Что такое производная? Подробные формулы производных.

Помимо всех формул производных для распространенных функций, тригонометрических производных, производных показательных и логарифмических функций, а также вторых производных, читатели могут запомнить формулу вычисления производных с помощью стихотворения.

Краткий обзор:

• Что такое производная?
• Формула для производной функции в точке
• Производные распространенных функций
• Производные сумм, разностей, произведений и частных.
• Производная сложной функции
• Производные тригонометрических функций
• Производная экспоненциальной функции
• Производная логарифмической функции
• Вторая производная
• Советы по запоминанию формул производных

Что такое производная?

Согласно учебнику по математике для 11 класса, том 2, входящему в серию «Соединяя знания и жизнь», производная функции является одним из важных понятий в математике. Производная представляет собой скорость изменения функции в точке или на интервале.

Формула для производной функции в точке

Производная функции в точке указывает на степень изменения функции в этой точке.

Производные распространенных функций

Это простейшие формы степенных функций — основа для вычисления производных многих более сложных функций в дальнейшем.

Производные сумм, разностей, произведений и частных.

Производные сумм, разностей, произведений и частных — важные правила, помогающие нам вычислять производные комплексных выражений от простых функций. Вместо того чтобы снова доказывать их, исходя из определения предела, мы можем просто применить эти формулы и правила для упрощения процесса.

В частности, производная суммы или разности равна сумме или разности её производных; производная произведения подчиняется правилу «сначала производная, затем умножение; сначала сложение, затем производная»; а производная частного подчиняется правилу «производная числителя умножается на знаменатель, вычитание производной числителя, умноженная на производную знаменателя, деление на квадрат знаменателя». Эти формулы будут наглядно представлены ниже с иллюстративными примерами, чтобы помочь учащимся легко запомнить и применить их в упражнениях.

Производная сложной функции

Производная сложной функции используется, когда функция образована из нескольких вложенных функций. Применяя правило цепочки, производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Производные тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций помогают нам понять скорость изменения таких функций, как sin(x), cos(x) или tan(x), при изменении значения x.

Овладев производными sin(x) и cos(x), мы можем вывести производные других тригонометрических функций, поскольку все они могут быть выражены через sin и cos (используя правило частного).

В следующем разделе мы докажем формулы производных для sin(x) и cos(x). Затем мы сможем вычислить производные для других тригонометрических функций, а также распространить это на обратные тригонометрические функции и некоторые другие специальные формулы.

Производная экспоненциальной функции

Производная экспоненциальной функции показывает скорость изменения функций вида a ^x (где a>0, a≠1) или, особенно, e ^x . Среди них e ^x считается наиболее важной экспоненциальной функцией, поскольку её производная равна самой себе.

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции указывает на скорость изменения функций вида _log⁡a (x) (где a>0, a≠1), наиболее важной из которых является ln⁡(x) — натуральный логарифм по основанию e.

Зная формулу производной для ln(x), мы можем легко вывести производную _log⁡a (x), используя формулу замены основания.

Вторая производная

Вторая производная — это производная первой производной; то есть мы берем производную функции дважды подряд. Если первая производная показывает нам скорость изменения функции, то вторая производная показывает нам скорость изменения той же функции.

В геометрии вторая производная помогает определить кривизну/вогнутость графика. В физике, если функция представляет расстояние как функцию времени, то первая производная — это скорость, а вторая производная — это ускорение.

Советы по запоминанию формул производных

- Изучайте формулы в группах, а не индивидуально.

— Сохраните лист с рецептом, чтобы использовать его сразу, если забудете.

— Узнайте о производных словах через поэзию:

Сто лет в человеческом мире

Изучение производных — это то, в чём ленивые студенты, изучающие эту тему, могут быть не очень хороши.

X с показателем степени (en) n

Сначала возьмём производную в степень n.

Тогда показатель степени выше

Мы просто вычитаем из этого 1.

Производная корня из x, мой друг.

Помни о любви, мой друг, не забывай её.

Смерть — это число 1, которое остается неизменным.

Например, для ускорения процесса можно записать два квадратных корня x вместе.

Производная от произведения двух братьев

Я сначала вас научу, а дальше оставлю на потом.

Затем добавьте знак плюса, чтобы ускорить процесс.

Первый брат оставьте как есть, а второй брат — после производной.

Если ты по-настоящему любишь кого-то, ты выдержишь любые трудности.

Добродетель матери остается неизменной.

Не забудьте знак минус!

Источник смерти, а затем и путь материнства, следуют по пятам.

Куда нужно поместить квадрат знаменателя?

Давайте спустимся вниз, чтобы быстрее это запомнить.

Производная синуса поистине удивительна.

Оказывается, косинус никогда не ошибается.

Косинус производной прекрасен, как сон.

За исключением синуса, который оставляет вас в полном недоумении и в полном одиночестве.

Упорный труд компенсирует недостаток интеллекта.

Единица, деленная на квадрат косинуса, является производной тангенса.

Только благодаря усердному обучению можно достичь славы.

Хотя похороны — это тяжелое событие, они все равно несут в себе чувство долга.

Вычтите единицу из числа и не забудьте это сделать.

Будьте хорошим человеком, не будьте слишком легкомысленными.

Шляпа с крестом выглядит очень странно.

Его производную мы пока оставим без изменений.

Мы оставляем экспоненциальную функцию без изменений.

Базовое число Непе следует сразу же.

производная Nepe x быстро

Это всего лишь 1, деленное на x, совсем не сложно.

В чём разница между логарифмом x и логарифмом?

Не будем забывать о базовом показателе нашей страны.

(Собирать)

Источник: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html