מהי נגזרת? נוסחאות נגזרת מפורטות

סקירה מהירה:

מהי נגזרת?
נוסחה לנגזרת של פונקציה בנקודה
נגזרות של פונקציות משותפות
נגזרות של סכומים, הפרשים, מכפלות ומכפלות.
נגזרת של פונקציה מורכבת
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית
נגזרת של פונקציה לוגריתמית
נגזרת שנייה
טיפים לזכירת נוסחאות נגזרות

מהי נגזרת?

לפי ספר הלימוד מתמטיקה 11, כרך 2, חלק מסדרת "חיבור ידע וחיים", נגזרת של פונקציה היא אחד המושגים החשובים במתמטיקה. הנגזרת מייצגת את קצב השינוי של פונקציה בנקודה או בטווח מסוים.

נוסחה לנגזרת של פונקציה בנקודה

הנגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת מציינת את מידת השינוי של הפונקציה באותה נקודה.

נגזרות של פונקציות משותפות

אלו הן הצורות הפשוטות ביותר של פונקציות חזקה – הבסיס לחישוב נגזרות עבור פונקציות מורכבות רבות יותר בהמשך.

נגזרות של סכומים, הפרשים, מכפלות ומכפלות.

נגזרות של סכומים, הפרשים, מכפלות ומכפלות הן כללים חשובים שעוזרים לנו לחשב את הנגזרות של ביטויים מורכבים מפונקציות פשוטות. במקום להוכיח אותן שוב מהגדרת גבול, נוכל פשוט ליישם נוסחאות וכללים אלה כדי לפשט את התהליך.

באופן ספציפי, הנגזרת של סכום או הפרש שווה לסכום או להפרש של נגזרותיו; נגזרת של מכפלה פועלת לפי הכלל "נגזרת ראשונה, אחר כך כפל; חיבור ראשונה, אחר כך נגזרת"; ונגזרת של מנת פועלת לפי הכלל "מונה נגזרת כפול מכנה, חיסור מונה כפול מכנה נגזרת, חילוק במכנה בריבוע". נוסחאות אלו יוצגו בבירור להלן, עם דוגמאות להמחשה, כדי לעזור לתלמידים לזכור אותן בקלות וליישם אותן בתרגילים.

3 נגזרות של פונקציית הסכום, ההפרש, המכפלה והמנה. PNG

נגזרת של פונקציה מורכבת

נגזרת של פונקציה מורכבת משמשת כאשר הפונקציה נוצרת ממספר פונקציות מקוננות. בהחלת כלל השרשרת, נגזרת הפונקציה המורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות עוזרות לנו להבין את קצב השינוי של פונקציות כמו sin(x), cos(x) או tan(x) כאשר ערכה של x משתנה.

על ידי שליטה בנגזרות של sin(x) ו-cos(x), נוכל להסיק את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות אחרות, שכן ניתן לבטא את כולן במונחים של sin ו-cos (באמצעות כלל המנה).

בסעיף הבא נוכיח את נוסחאות הנגזרות עבור sin(x) ו-cos(x). משם נוכל לחשב נגזרות עבור פונקציות טריגונומטריות אחרות, וכן להרחיב זאת לפונקציות טריגונומטריות הפוכות ולנוסחאות מיוחדות אחרות.

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

הנגזרת של פונקציה אקספוננציאלית נותנת לנו את קצב השינוי של פונקציות מהצורה ^ax (עם a>0, a≠1) או במיוחד ^ex . מבין אלה, ^ex נחשבת לפונקציה האקספוננציאלית החשובה ביותר מכיוון שהנגזרת שלה שווה לעצמה.

נגזרת של פונקציה לוגריתמית

הנגזרת של פונקציה לוגריתמית מציינת את קצב השינוי של פונקציות מהצורה _log⁡a (x) (כאשר a>0, a≠1), שהחשובה שבהן היא ln⁡(x) - הלוגריתם הטבעי שבסיסו e.

בידיעה של נוסחת הנגזרת עבור ln(x), נוכל בקלות להסיק את הנגזרת של _log⁡a (x) באמצעות נוסחת שינוי הבסיס.

נגזרת שנייה

הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה; כלומר, אנו לוקחים את הנגזרת של פונקציה פעמיים ברציפות. אם הנגזרת הראשונה אומרת לנו את קצב השינוי של הפונקציה, אז הנגזרת השנייה אומרת לנו את קצב השינוי של אותו קצב.

בגיאומטריה, הנגזרת השנייה מסייעת לקבוע את העקמומיות/קעירות של גרף. בפיזיקה, אם פונקציה מייצגת מרחק כפונקציה של זמן, הנגזרת הראשונה היא מהירות, בעוד שהנגזרת השנייה היא תאוצה.