डेरिवेटिव क्या होता है?
गणित 11 की पाठ्यपुस्तक के खंड 2 के अनुसार, जो "ज्ञान और जीवन को जोड़ना" श्रृंखला का हिस्सा है, किसी फलन का अवकलन गणित की महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। अवकलन किसी बिंदु या अंतराल पर फलन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
किसी बिंदु पर फलन के अवकलन का सूत्र
किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलन उस बिंदु पर फलन में हुए परिवर्तन की मात्रा को दर्शाता है।
सामान्य कार्यों के व्युत्पन्न
ये पावर फंक्शन के सबसे सरल रूप हैं - जो बाद में कई और जटिल फंक्शन के डेरिवेटिव की गणना करने का आधार बनते हैं।
योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के अवकलन।
योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के अवकलन महत्वपूर्ण नियम हैं जो हमें सरल फलनों से जटिल व्यंजकों के अवकलन की गणना करने में मदद करते हैं। सीमा की परिभाषा से इन्हें दोबारा सिद्ध करने के बजाय, हम प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए इन सूत्रों और नियमों को सीधे लागू कर सकते हैं।
विशेष रूप से, किसी योग या अंतर का अवकलन उसके अवकलनों के योग या अंतर के बराबर होता है; गुणनफल का अवकलन "पहले अवकलन, फिर गुणन; पहले जोड़, फिर अवकलन" के नियम का पालन करता है; और भागफल का अवकलन "अंश के अवकलन को हर से गुणा करना, अंश के अवकलन को हर के अवकलन से गुणा करना, भाग को हर के वर्ग से भाग देना" के नियम का पालन करता है। ये सूत्र नीचे उदाहरणों सहित स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए जाएंगे, ताकि छात्रों को इन्हें आसानी से याद रखने और अभ्यासों में लागू करने में सहायता मिल सके।
एक संयुक्त फलन का व्युत्पन्न
एक संयुक्त फलन का अवकलन तब किया जाता है जब वह फलन अनेक अंतर्निर्मित फलनों से मिलकर बना हो। श्रृंखला नियम का प्रयोग करते हुए, संयुक्त फलन का अवकलन बाहरी फलन के अवकलन को आंतरिक फलन के अवकलन से गुणा करने पर प्राप्त मान के बराबर होता है।
त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन
त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन हमें x के मान में परिवर्तन के साथ sin(x), cos(x), या tan(x) जैसे फलनों के परिवर्तन की दर को समझने में मदद करते हैं।
sin(x) और cos(x) के अवकलनों में महारत हासिल करके, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलनों का अनुमान लगा सकते हैं, क्योंकि उन सभी को sin और cos के पदों में व्यक्त किया जा सकता है (भागफल नियम का उपयोग करके)।
अगले भाग में, हम sin(x) और cos(x) के अवकलन सूत्रों को सिद्ध करेंगे। इसके बाद, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन की गणना कर सकते हैं, साथ ही इसे व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और कुछ अन्य विशेष सूत्रों तक विस्तारित कर सकते हैं।
घातीय फलन का अवकलन
घातांकीय फलनों का अवकलन हमें a x (जहाँ a>0, a≠1) या विशेष रूप से e x जैसे फलनों के परिवर्तन की दर बताता है। इनमें से, e x को सबसे महत्वपूर्ण घातांकीय फलन माना जाता है क्योंकि इसका अवकलन स्वयं के बराबर होता है।
लघुगणकीय फलन का अवकलन
लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न loga (x) (a>0, a≠1 के साथ) के रूप में फलनों के परिवर्तन की दर को इंगित करता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण ln(x) है - प्राकृतिक लघुगणक आधार e।
ln(x) के व्युत्पन्न सूत्र को जानकर, हम आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके loga (x) के व्युत्पन्न को आसानी से निकाल सकते हैं।
द्वितीय व्युत्पन्न
द्वितीय अवकलन प्रथम अवकलन का अवकलन होता है; अर्थात्, हम किसी फलन का अवकलन लगातार दो बार करते हैं। यदि प्रथम अवकलन हमें फलन के परिवर्तन की दर बताता है, तो द्वितीय अवकलन उसी दर के परिवर्तन की दर बताता है।
ज्यामिति में, द्वितीय अवकलन ग्राफ की वक्रता/अवतलता निर्धारित करने में सहायक होता है। भौतिकी में, यदि कोई फलन समय के फलन के रूप में दूरी को दर्शाता है, तो प्रथम अवकलन वेग होता है, जबकि द्वितीय अवकलन त्वरण होता है।
व्युत्पन्न सूत्रों को याद रखने के लिए सुझाव
- सूत्रों को व्यक्तिगत रूप से सीखने के बजाय समूह में सीखें।
- रेसिपी शीट को संभाल कर रखें ताकि भूल जाने पर आप तुरंत इसका इस्तेमाल कर सकें।
- कविता के माध्यम से व्युत्पन्न शब्दों के बारे में जानें:
मानव जगत में सौ वर्ष
अवकलन एक ऐसा विषय है जिसमें आलसी छात्र जो इसका अध्ययन करते हैं, शायद बहुत अच्छे न हों।
X घातांक (en) n के साथ
हम पहले n की घात तक अवकलन करते हैं।
फिर ऊपर दिया गया घातांक है।
हम उसमें से 1 घटा देते हैं।
मेरे दोस्त, वर्गमूल x का अवकलन।
मेरे दोस्त, उस प्यार को याद रखना, उसे कभी मत भूलना।
मृत्यु ही नंबर 1 है, जो अपरिवर्तित रहती है।
उदाहरण के लिए, तेज़ी से समझने के लिए दोनों वर्गमूल x को एक साथ लिखें।
दो भाइयों के गुणनफल का व्युत्पन्न
मैं तुम्हें पहले सिखाऊंगा, और बाद के लिए बचा कर रखूंगा।
फिर तेज़ परिणामों के लिए प्लस चिह्न जोड़ें।
पहले भाई को यथावत रखें, और दूसरे भाई को व्युत्पन्न के बाद रखें।
अगर आप किसी से सच्चा प्यार करते हैं, तो आप किसी भी कठिनाई को सहन कर लेंगे।
माता का सद्गुण अपरिवर्तित रहता है।
माइनस का चिह्न लगाना न भूलें!
मृत्यु का स्रोत, मातृत्व का मार्ग उसके ठीक पीछे-पीछे चलता है।
हर का वर्ग कहाँ जाता है?
चलिए इसे नीचे ले चलते हैं ताकि हम इसे जल्दी याद कर सकें।
साइन डेरिवेटिव वास्तव में अद्भुत है।
यह पता चला है कि कोसाइन कभी गलत नहीं होता।
व्युत्पन्न का कोसाइन किसी सपने की तरह सुंदर होता है।
सिवाय साइन के, जो आपको पूरी तरह से असमंजस में डाल देता है।
कड़ी मेहनत बुद्धि की कमी की भरपाई कर देती है।
कोसाइन के वर्ग से भाग देने पर टेंजेंट का डेरिवेटिव प्राप्त होता है।
केवल लगन से अध्ययन करने से ही यश प्राप्त किया जा सकता है।
हालांकि अंतिम संस्कार करना कठिन होता है, फिर भी इसमें कर्तव्य की भावना निहित होती है।
संख्या में से एक घटाएं और इसे करना याद रखें।
अच्छे इंसान बनो, ज्यादा फिजूलखर्ची मत करो।
टोपी X वाकई बहुत अजीब है।
इसके व्युत्पन्न को हम फिलहाल अपरिवर्तित रखेंगे।
हम घातीय फलन को यथावत छोड़ देते हैं।
इसके तुरंत बाद बेस नेपे संख्या आती है।
नेपे x व्युत्पन्न शीघ्रता से
यह तो बस 1 को x से भाग देना है, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।
लघुगणक x और लघुगणक में क्या अंतर है?
हमें अपने देश के आधार को नहीं भूलना चाहिए।
(इकट्ठा करना)
स्रोत: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html
