व्युत्पन्न क्या है? विस्तृत व्युत्पन्न सूत्र

सामान्य फलनों, त्रिकोणमितीय अवकलजों, घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के अवकलजों तथा द्वितीय-क्रम अवकलजों के सभी अवकलज सूत्रों के अतिरिक्त पाठक एक कविता के माध्यम से अवकलजों की गणना का सूत्र भी याद कर सकते हैं।

VietNamNet•17/10/2025

त्वरित देखें:

व्युत्पन्न क्या है?
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र
सामान्य कार्यों के व्युत्पन्न
योग, अंतर, गुणनफल, भागफल के व्युत्पन्न
संयुक्त फलन का व्युत्पन्न
त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न
घातांकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
दूसरा व्युत्पन्न
व्युत्पन्न सूत्र याद रखने के लिए सुझाव

व्युत्पन्न क्या है?

गणित 11, खंड 2, "ज्ञान और जीवन श्रृंखला को जोड़ना" के अनुसार, किसी फलन का अवकलज गणित की महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। अवकलज किसी बिंदु या अंतराल पर किसी फलन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न यह बताता है कि उस बिंदु पर फ़ंक्शन में कितना परिवर्तन होता है।

सामान्य कार्यों के व्युत्पन्न

ये घात फलनों के सबसे सरल रूप हैं - जो बाद में अधिक जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना का आधार हैं।

योग, अंतर, गुणनफल, भागफल के व्युत्पन्न

योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के अवकलज महत्वपूर्ण नियम हैं जो हमें सरल फलनों से जटिल व्यंजकों के अवकलजों की गणना करने में मदद करते हैं। सीमाओं की परिभाषा को फिर से सिद्ध करने के बजाय, हम संक्रिया को सरल बनाने के लिए इन नियम सूत्रों को आसानी से लागू कर सकते हैं।

विशेष रूप से, योग या अंतर का अवकलज अवकलजों के योग या अंतर के बराबर होता है; गुणनफल का अवकलज इस नियम का पालन करता है: "पहले अवकलज, फिर गुणन, पहले योग, फिर अवकलज का गुणन"; और भागफल का अवकलज इस नियम का पालन करता है: "अवकलज के अंश को हर से गुणा करें, अवकलज के हर से गुणा किए गए अंश को घटाएँ, हर के वर्ग से भाग दें"। ये सूत्र नीचे स्पष्ट रूप से, उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किए जाएँगे, ताकि छात्र इन्हें आसानी से याद रख सकें और अभ्यासों में लागू कर सकें।

संयुक्त फलन का व्युत्पन्न

संयुक्त फलन के व्युत्पन्न का उपयोग तब किया जाता है जब फलन कई नेस्टेड परतों वाले फलनों से बना हो। श्रृंखला नियम लागू करने पर, संयुक्त फलन का व्युत्पन्न, बाहरी फलन के व्युत्पन्न और आंतरिक फलन के व्युत्पन्न के गुणनफल के बराबर होता है।

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न हमें sin(x), cos(x) या tan(x) जैसे फलनों के परिवर्तन की दर जानने में मदद करते हैं जब x का मान बदलता है।

sin(x) और cos(x) के व्युत्पन्नों में महारत हासिल करके, हम अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्नों को प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि वे सभी sin और cos (भागफल नियम का उपयोग करके) के आधार पर व्यक्त किए जा सकते हैं।

अगले भाग में, हम sin(x) और cos(x) के व्युत्पन्न सूत्र सिद्ध करेंगे। यहाँ से, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों की गणना कर सकते हैं, साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और कुछ अन्य विशेष सूत्रों तक भी इसका विस्तार कर सकते हैं।

घातांकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

किसी घातांकीय फलन का व्युत्पन्न हमें a ^x (a>0,a≠1 के साथ) या विशेष रूप से e ^x के रूप के फलनों के परिवर्तन की दर बताता है। इनमें से, e ^{x को} सबसे महत्वपूर्ण घातांकीय फलन माना जाता है क्योंकि इसका व्युत्पन्न स्वयं के बराबर होता है।

लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न, log _⁡a (x) (a>0, a≠1 के साथ) के रूप के फलनों के परिवर्तन की दर बताता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण ln⁡(x) है - आधार e के साथ प्राकृतिक लघुगणक।

ln⁡(x) के व्युत्पन्न सूत्र को जानने के बाद, हम आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके आसानी से log _⁡a (x) के व्युत्पन्न को निकाल सकते हैं।

दूसरा व्युत्पन्न

द्वितीय अवकलज प्रथम अवकलज का अवकलज होता है, अर्थात हम किसी फलन का अवकलज लगातार दो बार लेते हैं। यदि प्रथम अवकलज हमें फलन के परिवर्तन की दर बताता है, तो द्वितीय अवकलज हमें उसी दर के परिवर्तन की दर बताता है।

ज्यामिति में, द्वितीय व्युत्पन्न किसी ग्राफ़ की वक्रता/अवतलता निर्धारित करने में मदद करता है। भौतिकी में, यदि कोई फलन समय के साथ दूरी दर्शाता है, तो प्रथम व्युत्पन्न वेग होता है, और द्वितीय व्युत्पन्न त्वरण होता है।