הראשונה אומרת לנו את קצב השינוי של הפונקציה, אז הנגזרת השנייה אומרת לנו את קצב השינוי של אותו קצב.

בגיאומטריה, הנגזרת השנייה מסייעת לקבוע את העקמומיות/קעירות של גרף. בפיזיקה, אם פונקציה מייצגת מרחק לאורך זמן, הנגזרת הראשונה היא המהירות, והנגזרת השנייה היא התאוצה.