概要:
  • デリバティブとは何ですか?
  • ある点における関数の微分公式
  • 一般的な関数の微分
  • 和、差、積、商の微分。
  • 合成関数の微分
  • 三角関数の微分
  • 指数関数の微分
  • 対数関数の微分
  • 2階微分
  • 微分公式を覚えるためのヒント

デリバティブとは何ですか?

「知識と人生をつなぐ」シリーズの第2巻である数学11の教科書によると、関数の微分は数学における重要な概念の一つです。微分は、ある点または区間における関数の変化率を表します。

ある点における関数の微分公式

ある点における関数の微分は、その点における関数の変化の度合いを示します。

1 つの点に 1 つの数字.PNG

一般的な関数の微分

これらは最も単純な形式のべき乗関数であり、後でより多くの複雑な関数の導関数を計算するための基礎となります。

関数の2つの一般的な導関数.PNG

和、差、積、商の微分。

和、差、積、商の微分は、単純な関数から複雑な式の微分を計算するのに役立つ重要な規則です。極限の定義から再度証明する代わりに、これらの公式と規則を適用するだけで、計算が簡素化されます。

具体的には、和または差の導関数は、その導関数の和または差に等しくなります。積の導関数は「まず導関数、次に乗算、まず加算、次に導関数」という規則に従います。商の導関数は「分子の導関数に分母を掛け、減算は分子の導関数に分母を掛け、除算は分母の2乗で行います」という規則に従います。これらの公式は、学生が簡単に覚えて演習に応用できるよう、例を挙げて以下にわかりやすく示します。

和、差、積、商関数の 3 つの導関数。PNG

合成関数の微分

合成関数の微分は、関数が複数の入れ子になった関数から構成される場合に用いられます。連鎖律を適用すると、合成関数の微分は、外側の関数の微分と内側の関数の微分を掛け合わせた値に等しくなります。

箱型関数の4つの爪.PNG

三角関数の微分

三角関数の導関数は、x の値が変化したときの sin(x)、cos(x)、tan(x) などの関数の変化率を理解するのに役立ちます。

sin(x) と cos(x) の導関数を習得すると、他の三角関数の導関数も推測できるようになります。これらはすべて sin と cos を使って表現できるからです (商の法則を使用)。

次のセクションでは、sin(x)とcos(x)の微分公式を証明します。そこから、他の三角関数の微分を計算したり、逆三角関数やその他の特殊な公式に拡張したりすることができます。

三角関数の5つの導関数.PNG

指数関数の微分

指数関数の導関数は、a x （a>0、a≠1）の関数、特にe xの変化率を表します。これらの関数の中で、e x は導関数がそれ自身に等しいため、最も重要な指数関数と考えられています。

ハムナイフ6本.PNG

対数関数の微分

対数関数の導関数は、 log⁡a (x)（a>0、a≠1）の形式の関数の変化率を示します。その中で最も重要なのは、e を底とする自然対数である ln⁡(x) です。

ln(x)の微分式がわかれば、底変換式を使ってlog⁡a (x)の微分を簡単に導くことができます。

対数関数の7つの導関数.PNG

2階微分

二階微分は一階微分を微分したものです。つまり、関数の微分を2回続けてとります。一階微分が関数の変化率を表すのであれば、二階微分は同じ変化率の変化率を表します。

幾何学では、2階微分はグラフの曲率／凹みを決定するのに役立ちます。物理学では、関数が距離を時間の関数として表す場合、1階微分は速度、2階微分は加速度となります。

ダブルナンバーハムの8つの数字.PNG

微分公式を覚えるためのヒント

- 個人ではなくグループで公式を学びます。

- 忘れた場合でもすぐに使えるようにレシピシートを保存しておいてください。

トンホップハムナイフ.png

- 詩を通して導関数について学ぶ:

人間界での100年

導関数は、怠惰に勉強する学生にとっては、あまり得意ではないかもしれません。


指数付きX（en）n

まず n 乗の導関数をとります。

次に上に指数があります。

そこから 1 を引くだけです。

ルート x の導関数です、友よ。

その愛を覚えていてください、友よ、忘れないでください。

死は1番であり、変わりません。

たとえば、速度を上げるために、2 つの平方根 x を一緒に書きます。

二人の兄弟の積の微分

最初に教え、後で保存しておきます。

次に、プラス記号を追加して速度を上げます。

最初の兄弟はそのままにして、2 番目の兄弟は導関数の後に残します。

本当に誰かを愛しているなら、どんな困難にも耐えられるでしょう。

母の徳は変わらない。

マイナス記号を忘れないでください!

死の源、母性の道がすぐ後に続きます。

分母の二乗はどこになりますか?

早く覚えられるように階下に持って行きましょう。

正弦微分は本当に素晴らしいです。

結局、コサインは決して間違いではないことがわかりました。

微分余弦は夢のように美しい。

ただし、正弦だけは例外で、あなたは一人ぼっちで困惑してしまいます。

勤勉は知性の欠如を補う。

1 をコサインの 2 乗で割ったものが正接の微分です。

勤勉な勉強を通してのみ栄光を達成することができます。

葬儀はつらいものですが、それでも義務感を伴います。

数字から 1 を引くことを忘れないでください。

いい人間になりなさい、あまり軽薄にならないでください。

帽子Xは本当に奇妙です。

その派生語は、今のところ変更しません。

指数関数はそのままにしておきます。

基本ネペ数がすぐ後に続きます。

ネペ×派生早々

1 を x で割るだけなので、まったく難しくありません。

Logarithm x と Logarithm の違いは何ですか?

私たちの国の基本数を忘れないようにしましょう。

（集める）

出典: https://vietnamnet.vn/dao-ham-la-gi-cac-cong-thuc-dao-ham-chi-tiet-2452539.html