Két diák váratlanul bebizonyít egy 2500 éves matematikai tételt, miközben egy papír szélén túlnyúló háromszöget rajzolnak.

A különlegessége az, hogy a tételt így még senki sem bizonyította, még Albert Einstein sem.

Középiskolában mindannyiunknak kellett már geometriai feladatokat megoldanunk. És ha egyszer megoldottunk már geometriai feladatokat, mindannyian találkoztunk már ezzel a helyzettel legalább egyszer: Rajzolás közben elfogy a papír.

Minden ilyen esetben egy „mutáns” háromszögről van szó, amelynek két szokatlanul hosszú oldala van, így azok egészen a papír széléig kirajzolhatók anélkül, hogy metszenék egymást. Hogyan kezelnéd ezt a helyzetet?

Illusztrációs fotó.

Néhány diák – nagyon kreatívan – folytatja a forma rajzolását a papír másik oldalára, ami a papír hátoldala. Mások vesznek egy másik papírlapot, és az első alá helyezik, hogy kiegészítsék a formát. Vagy, ha szorult helyzetben vagy, rajzolhatsz egy háromszöget az asztalon lebegni.

Azonban néhányan azt gondolhatják: Miért ragaszkodsz hozzá, hogy megrajzold azt a "mutáns" háromszöget? Csak rajzolj, amíg el nem fogy a papír, aztán hagyd abba. Még ha nem is rajzolod le az egész alakzatot a papírra, a megoldásod biztosan nem helyes.

De egy új tanulmány az American Mathematical Monthly folyóiratban most arra készteti őket, hogy újragondolják. A papír külsején található háromszögek néha váratlan matematikai titkokat rejthetnek.

Pontosabban ebben az esetben, egy „mutáns” háromszöggel, két amerikai középiskolás diák talált rá a Pitagorasz-tétel bizonyítására, amelyet több mint 2500 évig „lehetetlennek” tartottak, mióta kimondták.

Illusztrációs fotó.

Senki sem bizonyította még így a Pitagorasz-tételt, még Albert Einstein sem.

A Pitagorasz-tételt az ókori görög matematikusról, Püthagoraszról (Kr. e. 570–495) nevezték el, aki először bizonyította, bár bizonyítékok vannak arra, hogy más ókori civilizációk, például Babilon, India, Mezopotámia és Kína matematikusai is függetlenül fedezték fel :

Egy derékszögű háromszögben az átfogó négyzete mindig egyenlő a másik két oldal hosszának négyzetösszegével. Ha egy derékszögű háromszög oldalainak hossza a és b, és az átfogója c, akkor a Pitagorasz-tétel a következő képlettel fejezhető ki:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Ha nem lett volna a Pitagorasz-tétel, az ókori egyiptomiak nem tudták volna megépíteni a piramisokat.

Egyszerű képletnek tűnik, de a Pitagorasz-tétel ismerete nélkül az ókori egyiptomiak nem tudták volna megépíteni a piramisokat, a babiloniak nem tudták volna kiszámítani a csillagok helyzetét, a kínaiak pedig nem tudták volna felosztani a földet.

Ez a tétel számos matematikai iskola alapját is lerakta, mint például a szilárdtest geometria, a nemeuklideszi geometria és a differenciálgeometria – amelyek nélkül, vagy ha cáfolnák, a matematika szinte teljes, az emberiség által ma ismert ága összeomlana.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása ezért nagyon fontos feladat volt. Már Kr. e. 500-ban az ókori görög matematikus, Püthagorasz vállalkozott erre a feladatra, és ezzel először írta be magát a történelembe.

A Pitagorasz-tételt egy nagyon egyszerű módszerrel bizonyította:

Illusztrációs fotó.

Rajzolj egy a+b oldalhosszúságú négyzetet. Ezután minden csúcsnál rajzolj 4 egyenlő háromszöget, a és b oldalakkal. Ezek a háromszögek mind egyenlő derékszögű háromszögek, átfogójuk c, és együtt egy c ² területet alkotnak a négyzeten belül.

Ezután, egyszerűen a négy háromszög helyzetének átrendezésével, Pitagorasz két új teret hozott létre, amelyek két négyzet voltak, a és b oldallal. A két tér teljes területe a ² + b ² volt, amelynek természetesen meg kellett egyeznie az eredeti c ² térrel.

Ez a bizonyítás található a hetedikes matek tankönyvedben az általános iskolában. De van egy másik bizonyítása is a Pitagorasz-tételnek, amit talán nem tanultál. Ez az a megoldás, amit Albert Einstein talált ki 11 éves korában.

Einstein ezután rájött, hogy ha az ABC derékszögű háromszög BC átfogójára merőlegesen elhelyez egy AD magasságvonalat, akkor két, az ABC derékszögű háromszöghöz hasonló derékszögű háromszöget kapna. Most, ha az ABC derékszögű háromszögön kívül olyan négyzeteket rajzolna, amelyek oldalai egyenlőek az oldalaival, Einstein három, a ² , b ² és c ² területű négyzetet kapna.

Mivel egy derékszögű háromszög területének és egy négyzetnek az átfogóján lévő területének aránya azonos a hasonló háromszögek esetében, ezért 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² is fennáll.

Illusztrációs fotó.

Azonban ezek csupán kettő a Pitagorasz-tétel 370 bizonyítása közül, amelyeket a matematikusok az elmúlt 2500 évben találtak. Az algebrától és a kalkulustól kezdve a különféle geometriai vágásokig ez a matematikai tétel igaznak bizonyítható az egyszerűtől az összetettig terjedő módszerekkel.

Azonban mindezen megoldásokban nincs bizonyítás trigonometrikus képletekkel. Mivel maga Pitagorasz is alapvető tétel a trigonometriában, a trigonometria segítségével történő bizonyítása a logikai tévedés csapdájába, az úgynevezett körkörös gondolkodásba vezetne minket, amikor magát a Pitagorasz-tételt használnánk a Pitagorasz-tétel bizonyítására.

A matematikusok ismételten kudarcot vallottak ebben a feladatban, olyannyira, hogy 1927-ben Elisha Loomis amerikai matematikus felkiáltott: „ A Pitagorasz-tételt nem lehet trigonometriával bizonyítani, mivel minden alapvető trigonometrikus képletnek a Pitagorasz-tétel helyességén kell alapulnia.”

De mint kiderült, Elisha Loomis tévedett.

Közel 100 évvel később ez a két középiskolás diák talált egy módszert a Pitagorasz-tétel trigonometria segítségével történő bizonyítására.

Az American Mathematical Monthly folyóiratban megjelent új tanulmányban két diák, Ne'Kiya Jackson és Calcea Johnson a coloradói St. Mary's Academy High Schoolból, nem egy, hanem tíz módszert mutattak be a Pitagorasz-tétel trigonometria segítségével történő bizonyítására.

Ne'Kiya Jackson (balra) és Calcea Johnson (jobbra).

Ahhoz, hogy ezt megtehessem, Jackson és Johnson a szokásos módon az ABC derékszögű háromszöget használták. „ Az első bizonyításunk azzal kezdődik, hogy az ABC háromszöget az AC oldala fölé fordítjuk, így egy egyenlő szárú ABB háromszöget kapunk ” – írták a duó a cikkükben.

A következő lépésben egy AB'D derékszögű háromszöget fognak szerkeszteni úgy, hogy az AB oldalt D pontig meghosszabbítják úgy, hogy D-ből merőlegest tudnak kihúzni a B'A-ra.

Ezen a ponton győződj meg róla, hogy van elég papírod, mert az AB'D egy szokatlanul hosszú oldalú háromszög, és a D pont valószínűleg ki fog ugrani a papír szélén túl.

Ezután a B pontból merőlegest húzunk BB'-re, amely E pontban metszi a B'D-t. Ezután E pontból merőlegest húzunk az AD-re F pontban metszve... És így tovább a végtelenségig, végtelen sok hasonló háromszöget kapunk, amelyeknek az együttes területe megegyezik az AB'D háromszög területének:

Most pedig a lényeg:

Jackson és Johnson azt találták, hogy mivel a BB' háromszög hossza 2a, és a B'EB háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, a BE oldal hosszát 2a ² /b-ként számíthatják ki. BF=2A ² c/b ² . Így az FG és GH oldalak 2a ⁴ c/b ⁴ és 2a ⁶ c/b ⁶ … alakban számíthatók ki.

Ekkor az átfogó AD hossza megegyezik a szakaszok összegével:

Az AB'D háromszögben a következőt kapjuk:

A fenti két képletből a következő egyenletet kapjuk:

Amelyben egy alap konvergens sorozat összegét felhasználva:

Közvetlenül a publikálása után Jackson és Johnson Pitagorasz-tételének bizonyítása matematikusokat vonzott, köztük Álvaro Lozano-Robledót a Connecticuti Egyetemről.

„ Semmihez sem hasonlított, amit korábban láttam” – mondta Lozano-Robledo. Az ötlet, hogy egy nagy háromszöget végtelen sok kisebb háromszöggel töltsenek meg, majd egy konvergens sorozat segítségével kiszámítsák az oldalhosszait, váratlan újítás volt egy középiskolás diák számára.

Álvaro Lozano-Robledo, a Connecticuti Egyetem matematikusa dicsérte Ne'Kiya Jacksont és Calcea Johnsont.

„ Vannak, akik úgy gondolják, hogy valakinek éveket kell iskolában vagy kutatóintézetekben töltenie egy új probléma megoldásához ” – mondta Lozano-Robledo. „ De ez azt bizonyítja, hogy ez már középiskolás korban is megoldható.”

Jackson és Johnson nemcsak teljesen új módon bizonyították a Pitagorasz-tételt, hanem megoldásuk a trigonometria fogalmának egy törékeny határát is hangsúlyozta – mondták.

„ A középiskolás diákok talán nem is tudják, hogy ugyanahhoz a kifejezéshez a trigonometria két változata kapcsolódik. Ebben az esetben a trigonometria megértése olyan, mintha egy olyan képet próbálnánk megérteni, amelyen két különböző kép van egymásra nyomtatva ” – mondják.

A Pitagorasz-tétel meglepő megoldása Jackson és Johnson kezéből jött , akik szétválasztották ezt a két trigonometrikus variációt, és a trigonometria egy másik alapvető törvényét, a szinusztételt használták fel. Ily módon a duó elkerülte azokat az ördögi köröket, amelyekkel a korábbi matematikusok, köztük Elisha Loomis is, szembesültek, amikor a Pitagorasz-tételt a Pitagorasz-tétel segítségével próbálták bizonyítani.

Senki sem bizonyította még így a Pitagorasz-tételt, még Albert Einstein sem.

„Eredményeik más diákok figyelmét is felkeltették egy új és ígéretes perspektívára ” – mondta Della Dumbaugh, az American Mathematical Monthly főszerkesztője. megjegyzés.

„ Ez számos új matematikai párbeszédet is megnyit majd ” – mondja Lozano-Robledo. „ Ez az, amikor más matematikusok felhasználhatják ezt a cikket a bizonyítás általánosítására, az ötleteik általánosítására, vagy egyszerűen csak más módon használhatják fel az ötletet.”

Látható, hogy a matematika új csatornái nyíltak meg, miután Jackson és Johnson megrajzolták a mutáns „ háromszöget ”. A papír szélén túlnyúló háromszög végtelen háromszögek hurokját tartalmazza.

Tehát legközelebb, amikor egy geometriai problémát oldasz meg, és egy élre bukkansz, próbáld meg egészen az élig rajzolni. Ki tudja, talán felfedezel valamit.

Forrás: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Forrás: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm