Menggambar segitiga yang melebihi tepi kertas, dua siswa secara tak terduga membuktikan teorema matematika berusia 2.500 tahun

Yang istimewa adalah tidak seorang pun pernah membuktikan teorema tersebut dengan cara ini, bahkan Albert Einstein.

Di SMA, kita semua pernah harus menyelesaikan soal geometri. Dan setelah menyelesaikan soal geometri, kita semua pasti pernah mengalami situasi ini setidaknya sekali: Saat menggambar suatu bangun, kita kehabisan kertas.

Semua kasus tersebut melibatkan segitiga "mutan", dengan dua sisi yang luar biasa panjang, sehingga keduanya dapat digambar hingga ke tepi kertas tanpa berpotongan. Bagaimana Anda akan menangani situasi ini?

Foto ilustrasi.

Beberapa siswa—dengan sangat kreatif—akan melanjutkan menggambar bentuk tersebut ke sisi kertas yang lain, yaitu bagian belakang kertas. Yang lain akan mengambil selembar kertas lain dan meletakkannya di bawah kertas pertama untuk melengkapi bentuknya. Atau, jika Anda sedang terdesak, Anda bisa menggambar segitiga yang mengambang di atas meja.

Namun, beberapa orang akan berpikir: Kenapa kamu ngotot menggambar segitiga "mutan" itu? Gambar saja sampai kertas habis, lalu berhenti. Sekalipun kamu tidak menggambar seluruh bentuknya di kertas, solusimu jelas tidak tepat.

Namun, sebuah studi baru dalam jurnal American Mathematical Monthly kini membuat mereka berpikir ulang. Terkadang, segitiga di bagian luar kertas dapat menyembunyikan rahasia matematika yang tak terduga.

Khususnya dalam kasus ini, dengan segitiga "mutan", dua siswa sekolah menengah di AS menemukan cara untuk membuktikan teorema Pythagoras, yang pernah dianggap "mustahil" selama lebih dari 2.500 tahun, sejak dinyatakan.

Foto ilustrasi.

Tidak seorang pun pernah membuktikan teorema Pythagoras dengan cara ini, bahkan Albert Einstein.

Teorema Pythagoras dinamai berdasarkan matematikawan Yunani kuno Pythagoras (570–495 SM) yang pertama kali membuktikannya, meskipun ada bukti bahwa matematikawan di peradaban kuno lainnya seperti Babilonia, India, Mesopotamia, dan Tiongkok juga menemukannya secara independen:

Bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat hipotenusa selalu sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya. Jika suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi a dan b dan hipotenusanya adalah c, maka Teorema Pythagoras dinyatakan dengan rumus:

K ² = K ² + K ²

Jika bukan karena Teorema Pythagoras, orang Mesir kuno tidak akan mampu membangun piramida.

Tampaknya seperti rumus sederhana, tetapi tanpa mengetahui Teorema Pythagoras, orang Mesir kuno tidak akan mampu membangun piramida, orang Babilonia tidak akan mampu menghitung posisi bintang, dan orang Cina tidak akan mampu membagi tanah.

Teorema ini juga meletakkan dasar bagi banyak aliran matematika seperti geometri padat, geometri non-Euklides, dan geometri diferensial - yang tanpanya, atau jika terbukti salah, hampir seluruh cabang geometri matematika yang dikenal umat manusia saat ini akan runtuh.

Oleh karena itu, membuktikan Teorema Pythagoras merupakan tugas yang sangat penting. Bahkan sejak 500 SM, matematikawan Yunani kuno, Pythagoras, telah melakukan tugas ini dan untuk pertama kalinya mencatatkan namanya dalam sejarah.

Dia membuktikan Teorema Pythagoras menggunakan metode yang sangat sederhana:

Foto ilustrasi.

Gambarlah sebuah persegi dengan panjang sisi a+b. Kemudian, di setiap sudut, lanjutkan menggambar 4 segitiga sama kaki, dengan sisi a dan b. Semua segitiga ini adalah segitiga siku-siku yang sama kaki, dengan hipotenusa c dan bersama-sama menciptakan ruang di dalam persegi dengan luas ^c² .

Kemudian, hanya dengan menata ulang posisi keempat segitiga tersebut, Pythagoras menciptakan dua ruang baru, yaitu dua persegi dengan sisi a dan b. Luas total kedua ruang tersebut adalah a ² + b ² , yang tentu saja harus sama dengan ruang semula c ² .

Ini adalah bukti yang akan Anda temukan di buku teks matematika kelas 7 SMP. Namun, ada bukti lain dari teorema Pythagoras yang mungkin belum Anda pelajari. Itu adalah solusi yang ditemukan Albert Einstein ketika ia berusia 11 tahun.

Einstein kemudian menyadari bahwa jika ia menjatuhkan garis tinggi AD yang tegak lurus terhadap hipotenusa BC dari segitiga siku-siku ABC, ia akan mendapatkan 2 segitiga siku-siku yang serupa dengan segitiga siku-siku ABC. Sekarang, hanya dengan menggambar persegi-persegi di luar segitiga siku-siku ABC dengan sisi-sisi yang sama dengan masing-masing sisinya, Einstein akan mendapatkan 3 persegi dengan luas yang sama dengan ^a² , ^b² , dan ^c² .

Karena rasio luas segitiga siku-siku terhadap luas persegi pada sisi miringnya adalah sama untuk segitiga-segitiga yang sebangun, kita juga akan memperoleh 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² .

Foto ilustrasi.

Namun, ini hanyalah dua dari 370 bukti Teorema Pythagoras yang telah ditemukan oleh para matematikawan selama 2.500 tahun terakhir. Dari aljabar, kalkulus, hingga berbagai potongan geometri, teorema matematika ini dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan berbagai metode, mulai dari yang mudah hingga yang rumit.

Namun, dalam semua solusi ini, tidak ada pembuktian menggunakan rumus trigonometri. Karena Pythagoras sendiri merupakan teorema fundamental dalam trigonometri, pembuktiannya menggunakan trigonometri akan menjebak kita pada kesalahan logika, yang disebut berpikir melingkar, ketika kita menggunakan Teorema Pythagoras itu sendiri untuk membuktikan Teorema Pythagoras.

Para matematikawan telah berulang kali gagal dalam tugas ini, sedemikian rupa sehingga pada tahun 1927, matematikawan Amerika Elisha Loomis berseru: " Tidak ada cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras dengan trigonometri karena semua rumus trigonometri dasar harus bergantung pada kebenaran Teorema Pythagoras."

Namun ternyata, Elisha Loomis salah.

Hampir 100 tahun kemudian, kedua siswa sekolah menengah ini telah menemukan cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras menggunakan trigonometri.

Dalam studi baru yang diterbitkan dalam jurnal American Mathematical Monthly, dua siswa, Ne'Kiya Jackson dan Calcea Johnson dari Sekolah Menengah Atas St. Mary's Academy di Colorado, menyajikan bukan hanya satu tetapi 10 cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras menggunakan trigonometri.

Ne'Kiya Jackson (kiri) dan Calcea Johnson (kanan).

Untuk dapat melakukan hal ini, Jackson dan Johnson menggunakan segitiga siku-siku ABC seperti biasa. " Pembuktian pertama kami dimulai dengan membalik segitiga ABC di atas sisi AC untuk membentuk segitiga sama kaki ABB ," tulis keduanya dalam makalah tersebut.

Pada langkah berikutnya, mereka akan membuat segitiga siku-siku AB'D, dengan memperluas sisi AB ke titik D sehingga dari D mereka dapat menjatuhkan garis tegak lurus ke B'A.

Pada titik ini, pastikan Anda memiliki cukup kertas, karena AB'D adalah segitiga dengan sisi yang luar biasa panjang dan titik D kemungkinan besar akan menonjol keluar dari tepi kertas Anda.

Kemudian, dari titik B, tarik garis tegak lurus ke BB', memotong B'D di titik E. Kemudian, dari titik E, tarik garis tegak lurus untuk memotong AD di titik F.... Dan seterusnya tanpa batas, Anda akan mendapatkan segitiga sebangun tak terhingga jumlahnya yang luas gabungannya sama dengan luas segitiga AB'D:

Sekarang poin pentingnya:

Jackson dan Johnson menemukan bahwa karena BB' memiliki panjang 2a dan segitiga B'EB sebangun dengan segitiga ABC, mereka dapat menghitung panjang sisi BE sebagai 2a ² /b. BF=2A ² c/b ² . Dengan demikian, sisi FG, GH dapat dihitung sebagai 2a ⁴ c/b ⁴ dan 2a ⁶ c/b ⁶ …

Maka panjang sisi miring AD akan sama dengan jumlah ruas garisnya:

Pada segitiga AB'D, kita memiliki:

Dari kedua rumus di atas, kita memperoleh persamaan:

Di mana, dengan menggunakan jumlah deret konvergen dasar adalah:

Segera setelah diterbitkan, pembuktian Teorema Pythagoras oleh Jackson dan Johnson menarik perhatian banyak matematikawan, termasuk Álvaro Lozano-Robledo, dari Universitas Connecticut.

" Kelihatannya belum pernah saya lihat sebelumnya," kata Lozano-Robledo. Gagasan mengisi segitiga besar dengan segitiga-segitiga kecil yang jumlahnya tak terhingga, lalu menghitung panjang sisinya menggunakan deret konvergen, merupakan inovasi yang tak terduga bagi seorang siswa SMA.

Matematikawan Álvaro Lozano-Robledo dari Universitas Connecticut memuji Ne'Kiya Jackson dan Calcea Johnson.

" Beberapa orang berpikir bahwa seseorang harus menghabiskan waktu bertahun-tahun di sekolah atau lembaga penelitian untuk memecahkan masalah baru ," kata Lozano-Robledo. " Tetapi ini membuktikan bahwa hal itu bisa dilakukan bahkan saat masih SMA."

Jackson dan Johnson tidak hanya membuktikan Teorema Pythagoras dengan cara yang benar-benar baru, solusi mereka juga menekankan batas rapuh konsep trigonometri, kata mereka.

" Siswa SMA mungkin tidak menyadari bahwa ada dua versi trigonometri yang terkait dengan istilah yang sama. Dalam hal ini, mencoba memahami trigonometri seperti mencoba memahami sebuah gambar dengan dua gambar berbeda yang dicetak di atas satu sama lain ," kata mereka.

Solusi mengejutkan untuk Teorema Pythagoras datang dari Jackson dan Johnson yang memisahkan kedua variasi trigonometri ini dan menggunakan hukum dasar trigonometri lainnya, yaitu Hukum Sinus. Dengan cara ini, keduanya menghindari lingkaran setan yang dihadapi para matematikawan sebelumnya, termasuk Elisha Loomis, ketika mereka mencoba membuktikan Teorema Pythagoras menggunakan Teorema Pythagoras.

Tidak seorang pun pernah membuktikan teorema Pythagoras dengan cara ini, bahkan Albert Einstein.

"Hasil mereka telah menarik perhatian siswa lain ke perspektif baru dan menjanjikan ," kata Della Dumbaugh, pemimpin redaksi American Mathematical Monthly. komentar.

“ Ini juga akan membuka banyak percakapan matematika baru ,” kata Lozano-Robledo. “ Saat itulah matematikawan lain dapat menggunakan makalah ini untuk menggeneralisasi bukti tersebut, menggeneralisasi gagasan mereka, atau sekadar menggunakan gagasan tersebut dengan cara lain.”

Terlihat bahwa bidang baru dalam matematika telah terbuka setelah Jackson dan Johnson menggambar " segitiga " mutan. Segitiga yang memanjang melewati tepi kertas berisi lingkaran segitiga tak berujung di dalamnya.

Jadi, lain kali Anda memecahkan soal geometri dan menemukan sebuah sisi, cobalah menggambarnya hingga ke tepi tersebut. Siapa tahu, Anda mungkin menemukan sesuatu.

Sumber: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

Sumber: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-tanoan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm