วาดรูปสามเหลี่ยมล้นขอบกระดาษ นักเรียน 2 คน พิสูจน์ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์อายุ 2,500 ปี โดยไม่คาดคิด

สิ่งที่พิเศษคือไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในลักษณะนี้เลย แม้แต่ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ก็ตาม

ในช่วงมัธยมปลาย พวกเราทุกคนต้องแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงพื้นที่ เมื่อคุณแก้ปัญหาเรขาคณิตได้แล้ว ทุกคนจะต้องเคยพบกับสถานการณ์นี้มาอย่างน้อยหนึ่งครั้ง นั่นก็คือ เมื่อกำลังวาดรูปทรง คุณก็พบว่ากระดาษหมด

กรณีดังกล่าวทั้งหมดเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" ที่มีด้านสองด้านที่ยาวผิดปกติ ดังนั้นแม้จะวาดไปจนถึงขอบกระดาษ ด้านทั้งสองก็ยังไม่ตัดกัน ในสถานการณ์เช่นนี้คุณจะรับมืออย่างไร?

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 1. — ภาพประกอบ

นักเรียนบางคนมีความคิดสร้างสรรค์มาก และจะวาดภาพไปยังอีกมิติหนึ่ง ซึ่งก็คือด้านหลังของกระดาษ ส่วนคนอื่นๆ จะใช้กระดาษแผ่นใหม่มาวางไว้ใต้กระดาษแผ่นเก่าเพื่อวาดต่อจนได้รูปร่างที่สมบูรณ์ หรือถ้าสถานการณ์เร่งด่วนเกินไป คุณสามารถวาดสามเหลี่ยมลอยอยู่บนโต๊ะได้

อย่างไรก็ตาม บางคนจะโต้แย้งว่า ทำไมเราถึงต้องวาดสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" อย่างดื้อรั้นด้วย วาดไปเรื่อยๆ จนกว่ากระดาษจะหมด แล้วจึงหยุด แม้ว่าคุณจะไม่ได้วาดรูปทรงทั้งหมดลงบนกระดาษ วิธีแก้ปัญหาของคุณก็ไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน

แต่การศึกษาใหม่ในวารสาร American Mathematical Monthly จะทำให้พวกเขาคิดอีกครั้ง บางครั้งส่วนสามเหลี่ยมด้านนอกกระดาษอาจซ่อนความลึกลับทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คาดคิดไว้ได้

โดยเฉพาะในกรณีนี้ ด้วยสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" นักเรียนมัธยมปลาย 2 คนในสหรัฐฯ ได้คิดวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งครั้งหนึ่งเคยถูกมองว่า "เป็นไปไม่ได้" มานานกว่า 2,500 ปี นับตั้งแต่มีการกล่าวถึง

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 2. — ภาพประกอบ

ยังไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ด้วยวิธีนี้ แม้แต่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็ตาม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณชื่อพีทาโกรัส (570–495 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นคนแรก แม้ว่าจะมีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ในอารยธรรมโบราณอื่นๆ เช่น บาบิลอน อินเดีย เมโสโปเตเมีย และจีน ก็เป็น ผู้ค้นพบ ทฤษฎีบทนี้โดยอิสระเช่นกัน:

ซึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะต้องมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านที่เหลือสองด้านเสมอ หากสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านสองด้านที่มีความยาว a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ c ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะถูกแสดงด้วยสูตรดังนี้:

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 3. — หากไม่มีทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชาวอียิปต์โบราณคงไม่สามารถสร้างพีระมิดได้

ดูเหมือนจะเป็นสูตรที่เรียบง่าย แต่หากไม่ทราบทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชาวอียิปต์โบราณก็คงสร้างพีระมิดไม่ได้ ชาวบาบิลอนก็คงคำนวณตำแหน่งของดวงดาวไม่ได้ และชาวจีนก็คงแบ่งแยกดินแดนไม่ได้

ทฤษฎีบทนี้วางรากฐานให้กับคณิตศาสตร์หลายสำนัก เช่น เรขาคณิตตัน เรขาคณิตนอกยุคลิด และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งถ้าไม่มีทฤษฎีเหล่านี้ หรือหากพิสูจน์ได้ว่าผิด แทบทุกสาขาวิชาของเรขาคณิตในคณิตศาสตร์ที่มนุษย์รู้จักในปัจจุบันก็จะล่มสลาย

การพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริงจึงเป็นงานที่สำคัญมาก ดังนั้น ตั้งแต่ 500 ปีก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ พีธากอรัส จึงได้เริ่มภารกิจนี้และสร้างชื่อเสียงให้กับตนเองเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์

เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้วิธีที่ง่ายมาก:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 4. — ภาพประกอบ

วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว a+b จากนั้นที่มุมแต่ละมุม ให้วาดรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันอีก 4 รูป โดยมีด้าน a และ b รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดเท่ากัน โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉาก c และเมื่อนำมารวมกันจะสร้างพื้นที่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ ^c2

จากนั้น เพียงแค่จัดเรียงตำแหน่งของรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปใหม่ พีธากอรัสก็สามารถสร้างช่องว่างใหม่สองช่องได้ ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีด้าน a และ b พื้นที่รวมของช่องว่างทั้งสองคือ a ² + b ² ซึ่งแน่นอนว่าจะต้องเท่ากับช่องว่างเดิม c ²

นี่คือหลักฐานที่คุณจะพบในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 แต่มีอีกวิธีหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่คุณอาจไม่เคยเรียนรู้ นั่นคือวิธีแก้ปัญหาที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์คิดขึ้นเมื่อเขามีอายุเพียง 11 ขวบ

ไอน์สไตน์จึงตระหนักได้ว่า ถ้าเขาลดความสูง AD ลงโดยตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก BC ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เขาก็จะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูปซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ขณะนี้ เพียงแค่วาดรูปสี่เหลี่ยม ABC ด้านนอกของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเท่ากับด้านแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมนั้น ไอน์สไตน์ก็จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 อันที่มีพื้นที่เท่ากับ a ² , b ² และ c ²

เนื่องจากอัตราส่วนพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากันสำหรับสามเหลี่ยมคล้าย ดังนั้น เราจะมี 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² ได้ด้วย

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 5. — ภาพประกอบ

อย่างไรก็ตาม นั่นเป็นเพียง 2 ใน 370 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นักคณิตศาสตร์ค้นพบในช่วง 2,500 ปีที่ผ่านมา จากการใช้พีชคณิต แคลคูลัส จนถึงการตัดทางเรขาคณิตต่างๆ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์นี้สามารถพิสูจน์ได้จริงโดยใช้วิธีการตั้งแต่ที่ง่ายไปจนถึงแบบซับซ้อน

อย่างไรก็ตาม ในวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนี้ไม่มีหลักฐานโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ เนื่องจากพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานในตรีโกณมิติ การพิสูจน์โดยใช้ตรีโกณมิติจะนำเราเข้าสู่กับดักของความผิดพลาดทางตรรกะที่เรียกว่าการคิดแบบวงกลม เมื่อเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นักคณิตศาสตร์ล้มเหลวในงานนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า จนกระทั่งในปีพ.ศ. 2470 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เอลิชา ลูมิส ออกมากล่าวอุทานว่า " ไม่มีทางพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยตรีโกณมิติได้ เพราะสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดต้องอาศัยความถูกต้องของทฤษฎีบทพีทาโกรัส"

แต่เมื่อมันปรากฏออกมา เอลีชา ลูมิสกลับคิดผิด

เกือบ 100 ปีต่อมา นักเรียนมัธยมปลายทั้งสองคนนี้ได้ค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ตรีโกณมิติ

ในการศึกษาวิจัยใหม่ที่ตีพิมพ์ในวารสาร American Mathematical Monthly นักเรียน 2 คน คือ Ne'Kiya Jackson และ Calcea Johnson จาก St. Mary's Academy ในรัฐโคโลราโด ได้นำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ตรีโกณมิติไม่ใช่เพียง 1 กรณีเท่านั้น แต่ถึง 10 กรณีด้วยกัน

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 6. — เน'คิย่า แจ็คสัน (ซ้าย) และแคลเซีย จอห์นสัน (ขวา)

เพื่อจะสามารถทำสิ่งนี้ได้ แจ็คสันและจอห์นสันใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ตามปกติ “ การพิสูจน์ครั้งแรกของเราเริ่มต้นด้วยการพลิกสามเหลี่ยม ABC ทับด้าน AC เพื่อสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABB' ” ทั้งคู่เขียนไว้ในเอกสาร

ในขั้นตอนถัดไป พวกเขาจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก AB'D โดยขยายด้าน AB ไปที่จุด D เพื่อให้พวกเขาสามารถวางด้านที่ตั้งฉากกับ B'A จาก D ได้

ในขั้นนี้ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณมีกระดาษเพียงพอ เนื่องจาก AB'D เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวผิดปกติ และจุด D อาจกระโดดออกมาเกินขอบกระดาษของคุณ

จากนั้น จากจุด B คุณจะวาดเส้นตั้งฉากกับ BB' โดยตัด B'D ที่ E จากนั้น จาก E คุณจะวาดเส้นตั้งฉากกับตัด AD ที่ F... และทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงอนันต์ คุณจะได้รูปสามเหลี่ยมคล้ายนับไม่ถ้วนที่มีพื้นที่รวมเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AB'D:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 7.

ตอนนี้มาถึงประเด็นสำคัญ:

แจ็คสันและจอห์นสันพบว่าเนื่องจาก BB' มีความยาว 2a และสามเหลี่ยม B'EB คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC พวกเขาจึงคำนวณความยาวด้าน BE ได้เป็น 2a ² /b BF=2A ² c/b ² . ดังนั้น ขอบ FG, GH สามารถคำนวณได้โดย 2a ⁴ c/b ⁴ และ 2a ⁶ c/b ⁶ …

ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก AD จะเท่ากับผลรวมของส่วนของเส้นตรง:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 8.

ในสามเหลี่ยม AB'D เรามี:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 9.

จากสองสูตรข้างต้นเราจะได้สมการ:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 10.

โดยที่การใช้ผลรวมของอนุกรมลู่พื้นฐานคือ:

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 11.

ทันทีหลังจากการตีพิมพ์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของแจ็คสันและจอห์นสันดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์ รวมถึงอัลวาโร โลซาโน-โรเบลโด จากมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัตด้วย

“ มันดูไม่เหมือนอะไรที่ฉันเคยเห็นมาก่อนเลย” โลซาโน-โรเบลโด กล่าว แนวคิดในการเติมสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ด้วยสามเหลี่ยมเล็กจำนวนนับไม่ถ้วน จากนั้นคำนวณความยาวด้านโดยใช้อนุกรมลู่เข้า ถือเป็นนวัตกรรมที่ไม่คาดคิดสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 12. — นักคณิตศาสตร์ Álvaro Lozano-Robledo แห่งมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัตยกย่อง Ne'Kiya Jackson และ Calcia Johnson

“ บางคนคิดว่าบางคนต้องใช้เวลาหลายปีในแวดวงวิชาการหรือสถาบันวิจัยเพื่อแก้ปัญหาใหม่ ” โลซาโน-โรเบลโดกล่าว “ แต่คำตอบนี้พิสูจน์ให้เห็นว่าสามารถทำได้แม้ในขณะที่คุณยังเรียนอยู่มัธยมปลาย”

แจ็คสันและจอห์นสัน ไม่เพียง พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ในรูปแบบใหม่ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงเท่านั้น แต่ แนวทางแก้ไขของพวกเขายังเน้นย้ำถึงขอบเขตอันละเอียดอ่อนของแนวคิดตรีโกณมิติอีกด้วย พวกเขากล่าว

นักเรียนมัธยมปลายอาจไม่ทราบว่าตรีโกณมิติมี 2 รูปแบบที่เชื่อมโยงกับคำศัพท์เดียวกัน ในกรณีนั้น การพยายามทำความเข้าใจตรีโกณมิติก็เหมือนกับการพยายามทำความเข้าใจรูปภาพที่มีรูปภาพ 2 รูปที่แตกต่างกันวางทับกัน พวกเขากล่าว

คำตอบที่น่าประหลาดใจสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากการที่ แจ็คสันและจอห์นสัน แยกรูปแบบตรีโกณมิติสองรูปแบบนี้ออกจากกัน และใช้กฎตรีโกณมิติพื้นฐานอีกข้อหนึ่ง ซึ่งก็คือ กฎของไซน์ ด้วยวิธีนี้ ทั้งสองคนจึงหลีกเลี่ยงวงจรอุบาทว์ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ รวมถึงเอลิชา ลูมิส เคยประสบเมื่อพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเอง

Vẽ tam giác tràn ra mép giấy, 2 học sinh bất ngờ chứng minh được định lý toán học có tuổi đời 2.500 năm- Ảnh 13. — ยังไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ด้วยวิธีนี้ แม้แต่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็ตาม

“ผลลัพธ์ดังกล่าวได้ดึงดูดความสนใจของนักเรียนคนอื่นๆ ให้มองเห็นมุมมองใหม่ๆ ที่มีแนวโน้มดี ” เดลลา ดัมบอห์ บรรณาธิการบริหารของ American Mathematical Monthly กล่าว แสดงความคิดเห็น.

“ มันจะเปิดโอกาสให้เกิดการสนทนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ มากมายด้วย ” โลซาโน-โรเบลโด กล่าว " นั่นเป็นเวลาที่นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ สามารถใช้บทความนี้เพื่อสรุปการพิสูจน์ ขยายความคิดของพวกเขา หรือเพียงแค่ใช้ความคิดนั้นในรูปแบบอื่น ๆ"

จะเห็นได้ว่าดินแดนใหม่ในทางคณิตศาสตร์ได้เปิดขึ้นหลังจากที่แจ็คสันและจอห์นสันวาด " สามเหลี่ยม " กลายพันธุ์ รูปสามเหลี่ยมที่ยื่นออกมาจากขอบกระดาษประกอบไปด้วยรูปสามเหลี่ยมจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน

คราวหน้าหากคุณกำลังแก้ปัญหาด้านเรขาคณิต และพบขอบ ให้ลองวาดมันไปจนสุด ใครจะรู้ คุณอาจจะค้นพบสิ่งใหม่ก็ได้

ที่มา: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

ที่มา: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm