Что такое производная? Подробные формулы производных.

В дополнение ко всем производным формулам обычных функций, тригонометрическим производным, производным показательных и логарифмических функций, а также производным второго порядка, читатели могут запомнить формулу для вычисления производных с помощью стихотворения.

Быстрый просмотр:

• Что такое производный инструмент?
• Формула производной функции в точке
• Производные общих функций
• Производные суммы, разности, произведения, частного
• Производная сложной функции
• Производные тригонометрических функций
• Производная показательной функции
• Производная логарифмической функции
• Вторая производная
• Советы по запоминанию формулы производной

Что такое производный инструмент?

Согласно серии «Связь знаний и жизни» курса «Математика 11», том 2, производная функции — одно из важных математических понятий. Производная представляет собой скорость изменения функции в данной точке или на определённом интервале.

Формула производной функции в точке

Производная функции в точке показывает, насколько изменяется функция в этой точке.

Производные общих функций

Это простейшие формы степенных функций — основа для последующего вычисления производных более сложных функций.

Производные суммы, разности, произведения, частного

Производные сумм, разностей, произведений и частных — важные правила, помогающие нам вычислять производные сложных выражений от простых функций. Вместо того, чтобы заново доказывать определение пределов, мы можем просто применить эти формулы для упрощения операции.

В частности, производная суммы или разности равна сумме или разности производных; производная произведения подчиняется правилу «сначала производная, затем умножение, сначала сложение, затем умножение производной»; а производная частного подчиняется правилу «числитель производной умножить на знаменатель, вычесть числитель, умноженный на знаменатель производной, и разделить на квадрат знаменателя». Эти формулы будут наглядно представлены ниже с наглядными примерами, чтобы учащиеся могли легко запомнить их и применять в упражнениях.

Производная сложной функции

Производная сложной функции используется, когда функция состоит из нескольких вложенных друг в друга слоёв функций. Применяя правило цепочки, производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Производные тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций помогают нам узнать скорость изменения таких функций, как sin(x), cos(x) или tan(x), при изменении значения x.

Освоив только производные sin(x) и cos(x), мы можем вывести производные других тригонометрических функций, поскольку все они могут быть выражены через sin и cos (с использованием правила деления на множители).

В следующем разделе мы докажем формулу производной sin(x) и cos(x). Используя её, мы можем вычислить производные других тригонометрических функций, а также распространить её на обратные тригонометрические функции и некоторые другие специальные формулы.

Производная показательной функции

Производная показательной функции показывает скорость изменения функций вида a ^x (при a>0, a≠1) или, в частности, e ^x . Среди них показательная функция e ^x считается наиболее важной, поскольку её производная равна самой себе.

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции показывает скорость изменения функций вида log _⁡a (x) (при a>0, a≠1), наиболее важной из которых является ln⁡(x) — натуральный логарифм по основанию e.

Зная формулу производной ln⁡(x), мы можем легко вывести производную log _⁡a (x), используя формулу замены основания.

Вторая производная

Вторая производная — это производная первой производной, то есть мы берём производную функции дважды подряд. Если первая производная показывает скорость изменения функции, то вторая производная показывает скорость изменения этой же скорости.

В геометрии вторая производная помогает определить кривизну/вогнутость графика. В физике, если функция представляет расстояние во времени, первая производная — это скорость, а вторая — ускорение.

Советы по запоминанию формулы производной

- Изучайте формулы в группах, а не по отдельности.

- Сохраните таблицу формул, чтобы иметь возможность применить ее немедленно, если вы забудете.

- Изучите производные слова через стихотворения:

Сто лет в этом мире

Лень изучать производные — признак рассеянности.

X с мощностью n

Берем первую производную в степени n.

Тогда показатель степени выше

Сразу вычитаем 1.

Производная квадратного корня x, мой друг

С любовью, мой друг, не забывай об этом.

Числитель — целое число 1.

Пример 2. Квадратный корень x записан слитно для быстроты.

Производная произведения двух братьев

Сначала я тебя научу, а потом сохраню на потом.

Затем добавьте знак плюс для быстроты.

Оставьте переднего брата, а заднего брата — производную.

Если любишь, то как бы трудно это ни было, ты это примешь.

Производная и знаменатель остаются прежними.

Не забудьте знак минус.

Происхождение вселенной и путь матери следуют непосредственно за ними.

Куда девается квадрат образца?

Я спустил его, чтобы поскорее усвоить урок.

Производная синуса действительно талантлива.

Оказывается, cos никогда не ошибается.

Производная сна

Вычтите грех, и вы останетесь в покое.

Трудолюбие компенсирует ум

Деление на косинус — это производная тангенса.

Только усердно учась, можно гордиться.

Хоть похороны и сложны, у них все равно есть свои производные.

Вычтите 1 и не забудьте это сделать.

Будьте нормальным человеком, не будьте слишком игривыми.

E hat x такой странный

Его производную мы оставляем прежней.

Оставим экспоненциальную функцию в покое.

Базовый номер шел сразу после этого.

Непе икс производная быстро

Это 1 разделить на x, не так уж и сложно.

Отличается ли логарифм x?

Не забудьте наш базовый номер.

(Собирать)

Источник: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html