Kağıdın kenarından taşan bir üçgen çizen iki öğrenci, 2.500 yıllık bir matematik teoremini beklenmedik bir şekilde kanıtladı

Özel olan, teoremi bu şekilde kanıtlayan kimsenin olmamasıdır, Albert Einstein bile.

Lisedeyken hepimiz geometri problemleri çözmek zorunda kalmışızdır. Ve geometri problemlerini çözdükten sonra hepimiz en az bir kez şu durumla karşılaşmışızdır: Bir şekil çizerken kağıdımız biter.

Tüm bu durumlar, alışılmadık derecede uzun iki kenarı olan ve kağıdın kenarına kadar çizilebilen, kesişmeyen "mutant" bir üçgen içerir. Bu durumu nasıl ele alırdınız?

İllüstrasyon fotoğrafı.

Bazı öğrenciler -çok yaratıcı bir şekilde- şekli kağıdın diğer tarafına, yani kağıdın arkasına çizmeye devam edecekler. Diğerleri ise şekli tamamlamak için başka bir kağıt alıp ilkinin altına yerleştirecekler. Ya da, eğer zor durumdaysanız, üçgeni masanın üzerinde yüzen bir şekilde çizebilirsiniz.

Ancak bazıları şöyle düşünecektir: Neden bu "mutant" üçgeni çizmekte ısrar ediyorsun? Kağıt bitene kadar çiz, sonra bırak. Şeklin tamamını kağıda çizmesen bile, çözümün kesinlikle doğru değil.

Ancak American Mathematical Monthly dergisinde yayınlanan yeni bir çalışma, onları yeniden düşünmeye sevk edecek. Bazen, kağıdın dış tarafındaki üçgenler beklenmedik matematiksel sırları gizleyebilir.

Özellikle bu durumda, ABD'de iki lise öğrencisi, ortaya atıldığı tarihten bu yana 2500 yıldan fazla bir süre "imkansız" kabul edilen Pisagor teoremini, "mutant" üçgenle ispatlamanın bir yolunu buldular.

İllüstrasyon fotoğrafı.

Pisagor teoremini bu şekilde kanıtlayan kimse olmamıştır, Albert Einstein bile.

Pisagor Teoremi, ilk kez bunu kanıtlayan antik Yunan matematikçisi Pisagor'un (MÖ 570-495) adını almıştır; ancak Babil, Hindistan, Mezopotamya ve Çin gibi diğer antik medeniyetlerdeki matematikçilerin de bunu bağımsız olarak keşfettiğine dair kanıtlar vardır:

Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi her zaman diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Bir dik üçgenin kenar uzunlukları a ve b ise ve hipotenüs c ise, Pisagor Teoremi şu formülle ifade edilir:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Pisagor Teoremi olmasaydı, eski Mısırlılar piramitleri inşa edemezlerdi.

Basit bir formül gibi görünse de, Pisagor Teoremi'ni bilmeselerdi, Antik Mısırlılar piramitleri inşa edemezlerdi, Babilliler yıldızların konumunu hesaplayamazlardı ve Çinliler yeryüzünü bölemezlerdi.

Bu teorem aynı zamanda katı geometri, Öklid dışı geometri ve diferansiyel geometri gibi birçok matematik ekolünün de temelini oluşturmuştur; bunlar olmasaydı veya yanlış olduğu kanıtlanırsa, bugün insanlığın bildiği matematik geometrisinin neredeyse tüm dalı çökerdi.

Pisagor Teoremi'ni kanıtlamak bu nedenle çok önemli bir görevdi. MÖ 500 gibi erken bir tarihte, antik Yunan matematikçi Pisagor bu görevi üstlendi ve tarihteki ilk adını duyurdu.

Pisagor Teoremi'ni çok basit bir yöntemle ispatladı:

İllüstrasyon fotoğrafı.

Kenar uzunlukları a+b olan bir kare çizin. Ardından, her köşeye kenarları a ve b olan 4 eşit üçgen çizmeye devam edin. Bu üçgenlerin hepsi, hipotenüsü c olan eşit dik üçgenlerdir ve birlikte karenin içinde alanı ^c2 olan bir boşluk oluştururlar.

Daha sonra, Pisagor bu 4 üçgenin konumlarını yeniden düzenleyerek, kenarları a ve b olan iki kareden oluşan iki yeni alan yarattı. Bu iki alanın toplam alanı a ² + b ² idi ki, bu da elbette başlangıçtaki c ² alanına eşit olmalıydı.

Bu, ortaokul 7. sınıf matematik ders kitabınızda bulacağınız kanıttır. Ancak Pisagor teoreminin belki de öğrenmediğiniz başka bir kanıtı daha var. Bu, Albert Einstein'ın 11 yaşındayken bulduğu çözümdür.

Einstein daha sonra, ABC dik üçgeninin hipotenüsü BC'ye dik bir AD yüksekliği düşürdüğünde, ABC dik üçgenine benzer iki dik üçgen elde edeceğini fark etti. Şimdi, ABC dik üçgeninin dışına kenarları her bir kenarına eşit kareler çizerek, Einstein alanları a ² , b ² ve c ² 'ye eşit 3 kare elde edecekti.

Benzer üçgenlerde dik üçgenin alanının hipotenüsündeki karenin alanına oranı aynı olduğundan, 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² de olacaktır.

İllüstrasyon fotoğrafı.

Ancak bunlar, matematikçilerin son 2500 yılda bulduğu Pisagor Teoremi'nin 370 ispatından sadece ikisi. Cebirden kalkülüse ve çeşitli geometrik kesirlere kadar, bu matematiksel teorem kolaydan karmaşığa kadar çeşitli yöntemlerle doğrulanabilir.

Ancak tüm bu çözümlerde trigonometrik formüller kullanılarak bir kanıt bulunmamaktadır. Pisagor, trigonometride temel bir teorem olduğundan, Pisagor Teoremi'ni ispatlamak için Pisagor Teoremi'ni kullandığımızda, trigonometri kullanarak ispatlamak bizi döngüsel düşünme adı verilen bir mantık hatası tuzağına sürükler.

Matematikçiler bu görevde defalarca başarısızlığa uğramışlardır; öyle ki 1927 yılında Amerikalı matematikçi Elisha Loomis şöyle haykırmıştır: " Temel trigonometrik formüllerin tümü Pisagor Teoremi'nin doğruluğuna dayanmak zorunda olduğundan, Pisagor Teoremi'ni trigonometri ile ispatlamanın bir yolu yoktur."

Ancak ortaya çıktığı üzere Elisha Loomis yanılıyordu.

Yaklaşık 100 yıl sonra, bu iki lise öğrencisi trigonometriyi kullanarak Pisagor Teoremi'ni ispatlamanın bir yolunu buldular.

American Mathematical Monthly dergisinde yayımlanan yeni bir çalışmada , Colorado'daki St. Mary's Academy Lisesi'nden Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson adlı iki öğrenci, trigonometri kullanarak Pisagor Teoremi'ni kanıtlamanın bir değil, tam 10 yolunu sundular.

Ne'Kiya Jackson (solda) ve Calcea Johnson (sağda).

Bunu yapabilmek için, Jackson ve Johnson her zamanki gibi ABC dik üçgenini kullandılar. İkili makalede, " İlk ispatımız ABC üçgenini AC kenarının üzerine çevirip ABB ikizkenar üçgenini oluşturmakla başlıyor ," diye yazdı.

Bir sonraki adımda, AB kenarını D noktasına kadar uzatarak, D noktasından B'A'ya dikme indirebilecekleri bir dik üçgen olan AB'D'yi inşa edecekler.

Bu noktada yeterli kağıdınız olduğundan emin olun, çünkü AB'D alışılmadık derecede uzun bir kenara sahip bir üçgendir ve D noktası büyük ihtimalle kağıdınızın kenarından dışarı çıkacaktır.

Daha sonra, B noktasından BB'ye, B'D'yi E noktasında kesen bir dikme çizeceksiniz. Daha sonra, E noktasından AD'yi F noktasında kesen bir dikme çizeceksiniz... Ve bu şekilde sonsuza kadar devam ederek, toplam alanları AB'D üçgeninin alanına eşit olan sonsuz sayıda benzer üçgen elde edeceksiniz:

Şimdi önemli nokta:

Jackson ve Johnson, BB' kenarının uzunluğunun 2a olduğunu ve B'EB üçgeninin ABC üçgenine benzediğini, bu nedenle BE kenarının uzunluğunun 2a ² /b olarak hesaplanabileceğini buldular. BF = 2A ² c/b ^2. Dolayısıyla, FG, GH kenarları 2a ⁴ c/b ⁴ ve 2a ⁶ c/b ⁶ … olarak hesaplanabilir.

O zaman hipotenüs AD'nin uzunluğu doğru parçalarının toplamına eşit olacaktır:

AB'D üçgeninde:

Yukarıdaki iki formülden şu denklemi elde ederiz:

Burada, temel yakınsak serinin toplamını kullanarak:

Jackson ve Johnson'ın Pisagor Teoremi'nin ispatı yayımlanmasının hemen ardından Connecticut Üniversitesi'nden Álvaro Lozano-Robledo da dahil olmak üzere birçok matematikçinin ilgisini çekti.

Lozano-Robledo, " Daha önce hiç görmediğim bir şeydi," dedi. Büyük bir üçgeni sonsuz sayıda küçük üçgenle doldurup ardından kenar uzunluklarını yakınsak bir seri kullanarak hesaplama fikri, bir lise öğrencisi için beklenmedik bir yenilikti.

Connecticut Üniversitesi'nden matematikçi Álvaro Lozano-Robledo, Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson'ı övdü.

Lozano-Robledo, " Bazı insanlar yeni bir problemi çözmek için birinin okulda veya araştırma enstitülerinde yıllar geçirmesi gerektiğini düşünüyor ," dedi. " Ama bu, bunun lisedeyken bile yapılabileceğini kanıtlıyor."

Jackson ve Johnson, Pisagor Teoremi'ni tamamen yeni bir yolla kanıtlamakla kalmayıp, çözümlerinin trigonometri kavramının kırılgan bir sınırını da vurguladığını söylediler.

" Lise öğrencileri aynı terime iki farklı trigonometri versiyonu eklendiğini fark etmeyebilir. Bu durumda, trigonometriyi anlamaya çalışmak, üst üste basılmış iki farklı görselin olduğu bir resmi anlamaya çalışmaya benzer ," diyorlar.

Pisagor Teoremi'ne şaşırtıcı bir çözüm, Jackson ve Johnson'ın bu iki trigonometrik varyasyonu ayırıp trigonometrinin bir diğer temel yasası olan Sinüs Yasası'nı kullanmasıyla ortaya çıktı. Bu şekilde ikili, Elisha Loomis de dahil olmak üzere önceki matematikçilerin Pisagor Teoremi'ni Pisagor Teoremi'ni kullanarak ispatlamaya çalışırken karşılaştıkları kısır döngülerden kaçınmış oldu.

Hiç kimse Pisagor teoremini bu şekilde ispatlayamamıştır, Albert Einstein bile.

American Mathematical Monthly'nin genel yayın yönetmeni Della Dumbaugh, "Bulgular diğer öğrencilerin de dikkatini yeni ve umut verici bir bakış açısına çekti " dedi. Yorum.

Lozano-Robledo, " Bu aynı zamanda birçok yeni matematiksel tartışmanın da önünü açacak ," diyor. " İşte o zaman diğer matematikçiler bu makaleyi kullanarak kanıtı genelleştirebilir, fikirlerini genelleştirebilir veya bu fikri başka şekillerde kullanabilirler."

Jackson ve Johnson'ın mutant " üçgeni " çizmesiyle matematikte yeni bir çığır açıldığı görülebilir. Kağıdın kenarının ötesine uzanan bir üçgen, içinde sonsuz sayıda üçgenden oluşan bir döngü barındırır.

Öyleyse bir dahaki sefere bir geometri problemi çözerken bir kenarla karşılaştığınızda, kenarına kadar çizmeyi deneyin. Kim bilir, belki de bir keşif yapmış olursunuz.

Kaynak: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Kaynak: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm