วาดรูปสามเหลี่ยมล้นขอบกระดาษ นักเรียน 2 คนพิสูจน์ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์อายุ 2,500 ปีโดยไม่คาดคิด

สิ่งที่พิเศษคือไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในลักษณะนี้ได้เลย แม้แต่ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ก็ตาม

ตอนมัธยมปลาย เราทุกคนต้องเคยแก้โจทย์เรขาคณิต และเมื่อเราแก้โจทย์เรขาคณิตได้แล้ว เราทุกคนคงเคยเจอสถานการณ์แบบนี้อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ขณะวาดรูป เรากลับเจอแต่กระดาษหมด

กรณีเช่นนี้ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" ซึ่งมีด้านสองด้านที่ยาวผิดปกติ ดังนั้นไม่ว่าจะวาดให้ยาวแค่ไหน มันก็ยังไม่ตัดกัน คุณจะรับมือกับสถานการณ์นี้อย่างไร

ภาพประกอบภาพถ่าย

นักเรียนบางคน (อย่างสร้างสรรค์) จะวาดรูปทรงนั้นต่อไปอีกมิติหนึ่ง ซึ่งก็คือด้านหลังของกระดาษ ส่วนนักเรียนคนอื่นๆ จะหยิบกระดาษอีกแผ่นหนึ่งมาวางไว้ใต้แผ่นแรกเพื่อทำให้รูปทรงสมบูรณ์ หรือถ้าลำบาก ก็สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมที่ลอยอยู่บนโต๊ะได้

อย่างไรก็ตาม บางคนอาจคิดว่า ทำไมคุณถึงยังยืนกรานที่จะวาดรูปสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" นั่นอยู่ล่ะ? วาดไปจนกว่ากระดาษจะหมด แล้วค่อยหยุด แม้ว่าคุณจะวาดรูปทรงทั้งหมดลงบนกระดาษไม่ได้ แต่วิธีแก้ปัญหาของคุณก็ไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน

แต่ผลการศึกษาใหม่ในวารสาร American Mathematical Monthly จะทำให้ผู้อ่านต้องคิดทบทวนอีกครั้ง บางครั้ง รูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านนอกกระดาษอาจซ่อนความลับทางคณิตศาสตร์ที่คาดไม่ถึงเอาไว้

โดยเฉพาะในกรณีนี้ ด้วยรูปสามเหลี่ยม "กลายพันธุ์" นักเรียนมัธยมปลาย 2 คนในสหรัฐฯ ได้ค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งครั้งหนึ่งเคยถูกมองว่า "เป็นไปไม่ได้" มานานกว่า 2,500 ปี นับตั้งแต่มีการกล่าวถึงทฤษฎีบทนี้

ภาพประกอบภาพถ่าย

ยังไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีนี้ แม้แต่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็เช่นกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณชื่อพีทาโกรัส (570–495 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นคนแรก แม้ว่าจะมีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ในอารยธรรมโบราณอื่นๆ เช่น บาบิลอน อินเดีย เมโสโปเตเมีย และจีน ก็เป็น ผู้ค้นพบ ทฤษฎีบทนี้ด้วยตนเองเช่นกัน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวด้านที่เหลืออีกสองด้านเสมอ หากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาว a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถเขียนได้ด้วยสูตรดังนี้

𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ²

หากไม่มีทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชาวอียิปต์โบราณคงไม่สามารถสร้างพีระมิดได้

ดูเหมือนจะเป็นสูตรง่ายๆ แต่หากไม่รู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชาวอียิปต์โบราณก็คงสร้างพีระมิดไม่ได้ ชาวบาบิลอนก็คงคำนวณตำแหน่งของดวงดาวไม่ได้ และชาวจีนก็คงแบ่งดินแดนไม่ได้

ทฤษฎีบทนี้ยังวางรากฐานให้กับสำนักคณิตศาสตร์หลายแห่ง เช่น เรขาคณิตตัน เรขาคณิตนอกยุคลิด และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งหากไม่มีทฤษฎีเหล่านี้ หรือหากพิสูจน์ได้ว่าผิด แทบทุกสาขาวิชาของเรขาคณิตในคณิตศาสตร์ที่มนุษย์รู้จักในปัจจุบันก็จะล่มสลาย

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นภารกิจที่สำคัญยิ่ง ย้อนกลับไปเมื่อ 500 ปีก่อนคริสตกาล พีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้ริเริ่มภารกิจนี้และสร้างชื่อเสียงให้กับตนเองในประวัติศาสตร์เป็นครั้งแรก

เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้วิธีที่ง่ายมาก:

ภาพประกอบภาพถ่าย

วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว a+b จากนั้นที่มุมแต่ละมุม ให้วาดรูปสามเหลี่ยม 4 รูปที่มีด้าน a และ b เท่ากัน สามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ มีด้านตรงข้ามมุมฉาก c และเมื่อนำมารวมกันแล้วจะได้พื้นที่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ c ²

จากนั้น เพียงแค่จัดเรียงตำแหน่งของรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปใหม่ พีธากอรัสก็สร้างพื้นที่ใหม่สองแห่งขึ้นมา ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีด้าน a และ b พื้นที่รวมของพื้นที่สองแห่งนั้นคือ a ² + b ² ซึ่งแน่นอนว่าต้องเท่ากับพื้นที่เดิม c ²

นี่คือหลักฐานที่คุณจะพบในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 แต่มีหลักฐานอีกชิ้นหนึ่งที่พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่คุณอาจไม่เคยรู้มาก่อน หลักฐานนั้นก็คือหลักฐานที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์คิดขึ้นได้ตอนอายุเพียง 11 ขวบ

ไอน์สไตน์จึงตระหนักว่าหากเขาลากเส้นความสูง AD ลงมาตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก BC ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เขาจะได้สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูปคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทีนี้ เพียงแค่วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABC ด้านนอกของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาวเท่ากับด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก็จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูปที่มีพื้นที่เท่ากับ a ² , b ² และ c ²

เนื่องจากอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากันสำหรับรูปสามเหลี่ยมคล้าย เราจึงได้ 𝑐 ² = 𝑎 ² + 𝑏 ² ด้วย

ภาพประกอบภาพถ่าย

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงสองข้อจาก 370 ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นักคณิตศาสตร์ค้นพบในช่วง 2,500 ปีที่ผ่านมา ตั้งแต่การใช้พีชคณิต แคลคูลัส ไปจนถึงการตัดทางเรขาคณิตต่างๆ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์นี้สามารถพิสูจน์ได้จริงโดยใช้วิธีการตั้งแต่ง่ายไปจนถึงซับซ้อน

อย่างไรก็ตาม ในวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนี้ ไม่มีการพิสูจน์โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ เนื่องจากพีทาโกรัสเองก็เป็นทฤษฎีบทมูลฐานในตรีโกณมิติ การพิสูจน์โดยใช้ตรีโกณมิติจึงนำเราไปสู่กับดักของความผิดพลาดเชิงตรรกะที่เรียกว่าการคิดแบบวงกลม เมื่อเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นักคณิตศาสตร์ล้มเหลวในภารกิจนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า จนกระทั่งในปีพ.ศ. 2470 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เอลิชา ลูมิส ออกมาประกาศว่า " ไม่มีทางพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยตรีโกณมิติได้ เพราะสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดต้องอาศัยความถูกต้องของทฤษฎีบทพีทาโกรัส"

แต่ปรากฏว่าเอลีชา ลูมิสคิดผิด

เกือบ 100 ปีต่อมา นักเรียนมัธยมปลายทั้งสองคนได้ค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ตรีโกณมิติ

ในการศึกษาวิจัยใหม่ที่ตีพิมพ์ในวารสาร American Mathematical Monthly นักเรียน 2 คน คือ Ne'Kiya Jackson และ Calcea Johnson จาก โรงเรียนมัธยมศึกษา St. Mary's Academy ในรัฐโคโลราโด ได้นำเสนอวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ตรีโกณมิติ ไม่ใช่เพียงวิธีเดียวแต่มีถึง 10 วิธี

เนคิยา แจ็คสัน (ซ้าย) และแคลเซีย จอห์นสัน (ขวา)

เพื่อที่จะสามารถทำสิ่งนี้ได้ แจ็กสันและจอห์นสันใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ตามปกติ “ การพิสูจน์ครั้งแรกของเราเริ่มต้นด้วยการพลิกรูปสามเหลี่ยม ABC ข้ามด้าน AC เพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABB' ” ทั้งคู่เขียนไว้ในหนังสือพิมพ์

ในขั้นตอนถัดไป พวกเขาจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก AB'D โดยขยายด้าน AB ไปยังจุด D เพื่อให้พวกเขาสามารถลากเส้นตั้งฉากกับ B'A จาก D ได้

เมื่อถึงจุดนี้ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณมีกระดาษเพียงพอ เนื่องจาก AB'D เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวผิดปกติ และจุด D จะกระโดดออกมาเกินขอบกระดาษของคุณ

จากนั้น จากจุด B คุณจะลากเส้นตั้งฉากกับ BB' ตัด B'D ที่ E จากนั้น จากจุด E คุณจะลากเส้นตั้งฉากกับ AD ที่ F... และทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงอนันต์ คุณจะได้รูปสามเหลี่ยมคล้ายนับไม่ถ้วนที่มีพื้นที่รวมเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AB'D

ตอนนี้มาถึงจุดสำคัญ:

แจ็กสันและจอห์นสันพบว่า เนื่องจาก BB' มีความยาว 2a และสามเหลี่ยม B'EB คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC พวกเขาจึงสามารถคำนวณความยาวของด้าน BE ได้เป็น 2a ² /b โดยที่ BF = 2A ² c/b ² ดังนั้น ด้าน FG, GH จึงสามารถคำนวณได้เป็น 2a ⁴ c/b ⁴ และ 2a ⁶ c/b ⁶ …

ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก AD จะเท่ากับผลรวมของส่วนของเส้นตรง:

ในสามเหลี่ยม AB'D เรามี:

จากสองสูตรข้างต้น เราสามารถหาสมการได้ดังนี้:

โดยที่การใช้ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าพื้นฐานคือ:

ทันทีหลังจากการตีพิมพ์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของแจ็คสันและจอห์นสันดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์หลายคน รวมถึงอัลวาโร โลซาโน-โรเบลโด จากมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัต

“ มันดูไม่เหมือนอะไรที่ผมเคยเห็นมาก่อนเลย” โลซาโน-โรเบลโดกล่าว แนวคิดที่จะเติมรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ด้วยรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็กจำนวนนับไม่ถ้วน แล้วคำนวณความยาวด้านโดยใช้อนุกรมลู่เข้า ถือเป็นนวัตกรรมที่ไม่คาดคิดสำหรับนักเรียนมัธยมปลายคนหนึ่ง

นักคณิตศาสตร์ Álvaro Lozano-Robledo แห่งมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัต ยกย่อง Ne'Kiya Jackson และ Calcia Johnson

“ บางคนคิดว่าต้องใช้เวลาหลายปีในโรงเรียนหรือสถาบันวิจัยเพื่อแก้ปัญหาใหม่ ” โลซาโน-โรเบลโดกล่าว “ แต่นี่พิสูจน์ว่าสามารถทำได้แม้ในขณะที่คุณยังเรียนอยู่มัธยมปลาย”

แจ็คสันและจอห์นสัน ไม่เพียงแต่ พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิงเท่านั้น แต่ แนวทางแก้ไขของพวกเขายังเน้นย้ำถึงขอบเขตอันละเอียดอ่อนของแนวคิดตรีโกณมิติอีกด้วย พวกเขากล่าว

นักเรียนมัธยมปลายอาจไม่รู้ว่ามีตรีโกณมิติสองรูปแบบที่เชื่อมโยงกับคำศัพท์เดียวกัน ในกรณีนั้น การพยายามทำความเข้าใจตรีโกณมิติก็เหมือนกับการพยายามทำความเข้าใจภาพที่มีภาพสองภาพที่แตกต่างกันวางทับกันอยู่ พวกเขากล่าว

คำตอบที่น่าประหลาดใจสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากการที่ แจ็กสันและจอห์นสัน แยกรูปแบบตรีโกณมิติทั้งสองออกจากกัน และใช้กฎตรีโกณมิติพื้นฐานอีกข้อหนึ่ง นั่นคือ กฎของไซน์ ด้วยวิธีนี้ ทั้งคู่จึงหลีกเลี่ยงวงจรอุบาทว์ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ รวมถึงเอลิชา ลูมิส เคยเผชิญเมื่อพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ยังไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีนี้ แม้แต่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็เช่นกัน

“ผลงานของพวกเขาได้ดึงดูดความสนใจของนักเรียนคนอื่นๆ ให้มองในมุมมองใหม่ๆ ที่มีแนวโน้มดี ” เดลลา ดัมบอห์ บรรณาธิการบริหารของ American Mathematical Monthly กล่าว แสดงความคิดเห็น.

“ มันจะเปิดประเด็นการสนทนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ มากมาย ” โลซาโน-โรเบลโดกล่าว “ นั่นเป็นเวลาที่นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ สามารถใช้บทความนี้เพื่อสรุปข้อพิสูจน์นั้น ขยายความคิดของพวกเขา หรือเพียงแค่นำความคิดนั้นไปใช้ในรูปแบบอื่นๆ”

จะเห็นได้ว่าดินแดนใหม่ทางคณิตศาสตร์ได้เปิดขึ้นหลังจากที่แจ็คสันและจอห์นสันได้วาด " สามเหลี่ยม " กลายพันธุ์ สามเหลี่ยมที่ยื่นออกไปนอกขอบกระดาษมีรูปสามเหลี่ยมนับไม่ถ้วนวนอยู่ภายใน

คราวหน้าถ้ากำลังแก้โจทย์เรขาคณิต แล้วเจอขอบ ลองวาดมันให้ถึงขอบดูสิ ใครจะไปรู้ คุณอาจจะค้นพบอะไรบางอย่างก็ได้

ที่มา: Sciencealert, Sciencenews, Tandfonline

ที่มา: https://phunuvietnam.vn/ve-tam-giac-tran-ra-mep-giay-2-hoc-sinh-bat-ngo-chung-minh-duoc-dinh-ly-toan-hoc-co-tuoi-doi-2500-nam-20241030065904234.htm