Melukis segitiga yang melimpahi tepi kertas, dua pelajar tanpa diduga membuktikan teorem matematik berusia 2,500 tahun

Apa yang istimewa ialah tiada siapa yang pernah membuktikan teorem dengan cara ini, walaupun Albert Einstein.

Di sekolah menengah, kita semua terpaksa menyelesaikan masalah geometri. Dan sebaik sahaja kami menyelesaikan masalah geometri, kami semua telah menghadapi situasi ini sekurang-kurangnya sekali: Semasa melukis angka, kami kehabisan kertas.

Semua kes sedemikian melibatkan segi tiga "mutan", dengan dua sisi yang luar biasa panjang, supaya ia boleh dilukis sehingga ke tepi kertas tanpa bersilang. Bagaimana anda akan menangani situasi ini?

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 1. — Foto ilustrasi.

Sesetengah pelajar—sangat kreatif—akan terus melukis bentuk ke bahagian lain kertas, iaitu bahagian belakang kertas. Orang lain akan mengambil satu lagi helaian kertas dan meletakkannya di bawah yang pertama untuk melengkapkan bentuk. Atau, jika anda berada dalam keadaan tersepit, anda boleh melukis segitiga terapung di atas meja.

Walau bagaimanapun, sesetengah orang akan berfikir: Mengapa anda berkeras untuk melukis segitiga "mutan" itu? Lukis sahaja sehingga kertas habis, kemudian berhenti. Walaupun anda tidak melukis keseluruhan bentuk di atas kertas, penyelesaian anda pastinya tidak betul.

Tetapi kajian baru dalam jurnal American Mathematical Monthly kini akan membuat mereka berfikir semula. Kadangkala, segi tiga di bahagian luar kertas boleh menyembunyikan rahsia matematik yang tidak dijangka.

Khususnya dalam kes ini, dengan segitiga "mutan", dua pelajar sekolah menengah di AS menemui cara untuk membuktikan teorem Pythagoras, yang pernah dianggap "mustahil" selama lebih daripada 2,500 tahun, sejak ia dinyatakan.

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 2. — Foto ilustrasi.

Tiada siapa yang pernah membuktikan teorem Pythagoras dengan cara ini, malah Albert Einstein.

Teorem Pythagoras dinamakan sempena ahli matematik Yunani purba Pythagoras (570–495 SM) yang pertama kali membuktikannya, walaupun terdapat bukti bahawa ahli matematik dalam tamadun purba lain seperti Babylon, India, Mesopotamia, dan China juga secara bebas menemuinya :

Bahawa dalam segi tiga tepat, kuasa dua hipotenus sentiasa sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang dua sisi yang lain. Jika segi tiga tegak mempunyai sisi panjang a dan b dan hipotenus ialah c, maka Teorem Pythagoras dinyatakan dengan formula:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 3. — Jika bukan kerana Teorem Pythagoras, orang Mesir purba tidak akan dapat membina piramid.

Ia kelihatan seperti formula yang mudah, tetapi tanpa mengetahui Teorem Pythagoras, orang Mesir kuno tidak akan dapat membina piramid, orang Babylon tidak akan dapat mengira kedudukan bintang, dan orang Cina tidak akan dapat membahagikan tanah.

Teorem ini juga meletakkan asas bagi banyak sekolah matematik seperti geometri pepejal, geometri bukan Euclidean dan geometri pembezaan - tanpanya, atau jika ia terbukti salah, hampir keseluruhan cabang geometri matematik yang diketahui manusia hari ini akan runtuh.

Oleh itu, membuktikan Teorem Pythagoras adalah tugas yang sangat penting. Seawal 500 SM, ahli matematik Yunani purba Pythagoras melaksanakan tugas ini dan mencipta namanya dalam sejarah buat kali pertama.

Dia membuktikan Teorem Pythagoras menggunakan kaedah yang sangat mudah:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 4. — Foto ilustrasi.

Lukiskan segi empat sama dengan panjang sisi a+b. Kemudian, pada setiap sudut, teruskan lukis 4 segi tiga sama, dengan sisi a dan b. Segitiga ini semuanya adalah segi tiga sama tegak, dengan hipotenus c dan bersama-sama mencipta ruang di dalam segi empat sama dengan luas c ² .

Kemudian, hanya dengan menyusun semula kedudukan 4 segi tiga itu, Pythagoras mencipta dua ruang baharu iaitu dua petak dengan sisi a dan b. Jumlah luas kedua-dua ruang itu ialah a ² + b ² , yang sudah tentu harus sama dengan ruang asal c ² .

Ini adalah bukti yang anda akan dapati dalam buku teks matematik gred 7 anda di sekolah menengah. Tetapi terdapat satu lagi bukti teorem Pythagoras yang mungkin anda tidak pelajari. Ia adalah penyelesaian yang Albert Einstein muncul ketika dia berumur 11 tahun.

Einstein kemudian menyedari bahawa jika dia menjatuhkan ketinggian AD berserenjang dengan hipotenus BC bagi segi tiga tegak ABC, dia akan mendapat 2 segi tiga tepat serupa dengan segi tiga tepat ABC. Sekarang, hanya dengan melukis di luar segi tiga tepat segi empat sama ABC dengan sisi sama dengan setiap sisinya, Einstein akan mendapat 3 petak dengan luas sama dengan a ² , b ² dan c ² .

Oleh kerana nisbah luas segi tiga tepat kepada luas segi empat sama pada hipotenusnya adalah sama untuk segi tiga yang serupa, kita juga akan mempunyai 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 5. — Foto ilustrasi.

Walau bagaimanapun, ini hanyalah dua daripada 370 bukti Teorem Pythagoras yang telah ditemui oleh ahli matematik sejak 2,500 tahun yang lalu. Daripada menggunakan algebra, kalkulus kepada pelbagai potongan geometri, teorem matematik ini boleh dibuktikan benar menggunakan kaedah daripada mudah kepada kompleks.

Walau bagaimanapun, dalam semua penyelesaian ini, tiada bukti menggunakan formula trigonometri. Oleh kerana Pythagoras sendiri adalah teorem asas dalam trigonometri, membuktikannya menggunakan trigonometri akan membawa kita ke dalam perangkap kesilapan logik, yang dipanggil pemikiran bulat, apabila kita menggunakan Teorem Pythagoras itu sendiri untuk membuktikan Teorem Pythagoras.

Ahli matematik telah berulang kali gagal dalam tugas ini, sehinggakan pada tahun 1927, ahli matematik Amerika Elisha Loomis berseru: " Tidak ada cara untuk membuktikan Teorem Pythagoras dengan trigonometri kerana semua formula trigonometri asas mesti bergantung pada ketepatan Teorem Pythagoras."

Tetapi ternyata, Elisha Loomis salah.

Hampir 100 tahun kemudian, kedua-dua pelajar sekolah menengah ini telah menemui cara untuk membuktikan Teorem Pythagoras menggunakan trigonometri.

Dalam kajian baru yang diterbitkan dalam jurnal American Mathematical Monthly, dua pelajar, Ne'Kiya Jackson dan Calcea Johnson dari St. Mary's Academy High School di Colorado, membentangkan bukan satu tetapi 10 cara untuk membuktikan Teorem Pythagoras menggunakan trigonometri.

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 6. — Ne'Kiya Jackson (kiri) dan Calcea Johnson (kanan).

Untuk dapat melakukan ini, Jackson dan Johnson menggunakan segi tiga tepat ABC seperti biasa. " Bukti pertama kami bermula dengan membalikkan segi tiga ABC ke atas sisi AC untuk membentuk segi tiga sama kaki ABB ," tulis kedua-duanya dalam kertas itu.

Dalam langkah seterusnya, mereka akan membina segi tiga tegak AB'D, dengan memanjangkan sisi AB ke titik D supaya dari D mereka boleh menjatuhkan serenjang dengan B'A.

Pada ketika ini, pastikan anda mempunyai kertas yang mencukupi, kerana AB'D ialah segi tiga dengan sisi panjang yang luar biasa dan titik D kemungkinan besar akan melompat keluar melepasi tepi kertas anda.

Kemudian, dari titik B, anda akan menjatuhkan serenjang ke BB', memotong B'D di E. Kemudian dari E, jatuhkan serenjang untuk memotong AD di F... Dan seterusnya selama-lamanya, anda akan mendapat nombor tak terhingga segitiga serupa yang kawasan gabungannya adalah sama dengan luas segi tiga AB'D:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 7.

Sekarang perkara penting:

Jackson dan Johnson mendapati bahawa kerana BB' mempunyai panjang 2a dan segi tiga B'EB adalah serupa dengan segi tiga ABC, mereka boleh mengira panjang sisi BE sebagai 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Oleh itu, sisi FG, GH boleh dikira sebagai 2a ⁴ c/b ⁴ dan 2a ⁶ c/b ⁶ …

Kemudian, panjang hipotenus AD akan sama dengan jumlah segmen garis:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 8.

Dalam segi tiga AB'D, kita ada:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 9.

Daripada dua formula di atas, kita mendapat persamaan:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 10.

Di mana, menggunakan hasil tambah siri penumpu asas ialah:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 11.

Sejurus selepas penerbitannya, bukti Jackson dan Johnson tentang Teorem Pythagoras menarik ahli matematik, termasuk Álvaro Lozano-Robledo, dari Universiti Connecticut.

" Ia kelihatan seperti tiada apa yang pernah saya lihat sebelum ini," kata Lozano-Robledo. Idea untuk mengisi segitiga besar dengan segi tiga lebih kecil yang tidak terhingga dan kemudian mengira panjang sisinya menggunakan siri penumpuan adalah satu inovasi yang tidak dijangka untuk pelajar sekolah menengah.

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 12. — Ahli matematik Álvaro Lozano-Robledo dari Universiti Connecticut memuji Ne'Kiya Jackson dan Calcea Johnson.

“ Sesetengah orang berpendapat bahawa seseorang perlu menghabiskan masa bertahun-tahun di sekolah atau institut penyelidikan untuk menyelesaikan masalah baharu ,” kata Lozano-Robledo. " Tetapi ini membuktikan bahawa ia boleh dilakukan semasa anda masih di sekolah menengah."

Bukan sahaja Jackson dan Johnson membuktikan Teorem Pythagoras dengan cara yang sama sekali baru, penyelesaian mereka juga menekankan sempadan rapuh konsep trigonometri, kata mereka.

" Pelajar sekolah menengah mungkin tidak menyedari bahawa terdapat dua versi trigonometri yang dilampirkan pada istilah yang sama. Dalam kes itu, cuba memahami trigonometri adalah seperti cuba memahami gambar dengan dua imej berbeza yang dicetak di atas satu sama lain ," kata mereka.

Penyelesaian yang mengejutkan kepada Teorem Pythagoras datang daripada Jackson dan Johnson yang memisahkan dua variasi trigonometri ini dan menggunakan satu lagi undang-undang asas trigonometri, Hukum Sinus. Dengan cara ini, mereka berdua mengelak lingkaran setan yang dihadapi oleh ahli matematik terdahulu, termasuk Elisha Loomis, apabila mereka cuba membuktikan Teorem Pythagoras menggunakan Teorem Pythagoras.

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 13. — Tiada siapa yang pernah membuktikan teorem Pythagoras dengan cara ini, malah Albert Einstein.

"Keputusan mereka telah menarik perhatian pelajar lain kepada perspektif baharu dan menjanjikan ," kata Della Dumbaugh, ketua pengarang American Mathematical Monthly. komen.

" Ia juga akan membuka banyak perbualan matematik baharu ," kata Lozano-Robledo. " Pada masa itulah ahli matematik lain boleh menggunakan kertas ini untuk menyamaratakan bukti itu, menyamaratakan idea mereka, atau hanya menggunakan idea itu dengan cara lain."

Ia boleh dilihat bahawa tanah baru dalam matematik telah dibuka selepas Jackson dan Johnson melukis " segi tiga " mutan. Segitiga yang melepasi tepi kertas mengandungi di dalam gelung segi tiga tidak berkesudahan.

Oleh itu, apabila anda menyelesaikan masalah geometri dan anda terjumpa satu kelebihan, cuba lukiskannya sehingga ke tepi. Siapa tahu, anda mungkin hanya membuat penemuan.

Sumber: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Sumber: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.h