Qu'est-ce qu'une dérivée ? Formules détaillées des dérivées

En plus de toutes les formules de dérivées des fonctions courantes, des dérivées trigonométriques, des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques et des dérivées du second ordre, les lecteurs peuvent mémoriser la formule de calcul des dérivées grâce à un poème.

Aperçu rapide :

• Qu'est-ce qu'une dérivée ?
• Formule de la dérivée d'une fonction en un point
• Dérivées de fonctions communes
• Dérivées des sommes, des différences, des produits et des quotients.
• Dérivée d'une fonction composée
• Dérivées des fonctions trigonométriques
• Dérivée d'une fonction exponentielle
• Dérivée d'une fonction logarithmique
• dérivée seconde
• Conseils pour se souvenir des formules dérivées

Qu'est-ce qu'une dérivée ?

D'après le manuel de mathématiques de 11e année, volume 2, de la collection « Connecting Knowledge and Life », la dérivée d'une fonction est un concept fondamental en mathématiques. La dérivée représente le taux de variation d'une fonction en un point ou sur un intervalle donné.

Formule de la dérivée d'une fonction en un point

La dérivée d'une fonction en un point indique le degré de variation de la fonction en ce point.

Dérivées de fonctions communes

Ce sont les formes les plus simples de fonctions puissance – la base du calcul des dérivées de nombreuses fonctions plus complexes par la suite.

Dérivées des sommes, des différences, des produits et des quotients.

Les dérivées des sommes, des différences, des produits et des quotients constituent des règles importantes qui nous permettent de calculer les dérivées d'expressions complexes à partir de fonctions simples. Plutôt que de devoir les démontrer à nouveau à partir de la définition d'une limite, nous pouvons simplement appliquer ces formules et règles pour simplifier le processus.

Plus précisément, la dérivée d'une somme ou d'une différence est égale à la somme ou à la différence de ses dérivées ; la dérivée d'un produit suit la règle « dérivée d'abord, puis multiplication ; addition d'abord, puis dérivée » ; et la dérivée d'un quotient suit la règle « dérivée du numérateur multipliée par le dénominateur ; soustraction du numérateur multiplié par le dénominateur dérivée ; division par le carré du dénominateur ». Ces formules seront présentées clairement ci-dessous, avec des exemples illustratifs, afin d'aider les élèves à les mémoriser et à les appliquer facilement aux exercices.

Dérivée d'une fonction composée

On utilise la dérivée d'une fonction composée lorsque celle-ci est formée de plusieurs fonctions imbriquées. En appliquant la règle de la chaîne, la dérivée de la fonction composée est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par la dérivée de la fonction interne.

Dérivées des fonctions trigonométriques

Les dérivées des fonctions trigonométriques nous aident à comprendre le taux de variation de fonctions telles que sin(x), cos(x) ou tan(x) lorsque la valeur de x change.

En maîtrisant les dérivées de sin(x) et cos(x), nous pouvons déduire les dérivées d'autres fonctions trigonométriques, car elles peuvent toutes être exprimées en termes de sin et cos (en utilisant la règle du quotient).

Dans la section suivante, nous démontrerons les formules de dérivation de sin(x) et cos(x). À partir de là, nous pourrons calculer les dérivées d'autres fonctions trigonométriques et étendre ce résultat aux fonctions trigonométriques inverses ainsi qu'à d'autres formules particulières.

Dérivée d'une fonction exponentielle

La dérivée d'une fonction exponentielle nous indique le taux de variation des fonctions de la forme a ^x (avec a > 0, a ≠ 1) ou plus particulièrement e ^x . Parmi celles-ci, e ^x est considérée comme la fonction exponentielle la plus importante car sa dérivée est égale à elle-même.

Dérivée d'une fonction logarithmique

La dérivée d'une fonction logarithmique indique le taux de variation des fonctions de la forme _log⁡a (x) (avec a>0, a≠1), dont la plus importante est ln⁡(x) - le logarithme naturel de base e.

Connaissant la formule de la dérivée de ln(x), nous pouvons facilement déduire la dérivée de _log⁡a (x) en utilisant la formule de changement de base.

dérivée seconde

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première ; autrement dit, on dérive une fonction deux fois de suite. Si la dérivée première nous indique le taux de variation de la fonction, la dérivée seconde nous indique le taux de variation de ce même taux.

En géométrie, la dérivée seconde permet de déterminer la courbure ou la concavité d'une courbe. En physique, si une fonction représente la distance en fonction du temps, la dérivée première correspond à la vitesse, tandis que la dérivée seconde correspond à l'accélération.

Conseils pour se souvenir des formules dérivées

- Apprenez les formules en groupe plutôt qu'individuellement.

- Conservez la fiche recette pour pouvoir l'utiliser immédiatement en cas d'oubli.

- Apprendre les dérivés à travers la poésie :

Cent ans dans le monde humain

Les produits dérivés sont une matière dans laquelle les étudiants paresseux qui l'étudient risquent de ne pas exceller.

X avec exposant (en) n

Nous prenons d'abord la dérivée à la puissance n.

Il y a ensuite l'exposant ci-dessus.

Il suffit de soustraire 1 à cela.

Dérivée de la racine x, mon ami.

Souviens-toi de cet amour, mon ami, ne l'oublie pas.

La mort est le chiffre 1, qui reste inchangé.

Par exemple, écrivez les deux racines carrées x ensemble pour gagner du temps.

Dérivé du produit de deux frères

Je vais d'abord t'apprendre, et je te garderai pour plus tard.

Ajoutez ensuite un signe plus pour accélérer le processus.

Conservez le premier frère tel quel, et le second frère après le dérivé.

Si vous aimez vraiment quelqu'un, vous endurerez toutes les épreuves.

La vertu maternelle demeure inchangée.

N'oubliez pas le signe moins !

La source de la mort, le chemin de la maternité, suit de près.

Où va le carré du dénominateur ?

Descendons-le pour pouvoir le mémoriser plus rapidement.

La dérivée du sinus est vraiment incroyable.

Il s'avère que le cosinus n'est jamais faux.

Le cosinus de la dérivée est aussi beau qu'un rêve.

À l'exception du sinus, qui vous laisse complètement désemparé.

Le travail acharné compense le manque d'intelligence.

Un divisé par le cosinus au carré est la dérivée de la tangente.

Seule une étude assidue permet d'atteindre la gloire.

Même si les funérailles sont difficiles, elles comportent tout de même un sens du devoir.

Soustrayez un du nombre et n'oubliez pas de le faire.

Sois une bonne personne, ne sois pas trop frivole.

Le chapeau X est vraiment étrange.

Pour l'instant, nous laissons sa version dérivée inchangée.

Nous laissons la fonction exponentielle telle quelle.

Le numéro Nepe de base suit immédiatement.

Dérivé de Nepe x rapidement

C'est simplement 1 divisé par x, ce n'est pas difficile du tout.

Quelle est la différence entre Logarithme x et Logarithme ?

N'oublions pas le chiffre de base de notre pays.

(Collecter)

Source : https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html