שני סטודנטים מציירים משולש שגולש מעל קצה הדף, ומוכיחים באופן בלתי צפוי משפט מתמטי בן 2,500 שנה.

המיוחד הוא שאף אחד מעולם לא הוכיח את המשפט בצורה זו, אפילו לא אלברט איינשטיין.

בתיכון, כולנו היינו צריכים לפתור בעיות גיאומטריה. וכאשר פתרנו בעיות גיאומטריה, כולנו נתקלנו במצב הזה לפחות פעם אחת: בזמן שציירנו דמות, נגמר לנו הנייר.

כל המקרים הללו כוללים משולש "מוטנטי", בעל שתי צלעות ארוכות באופן יוצא דופן, כך שניתן לצייר אותן עד לקצה הנייר מבלי להצטלב. כיצד הייתם מטפלים במצב זה?

צילום אילוסטרציה.

חלק מהתלמידים - באופן יצירתי מאוד - ימשיכו לצייר את הצורה לצד השני של הדף, שהוא גב הדף. אחרים ייקחו דף נייר נוסף ויניחו אותו מתחת לראשון כדי להשלים את הצורה. לחלופין, אם אתם במצוקה, תוכלו לצייר את המשולש הצף על השולחן.

עם זאת, יש אנשים שיחשבו: למה אתם מתעקשים לצייר את המשולש ה"מוטנטי" הזה? פשוט ציירו עד שהנייר ייגמר, ואז תפסיקו. גם אם לא תציירו את כל הצורה על הנייר, הפתרון שלכם בהחלט לא נכון.

אבל מחקר חדש שפורסם בכתב העת American Mathematical Monthly יגרום להם לחשוב שוב. לפעמים, המשולשים בצד החיצוני של הנייר יכולים להסתיר סודות מתמטיים בלתי צפויים.

ספציפית במקרה זה, עם משולש "מוטנטי", שני תלמידי תיכון בארה"ב מצאו דרך להוכיח את משפט פיתגורס, שנחשב בעבר "בלתי אפשרי" במשך יותר מ-2,500 שנה, מאז שנאמר.

צילום אילוסטרציה.

אף אחד מעולם לא הוכיח את משפט פיתגורס בצורה זו, אפילו לא אלברט איינשטיין.

משפט פיתגורס נקרא על שם המתמטיקאי היווני הקדום פיתגורס (570–495 לפנה"ס) שהוכיח אותו לראשונה, אם כי ישנן עדויות לכך שמתמטיקאים בתרבויות עתיקות אחרות כמו בבל, הודו, מסופוטמיה וסין גילו אותו גם באופן עצמאי:

שבמשולש ישר זווית, ריבוע היתר תמיד שווה לסכום הריבועים של אורכי שתי הצלעות האחרות. אם למשולש ישר זווית יש צלעות באורך a ו-b והיתור הוא c, אז משפט פיתגורס מבוטא בנוסחה:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

אלמלא משפט פיתגורס, המצרים הקדמונים לא היו מסוגלים לבנות את הפירמידות.

זה נראה כמו נוסחה פשוטה, אבל בלי לדעת את משפט פיתגורס, המצרים הקדמונים לא היו מסוגלים לבנות את הפירמידות, הבבלים לא היו מסוגלים לחשב את מיקום הכוכבים, והסינים לא היו מסוגלים לחלק את הארץ.

משפט זה גם הניח את היסודות לאסכולות רבות במתמטיקה כגון גאומטריה מוצקה, גאומטריה לא אוקלידית וגיאומטריה דיפרנציאלית - שבלעדיהן, או אם יוכח כשגויה, כמעט כל ענף הגיאומטריה של המתמטיקה הידוע לאנושות כיום היה קורס.

הוכחת משפט פיתגורס הייתה אפוא משימה חשובה מאוד. כבר בשנת 500 לפנה"ס, המתמטיקאי היווני הקדום פיתגורס לקח על עצמו משימה זו ועשה לעצמו שם בהיסטוריה בפעם הראשונה.

הוא הוכיח את משפט פיתגורס בשיטה פשוטה מאוד:

צילום אילוסטרציה.

צייר ריבוע שאורכי הצלעות שלו a+b. לאחר מכן, בכל פינה, המשך לצייר 4 משולשים שווים, עם צלעות a ו-b. משולשים אלה הם כולם משולשים ישרי זווית שווים, עם יתר c ויחד יוצרים רווח בתוך הריבוע ששטחו ^c² .

לאחר מכן, פשוט על ידי סידור מחדש של מיקומם של 4 המשולשים הללו, פיתגורס יצר שני מרחבים חדשים שהיו שני ריבועים עם צלעות a ו-b. השטח הכולל של שני המרחבים הללו היה ^a2 + ^b2 , אשר כמובן היה חייב להיות שווה למרחב המקורי ^c2 .

זוהי ההוכחה שתמצאו בספר הלימוד שלכם במתמטיקה לכיתה ז' בחטיבת הביניים. אבל ישנה הוכחה נוספת למשפט פיתגורס שאולי לא למדתם. זהו הפתרון שאלברט איינשטיין הגה כשהיה בן 11.

איינשטיין הבין שאם יוריד גובה AD המאונך להיפוטנוזה BC של המשולש הימני ABC, הוא יקבל שני משולשים ישרי זווית הדומים למשולש הימני ABC. כעת, פשוט על ידי ציור מחוץ למשולש הימני ABC ריבועים עם צלעות שוות לכל אחת מצלעותיו, איינשטיין יקבל 3 ריבועים עם שטחים שווים ל- ^a2 , ^b2 ו- ^c2 .

מכיוון שהיחס בין שטחו של משולש ישר זווית לשטחו של ריבוע על היתר שלו זהה עבור משולשים דומים, נקבל גם 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

צילום אילוסטרציה.

עם זאת, אלו הן רק שתיים מתוך 370 הוכחות למשפט פיתגורס שמתמטיקאים מצאו במהלך 2,500 השנים האחרונות. החל משימוש באלגברה, חשבון דיפרנציאלי ועד חיתוכים גיאומטריים שונים, ניתן להוכיח את נכונותו של משפט מתמטי זה באמצעות שיטות הנעות בין קלות למורכבות.

עם זאת, בכל הפתרונות הללו, אין הוכחה באמצעות נוסחאות טריגונומטריות. מכיוון שפיתגורס עצמו הוא משפט יסוד בטריגונומטריה, הוכחתו באמצעות טריגונומטריה תוביל אותנו למלכודת של כשל לוגי, הנקראת חשיבה מעגלית, כאשר אנו משתמשים במשפט פיתגורס עצמו כדי להוכיח את משפט פיתגורס.

מתמטיקאים נכשלו שוב ושוב במשימה זו, עד כדי כך שבשנת 1927, המתמטיקאי האמריקאי אלישע לומיס קרא: " אין דרך להוכיח את משפט פיתגורס באמצעות טריגונומטריה, משום שכל נוסחאות הטריגונומטריה הבסיסיות חייבות להסתמך על נכונות משפט פיתגורס."

אבל כפי שמתברר, אלישע לומיס טעה.

כמעט 100 שנים מאוחר יותר, שני תלמידי תיכון אלה מצאו דרך להוכיח את משפט פיתגורס באמצעות טריגונומטריה.

במחקר חדש שפורסם בכתב העת American Mathematical Monthly, שני תלמידים, נ'קיה ג'קסון וקאלצ'אה ג'ונסון מבית הספר התיכון סנט מרי'ס אקדמי בקולורדו, הציגו לא דרך אחת אלא 10 דרכים להוכיח את משפט פיתגורס באמצעות טריגונומטריה.

ניקיה ג'קסון (משמאל) וקאלצ'ה ג'ונסון (מימין).

כדי להיות מסוגל לעשות זאת, ג'קסון וג'ונסון השתמשו כרגיל במשולש ישר זווית ABC. " ההוכחה הראשונה שלנו מתחילה בהפיכת משולש ABC על צלע AC שלו ליצירת משולש שווה שוקיים ABB ", כתבו השניים במאמר.

בשלב הבא, הם יבנו משולש ישר זווית AB'D, על ידי הארכת הצלע AB לנקודה D כך שמ-D יוכלו להוריד אנך ל-B'A.

בשלב זה, ודאו שיש לכם מספיק נייר, כי AB'D הוא משולש עם צלע ארוכה במיוחד ונקודה D ככל הנראה תקפוץ מעבר לקצה הנייר.

לאחר מכן, מנקודה B, תורידו אנך ל-BB', ותחתוך את B'D ב-E. לאחר מכן, מנקודה E, תורידו אנך כדי לחתוך את AD ב-F... וכך הלאה ללא הגבלה, תקבלו מספר אינסופי של משולשים דומים ששטחם הכולל שווה לשטח המשולש AB'D:

עכשיו הנקודה החשובה:

ג'קסון וג'ונסון מצאו שמכיוון שאורך BB' הוא 2a והמשולש B'EB דומה למשולש ABC, הם יכולים לחשב את אורך הצלע BE כ- 2a ² /b. BF=2A ² c/b ^2. לכן, ניתן לחשב את הצלעות FG ו- GH כ- 2a ⁴ c/b ⁴ ו- 2a ⁶ c/b ⁶ …

אז, אורך ההיפוטנוסה AD יהיה שווה לסכום קטעי הישר:

במשולש AB'D, יש לנו:

משתי הנוסחאות לעיל, נקבל את המשוואה:

כאשר, באמצעות סכום של סדרה מתכנסת בסיסית, הערך הוא:

מיד לאחר פרסומה, הוכחת משפט פיתגורס של ג'קסון וג'ונסון משכה תשומת לבם של מתמטיקאים, ביניהם אלוורו לוזאנו-רובלדו, מאוניברסיטת קונטיקט.

" זה נראה כמו שום דבר שראיתי אי פעם", אמרה לוזאנו-רובלדו. הרעיון של מילוי משולש גדול באינסוף משולשים קטנים יותר ולאחר מכן חישוב אורכי הצלעות שלו באמצעות סדרה מתכנסת היה חידוש בלתי צפוי עבור תלמיד תיכון.

המתמטיקאי אלווארו לוזאנו-רובלדו מאוניברסיטת קונטיקט שיבח את Ne'Kiya Jackson ואת Calcea Johnson.

" יש אנשים שחושבים שצריך לבלות שנים בבית ספר או במכוני מחקר כדי לפתור בעיה חדשה ", אמרה לוזאנו-רובלדו. " אבל זה מוכיח שאפשר לעשות את זה כבר בתיכון."

לא רק שג'קסון וג'ונסון הוכיחו את משפט פיתגורס בדרך חדשה לחלוטין, פתרונם גם הדגיש גבול שביר של מושג הטריגונומטריה, הם אמרו.

" תלמידי תיכון עשויים שלא להבין שיש שתי גרסאות של טריגונומטריה המחוברות לאותו מונח. במקרה כזה, ניסיון להבין טריגונומטריה זה כמו ניסיון להבין תמונה עם שתי תמונות שונות מודפסות זו על גבי זו ", הם אומרים.

הפתרון המפתיע למשפט פיתגורס הגיע מג'קסון וג'ונסון, שהפרידו בין שתי הווריאציות הטריגונומטריות הללו תוך שימוש בחוק יסודי נוסף של הטריגונומטריה, חוק הסינוסים. בדרך זו, השניים נמנעו ממעגלי קסמים שמתמטיקאים קודמים, כולל אלישע לומיס, נתקלו בהם כשניסו להוכיח את משפט פיתגורס באמצעות משפט פיתגורס.

אף אחד מעולם לא הוכיח את משפט פיתגורס בצורה זו, אפילו לא אלברט איינשטיין.

"התוצאות שלהם משכו את תשומת ליבם של סטודנטים אחרים לפרספקטיבה חדשה ומבטיחה ", אמרה דלה דומבו, העורכת הראשית של American Mathematical Monthly. הֶעָרָה.

" זה גם יפתח הרבה שיחות מתמטיות חדשות ", אומרת לוזאנו-רובלדו. " אז מתמטיקאים אחרים יוכלו להשתמש במאמר הזה כדי להכליל את ההוכחה הזו, להכליל את הרעיונות שלהם, או פשוט להשתמש ברעיון הזה בדרכים אחרות."

ניתן לראות כי נפתחה ארץ חדשה במתמטיקה לאחר שג'קסון וג'ונסון ציירו את ה"משולש " המוטנטי. משולש המשתרע מעבר לקצה הנייר מכיל בתוכו לולאה של משולשים אינסופיים.

אז בפעם הבאה שאתם פותרים בעיית גיאומטריה ונתקלים בצלע, נסו לצייר אותה עד לקצה. מי יודע, אולי תגלו משהו.

מקור: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

מקור: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm